分式复习综合整理与拓展及解题技巧指导.docx

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1、分式复习综合整理与拓展及解题技巧指导第六章、分式 . 2 一、分式的概念、分式的基本性质 . 2 、 . 2 、 . 2 、中考点拨： . 4 、 . 5 二、分式的运算 . 6 、 . 6 、 . 6 中考考点分析 . 10 1. 通分 . 10 2. 约分 . 11 3 运用分配律 . 11 4. 倒数法 . 11 5. 降次法 . 11 6. 裂项法 . 12 7. 递进通分法 . 12 8. 换元法 . 12 9. 消元法 . 13 10. 参数法 . 13 11. 常数代换法 . 14 12. 配方法 . 14 13. 利用因式分解 . 14 14. 利用乘法公式 . 14 、 .

2、15 三、公式变形与字母系数方程 . 15 、 . 15 、 . 16 、中考点拨 . 17 、 . 18 四、分式方程及其应用 . 19 、 . 19 、中考考点解析： . 21 五、分式总复习 . 24 . 24 、 . 24 、题型展示： . 27 、 . 28 六、分式培优专题 . 29 、分式的概念： . 29 、分式的基本性质： . 29 、分式的化简与运算 . 30 、分式方程 . 31 、列分式方程解应用题 . 33 分式牛刀小试练习一 . 34 牛刀小试练习题(二) . 37 七、技巧专题 -找准“分式求值”的切入点 . 39 切入点一：“运算符号” . 39 切入点二：“常

3、用数学运算公式” . 39 切入点三：“分式的分子或分母” . 40 切入点四：“原分式中的分子和分母的位置” . 40 切入点五：“题设条件式” . 41 切入点六：“分式中的常数值” . 41 本章参考答案 . 42 第六章、分式 一、分式的概念、分式的基本性质 、 分式的概念要注意以下几点： 分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； 分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母； 分式有意义的条件是分母不能为0。 分式的基本性质类似于分数的基本性质，是分式的符号变换法则、约分和通分的理论基础。在运用分式的基本性质时，要

4、抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解，并注意法则中M“不为零”的条件。下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念。 、 例1. 已知a，b为有理数，要使分式 A. a C. aab的值为非负数，a，b应满足的条件是 0，b0 0，b0 B. aD. a0，b0，或a0，b0，或a0，b1 x-11 =2x+2x-3x+3当x1时，说明：利用分式的基本性质解决恒等变形问题是基本性质的灵活运用，注意分式的基本性质所适用的条件是分式有意义，做题时应考虑分母不为零的条件。 18a2+8b2+24ab+82. 把分式化为一个整式和一个分子为常数的分式的和，并且求出这个整式与3a+2b分式的乘积等于多少

5、？ 2(9a2+12ab+4b2解：原式=)+83a+2b=2(3a+2b)2+8 3a+2b =2(3a+2b)+83a+2b 2(3a+2b)83a+2b=16 说明：利用因式分解、分式的基本性质可以化简分式。 、 1. 在下列有理式2a，2x+1x，12(m+n)，x-yx+y，1y(a-b)中，分式的个数是 A. 2 B. -2 C. a=2且a=-2 D. 0 3. 填空题： x-y-x+y=-x+y=x+y=-(x+y) 当a=_时，分式a-1a3+a2的值等于零； 当a=_时，分式a-1a3+a2无意义。 4. 化简分式：x3+5x2+3x-9x3+6x2+5x-12 5. 已知

6、：x+y=2，2y2-y-4=0，求y-xy的值。 6. 已知：a+b+c=0， ）求a(+)+b(+1b1c1c111)+c(+)+3的值 aab二、分式的运算 、 、 分式的乘除法法则 acac； =bdbdacadad =bdbcbc当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。 、分式的加减法 通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键，它的法则是： 取各分母系数的最小公倍数； 凡出现的字母为底的幂的因式都要取； 相同字母的幂的因式取指数最高的。 同分母的分式加减法法则 abab =ccc异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加

7、减。 、分式乘方的法则 anan=nbb 、分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题： 注意运算顺序及解题步骤，把好符号关； 整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式； 运算中及时约分、化简； 注意运算律的正确使用； 结果应为最简分式或整式。 下面我们一起来学习分式的四则运算 、 x2-x-2x2+x-62 例1：计算2的结果是 x-x-6x+x-2x-1 A. x-3分析：原式=x+1B. x-9x2-1C. 2 x-9x2+1D. 2 x+3(x-2)(x+1)(x+3)(x-2)(x-3)(x+2)

