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1、函数单调性的习题及答案函数的单调性 一、选择题： 1在区间(0，)上不是增函数的函数是 Ay=2x1 Cy=2xBy=3x21 Dy=2xx1 222函数f(x)=4xmx5在区间2，上是增函数，在区间(，2)上是减函数，则f(1)等于 A7 C17 B1 D25 9函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的递增区间依次是 A(-,0,(-,1 C0,+),(-,1 B(-,0,1,+) D0,+),1,+) 10已知函数f(x)=x2+2( a-1x)+2在区间(-,4上是减函数，则实数a的取值范围是 Aa3 Ba3 Ca5 Da3 10已知函数f(x)=x2+2(则实数a的取值范a-1
2、x)+2的单调递减区间(-,4上是减函数，围是 Aa3 二、填空题： 13函数y=(x1)-2的减区间是_ _ 14函数y=x21-x2的值域为_ _ x15、设y=f(Ba3 Ca5 Da3 )是R上的减函数，则y=f(x-3)的单调递减区间为 . 16、函数f(x) = ax24(a1)x3在2，上递减，则a的取值范围是_ 三、解答题： 17f(x)是定义在( 0，)上的增函数，且f( 求f(1)的值 若f(6)= 1，解不等式 f( x3 )f( 1xxy) = f(x)f(y) ) 2 18函数f(x)=x31在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的
3、结论 19试讨论函数f(x)=1-x2在区间1，1上的单调性 20设函数f(x)=x2+1ax，(a0)，试确定：当a取什么值时，函数f(x)在0，)上为单调函数 21已知f(x)是定义在(2，2)上的减函数，并且f(m1)f(12m)0，求实数m的取值范围 22已知函数f(x)=当a=12x+2x+ax2，x1， 时，求函数f(x)的最小值； 若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围 参考答案 一、选择题： CDBBD ADCCA BA 二、填空题：13. (1，)， 14. (，3)，15.3,+)， -,-1 2三、解答题：17.解析：在等式中令x=y0，则f(1)=0
4、在等式中令x=36，y=6则f(366)=f(36)-f(6),f(36)=2f(6)=2. 故原不等式为：f(x+3)-f010x0x0x(x+3)36153-32. 18.解析： f(x)在R上具有单调性，且是单调减函数，证明如下： 设x1、x2(，)， x1x2 ，则f(x1)=x131， f(x2)=x231 f(x1)f(x2)=x2x1=(x2x1)(x1x1x2x2)=(x2x1)(x13322x22)234x2 2x1x2，x2x10而(x1x22)234x20，f(x1)f(x2) 2函数f(x)=x31在(，)上是减函数 19.解析： 设x1、x21，1且x1x2，即1x1
5、x21 f(x1)f(x2)=1-x11-x2=22(1-x1)-(1-x2)1-x1+2221-x22=(x2-x1)(x2+x1)1-x1+21-x22x2x10，1-x12+1-x220，当x10，x20时，x1x20，那么f(x1)f(x2) 当x10，x20时，x1x20，那么f(x1)f(x2) 故f(x)=1-x2在区间1，0上是增函数，f(x)=1-x2在区间0，1上是减函数 20.解析：任取x1、x20，)且x1x2，则 22f(x1)f(x2)=x1+1x2+1a(x1x2)=x1+x2x1+1+2x1-x2x1+1+222x2+12a(x1x2) =(x1x2)(a) 2
6、x2+1x1+x2x1+1+2(1)当a1时，1， 2x2+1又x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2) a1时，函数f(x)在区间0，)上为减函数 (2)当0a1时，在区间0，上存在x1=0，x2=0a1时，f(x)在，)上不是单调函数 注： 判断单调性常规思路为定义法； 变形过程中22a1-a2，满足f(x1)=f(x2)=1 x1+x2x1+1+x2+121利用了x1+1|x1|x1;x2+1x2； 22从a的范围看还须讨论0a1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现 21.解析： f(x)在(2，2)上是减函数 由f(m1)f(12m)0，得f(m1)f(12m)
7、 -1m3-2m-12123121-21-2m2,即-m 解得-m，m的取值范围是(,) 22323m-11-2m22m322.解析： (1)当a=12时，f(x)=x12x2，x1，) 12x212x1x1-x22x1x212x1x2设x2x11，则f(x2)f(x1)=x2-x1-=(x2x1)=(x2x1)(1) x2x11，x2x10，112x1x20，则f(x2)f(x1) 72可知f(x)在1，)上是增函数f(x)在区间1，)上的最小值为f(1)=(2)在区间1，)上，f(x)=2 x+2x+ax20恒成立x2xa0恒成立 22设y=x2xa，x1，)，由y=(x1)a1可知其在1，)上是增函数， 当x=1时，ymin=3a，于是当且仅当ymin=3a0时函数f(x)0恒成立故a3
