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1、函数连续 连续与一致连续 一 内容提要 1.函数在一点的连续性 若函数f(x)在x0处的邻域内有定义，xx0f(x)在点x0连续limDy=0lifm(x)=f(x0)limf(x)=f(limx)e0,$d0,Dx0xx0xx0使得x:0x-x0d，有f(x)-f(x0)0，使得x:0x-x0g，则$d0，使得x:0x-x0g 四则运算：若函数f(x)，g(x)均在点x0连续，则 f(x)g(x)，f(x)g(x)，f(x)在点x0连续 g(x)若函数f(x)在点x0连续，g(x)在点u0连续，且u0=f(x0)，则 limg(f(x)=glimf(x)=g(f(x0) xx0xx0即函数g
2、(f(x)在点x0连续 4 闭区间上连续函数的整体性质 有界性定理：若f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上有界 最值定理：若f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上能取得最大值M和最小值m 介值定理：若f(x)在a,b上连续，则(a,b)a,b，f(x)可取介于f(a)与f(b)之间的一切值 零点定理：若f(x)在a,b上连续，且f(a)f(b)0,$d(e)0,使得x1,x2I，只要x1-x2d，就有f(x1)-f(x2)0,$d(e)0,使得x0I，只要x-x0d，就有f(x)-f(x0)0,d0,总存在x,xI，使得x-xe0 I，若 注4 f(x)在区间I上一致连续对任何数
3、列xn,xn)-f(xn)=0 -xn)=0，则有lim(f(xn lim(xnxx称之为函数一致连续的Heine归结原则 注5 f(x)在a,b上连续，则函数f(x)必定是一致连续的 注6 若f1(x),f2(x)在I上均一致连续，则函数f1(x)f2(x)在I上一致连续，特别的，若I为有限区间，则f1(x)f2(x)，f1(x)(f2(x)0)在I上一致连续 f2(x)注7 有关一致连续的几个重要结论： 满足Lipschitz条件的函数f(x)在I上一定一致连续 f(x)Ca,+)，且单调有界，则f(x)在区间a,+)上一致连续 f(x)Ca,+)，且limf(x)存在，则f(x)在区间a,+)上一致连续 x+若f(x)在区间I上有界，则f(x)在区间I上一致连续 f(x)与limf(x)存在 f(x)C(a,b)，f(x)在(a,b)上一致连续lim+-xaxb
