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1、几何探究题教师几何探究题 如图1，图2，图3，在ABC中，分别以AB，AC为边，向ABC外作正三角形，正四边形，正五边形，BE，CD相交于点O 如图1，求证：ABEADC； 探究：如图1，BOC= o； 如图2，BOC= o； 如图3，BOC= o 如图4，已知：AB，AD是以AB为边向ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向ABC外所作正n边形的一组邻边BE，CD的延长相交于点O 猜想：如图4，BOC= o； 根据图4证明你的猜想 证法一：QABD与ACE均为等边三角形， 2分 AD=AB，AC=AE 且BAD=CAE=60 3分 oBAD+BAC=CAE+BAC， 即DAC
2、=BAE 4分 5分 ABEADC 证法二：QABD与ACE均为等边三角形， 2分 AD=AB，AC=AE 且BAD=CAE=60 3分 o 4分 ADC可由ABE绕着点A按顺时针方向旋转60o得到 5分 ABEADC 120，90，72 8分 ooo360o 10分 n证法一：依题意，知BAD和CAE都是正n边形的内角，AB=AD，AE=AC， (n-2)180o BAD=CAE=n 11分 BAD-DAE=CAE-DAE，即BAE=DAC 12分 ABEADC 13分 ABE=ADC，QADC+ODA=180o，ABO+ODA=180o QABO+ODA+DAB+BOC=360o，BOC+
3、DAB=180o (n-2)180o360o 14分 BOC=180-DAB=180-=nnoo证法二：同上可证 ABE 12分 ADC ABE=ADC，如图，延长BA交CO于F， QAFD+ABE+BOC=180o， 13分 AFD+ADC+DAF=180o 360oBOC=DAF=180-BAD= 14分 no证法三：同上可证 ABE 12分 ADC ABE=ADCQBOC=180o-(ABE+ABC+ACB+ACD) BOC=180o-(ADC+ABC+ACB+ACD) QABC+ACB=180o-BAC，ADC+ACD=180o-DAC BOC=180o-(360o-BAC-DAC)
4、13分 360o即BOC=180-BAD= 14分 no证法四：同上可证 ABE 12分 ADC AEB=ACD如图，连接CE，QBEC=BOC+OCE AEB+AEC=BOC+ACD-ACE 13分 BOC=AEC+ACE 360o即BOC=180-CAE= 14分 no注意：此题还有其它证法，可相应评分 请阅读下列材料： 问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段a(a+b)(a-b)的中点，连结PG，PC若ABC=BEF=60o，探究PG与PC的位置关系PG的值 PC小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决 C
5、 D C D P G F P G F B A E A B 图1 图2 E 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： 及PG的值； PC将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形你在中得到的ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及若图1中ABC=BEF=2a(0oa0， 2)， Q顶点F(1，设抛物线解析式为y=a(x-1)2+2(a0) 如图，当EF=PF时，EF=PF， 2212+(n-2)2=5 解得n1=0；n2=4 P(0，4) 4=a(0-1)2+
6、2 解得a=2 抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2 如图，当EP=FP时，EP=FP， 22(2-n)2+1=(1-n)2+9 解得n=-5 2当EF=EP时，EP=50)，第(1)题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由 在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k= (1)BG=DE,BGDE 2分 1，求BE2+DG2的值 2BG=DE,BGDE仍然成立 1分 在图中证明如下 四边形ABCD、四边形ABCD都是正方形 BC=CD，CG=CE， BCD=ECG=90 0BCG=DCE1分 DBCGDDCE 1分 BG=DE CBG=CD E又BHC
7、=DHO CBG+BHC=90 CDE+DHO=90 DOH=90 BGDE 1分 BGDE成立，BG=DE不成立 2分 简要说明如下 四边形ABCD、四边形CEFG都是矩形， 且AB=a，BC=b，CG=kb，CE=ka(ab，k0) 000BCCGb=，BCD=ECG=900 DCCEaBCG=DCE DBCG:DDCE1分 CBG=CDE 又BHC=DHO CBG+BHC=90 CDE+DHO=90 DOH=90 BGDE 1分 BGDE BE+DG=OB+OE+OG+OD=BD+GE 又a=3，b=2，k= 222222220001 2365 1分 BD2+GE2=22+32+12+2
8、=24 BE2+DG2=65 1分 4正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PFCD于点F。如图1，当点P与点O重合时，显然有DFCF 如图2，若点P在线段AO上，PEPB且PE交CD于点E。 求证：DFEF； 写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论； 若点P在线段OC上，PEPB且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断中的结论、是否分别成立？若不成立，写出相应的结论 A D A D A D P O F P(O) F P E O B C 图3 B C B C 图1 图2 略；PCPA2CE；结论仍成立；结论不成立，此时中三条线段的数量关系
9、是PAPC2CE； 将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O(0，0)，A(6，0)，C(0，3)动点Q从点O2秒时，动点P从点A出发以相3等的速度沿AO向终点O运动当其中一点到达终点时，另一点也停止运动设点P的运动时间为t 出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动用含t的代数式表示OP，OQ； 当t=1时，如图1，将OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标； 连结AC，将OPQ沿PQ翻折，得到EPQ，如图2问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由 y C Q O P 图1 A x D B C E Q O 图2 P A
10、 x y B 解：OP=6-t，OQ=t+y C Q O D B 2 3y C Q B C Q E P 图3 F A x y B D1 P 图1 A x O 图2 P A x O 当t=1时，过D点作DD1OA，交OA于D1，如图1， 则DQ=QO=54，QC=， 333) CD=1，D(1，PQ能与AC平行 若PQAC，如图2，则OPOA， =OQOC1476-t6=，t=，而0t， 2393t+314t= 9PE不能与AC垂直 即若PEAC，延长QE交OA于F，如图3， 则QFOQQF=:=ACOC353t+23 2QF=5t+ 3EF=QF-QE=QF-OQ 22=5t+-t+ 332=
11、(5-1)t+(5-1) 3又QRtEPFRtOCA，PEOC， =EFOA6-t3=， 26(5-1)t+37t3.45，而0t， 3t不存在 探究新知： 如图1，已知ABC与ABD的面积相等， 试判断AB与CD的位置关系，并说明理由 结论应用： 如图2，点M，N在反比例函数y=点N作NFx轴，垂足分别为E，F 试证明：MNEF C D A 图 1 B k的图象上，过点M作MEy轴，过xy E M N O F N x 图 2 y M D O x 若中的其他条件不变，只改变点M，N 的位置如图3所示，请判断 MN与EF是否平行 证明：分别过点C，D，作CGAB，DHAB， 垂足为G，H，则CGADHB901分 CGDH ABC与ABD的面积相等， CGDH 2分 四边形CGHD为平行四边形 ABCD 3分 证明：连结MF，NE 4分 设点M的坐标为，点N的坐标为 点M，N在反比例函数y= x1y1=k，x2y2=k MEy轴，NFx轴， OEy1，OFx2 11 SEFMx1y1=k， 5分 2211x2y2=k 6分 22SEFM SEFN 7分 D 由中的结论可知：MNEF 8分 MNEF 10分 y E M N k的图象上， xO F x 图 2 y E M SEFNF O x N 图 3
