《函数的单调性·典型例题精析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的单调性·典型例题精析.docx（6页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、函数的单调性典型例题精析231 函数的单调性例题解析 求下列函数的增区间与减区间 (1)y|x22x3| x2-2x(2)y1-|x-1|(3)y-x2-2x+3解 (1)令f(x)x22x3(x1)24 先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y|x22x3|的图像，如图231所示 由图像易得： 递增区间是3，1，1，) 递减区间是(，3，1，1 (2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间 解 当x10且x11时，得x1且x2，则函数yx 当x10且x11时，得x1且x0时，则函数yx2 增区间是(，0)和(0，1) 减区间是1，2
2、)和(2，) (3)解：由x22x30，得3x1 令ug(x)x22x3(x1)24在x3，1上是上是 在x1，1而yu在u0上是增函数 函数y的增区间是3，1，减区间是1，1 函数f(x)ax2(3a1)xa2在1，上是增函数，求实数a的取值范1 围 解 当a0时，f(x)x在区间1，)上是增函数 当a0时，对称轴x3a-1，2aa0 若a0时，由3a-1得0a11，2a若a0时，无解 a的取值范围是0a1 已知二次函数yf(x)(xR)的图像是一条开口向下且对称轴为x3的抛物线，试比较大小： (1)f(6)与f(4) (2)f(2)与f(15) 解 (1)yf(x)的图像开口向下，且对称轴
3、是x3，x3时，f(x)为减函数，又643，f(6)f(4) (2)对称轴x3，f(2)f(4)，而3154，函数f(x)在x3 时为减函数 f(15)f(4)，即f(15)f(2) 判断函数f(x)ax(a0)在区间(1，1)上的单调性 x2-1解 任取两个值x1、x2(1，1)，且x1x2 f(x1)f(x2)a(x1x2+1)(x2-x1)2(x1-1)(x22-1)221x1x21，x1x210，x2x10，x110，x110 (x1x2+1)(x2-x1)02(x1-1)(x2-1)2当a0时，f(x)在(1，1)上是减函数 当a0时，f(x)在(1，1)上是增函数 利用函数单调性定
4、义证明函数f(x)x31在(，)上是减函数 证 取任意两个值x1，x2(，)且x1x2 2f(x2)f(x1)(x1x2)(x2xxx2121)这里有三种证法：22证法(一)当x1x20时，x1x1x2x22(x1x2)x1x20 2当x1x20时，x1x1x2x2202 又x1x20，f(x2)f(x1) 故f(x)在(，)上是减函数 132122证法(二)x1x1x2x2(xx)x，这里xx2112242221与x2不会同时为0，否则若x1x20且x20，则x10这与x1x222矛盾，x1x1x2x220得f(x)在(，)上是减函数 2222证法(三)令tx22x1x2x1，其判别式x14
5、x13x120，若0时，则x10，那么x20，tx220，若3x120，则t0，即x22x1x2x10，从而f(x2)f(x1)，f(x)在(，)上是减函数 1讨论函数f(x)x的单调性，并画出它的大致图像 x解 定义域为(，0)(0，)，任取定义域内两个值x1、x2，且x1x2 f(x1)f(x2)(x1x2)x1x2-1，又x1x20， x1x2当0x1x21或1x1x20时，有x1x210，x1x20，f(x1)f(x2) f(x)在(0，1，1，0)上为减函数 当1x1x2或x1x21时，有x1x210，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，1，1，)上为增函数 根据上面讨论
6、的单调区间的结果，又x0时，f(x)minf(1)2，当x0时，f(x)maxf(1)2由上述的单调区间及最值可大致 1画出yx的图像如图232 x说明 1要掌握利用单调性比较两个数的大小 3 2注意对参数的讨论(如例4) 3在证明函数的单调性时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等(如例5) 4例6是分层讨论，要逐步培养 例题：已知函数f(x)对任意x,yR均满足：f(x+y)=f(x)+f(y)；f(1)=2；当且仅当x0时，f(x)0， 求：当-3x3时，求f(x)的最大值与最小值。 解：在方程f(x+y)=f(x)+f(y)中取x=0,y=0，可得f(0)=0， 取y=-x，可得f(
7、x)=-f(-x)，即函数f(x)是奇函数， 在f(x)的定义域R内任取x1，x2，使x1x2，即x1-x20 则f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)x1 f(x1)-f(x2)=x1-2/x1-x2+2/x2 =(x1-x2)-2/x1+2/x2 =(x1-x2)-2x2+2x1/x1x2 =(x1x2+2)(x1-x2)/x1x2 x2x1 x1x2+20 x1-x20 x1x20 f(x1)f(x2) f(x)在(0,正无穷)上为增函数 奇偶性分为奇函数和偶函数 奇函数只需证明f(-x)=-f(x) 偶函数只需证明f(-x)=f(x) (切记:在判断奇偶性之前要先看定义域,如果定义域关于y轴对称,那么就是奇函数,带入即可算出,如果关于原点对称,那么就是偶函数,带入即可算出,) 4