8、(x+2)(x-1)(x-2)(x+1)(x+2)(x-1)(x-3)(x+2)(x+3)(x-2)(x+1)(x-1) =(x+3)(x-3)=x2-1=2x-9故选C 说明：先将分子、分母分解因式，再约分。 例2：已知abc=1，求abc的值。 +ab+a+1bc+b+1ac+c+1分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。 解：原式=aababc +ab+a+1abc+ab+aabc+abc+abaababc+ab+a+11+ab+aa+1+aba+ab+1 = ab+a+1=1= 例3：已知：2m-5n=0，求下式的值： (

9、1+nmnm-)(1+-) mm-nmm+n 分析：本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 解：(1+nmnm-)(1+-) mm-nmm+nm(m-n)+n(m-n)-mm(m+n)+n(m+n)-mm(m-n)m(m+n)-nm(m+n)= m(m-n)-nm+n=m-n= Q2m-5n=0m=5n 25n+n7372故原式=nn= 5223n-n2ab1bc1ca1abc例4：已知a、b、c为实数，且的值=，=，=，

10、那么a+b3b+c4c+a5ab+bc+ca是多少？ 分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。 解：由已知条件得：所以2(111111+=3，+=4，+=5 abbcca111+)=12 abc111即+=6 abcab+bc+ca111又因为=+=6 abccbaabc1所以= ab+bc+ca6x3+1x2-1x2-4例5：化简：( +)x-2x+2x+1(x+1)(x2-x+1)(x+2)(x-2)(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)+解二：原式= x-2x+1x+2x+1=(x2-x+1)(x+2)+(x-1)(x-2) =x3-x2+x+2x2-

11、2x+2+x2-3x+2 =x3+2x2-4x+4说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。 例6、计算： n-mm2-n22 1+m-2nm-4mn+4n2m-n(m-2n)2解：原式=1-m-2n(m+n)(m-n)m-2nm+nm+n-m+2n = m+n3n=m+n=1-说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。 例7、 M2xy-y2x-y=2+已知：2，则M=_。 22x+yx-yx-y2x

12、y-y2x-y+解：Q2 x+yx-y22xy-y2+x2-2xy+y2=x2-y2x2M=2=x-y2x2-y2 M=x2 说明：分式加减运算后，等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M。 中考点拨： 例1：计算：1111-(-) a+ba-b(a+b)2(a-b)2(a-b)2-(a+b)2a-b-a-b解一：原式=(a+b)(a-b)(a+b)2(a-b)2-4ab(a+b)(a-b)-2b(a+b)2(a-b)22a = (a+b)(a-b)2a=2a-b2=解二：原式=(111111+)(-)(-) a+ba-ba+ba-ba+ba-b11+a+ba-ba-b+a+b2

13、a=2(a+b)(a-b)a-b2=说明：在分式的运算过程中，乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。此题两种方法的繁简程度一目了然。 2b32b 例8：若a+b=3ab，则(1+3)(1+)的值等于 a-ba-b322 A. 1 2B. 0 C. 1 D. 2 3a3-b3+2b3a-b+2b解：原式= a-ba3-b3a3+b3a-b=3a-b3a+b(a+b)(a2-ab+b2)a-b=(a-b)(a2+ab+b2)a+ba-ab+b3ab-ab=a2+ab+b23ab+ab2ab1=4ab2=22故选A 中考考点分析 进行分式运算应以分式的性质为基础，根据已知的条件特征和结构特征，克服

14、思维定势，通过适当的变形、转化、沟通等解题手段，找到解题的捷径。本文介绍几种常见的方法与技巧，供同学们参考。 1. 通分 a3-a2-a-1 例1. 化简：a-1a3(a-1)(a2+a+1)- 解：原式= a-1a-1a3-a3+1=a-1 1=a-12. 约分 a4-a3+a2a4+a3+a2 例2. 化简： -a3+1a3-1a2(a2-a+1)a2(a2+a+1)- 解：原式= (a+1)(a2-a+1)(a-1)(a2+a+1)a3-a2-a3-a2=(a+1)(a-1)=-2aa2-123 运用分配律 11+-1)(1-a2) a-1a+111 解：原式=(1-a2)+(1-a2)

15、-(1-a2) a-1a+1 例3. 化简：( =-1-a+1-a-1+a2=a-2a-124. 倒数法 a21 例4. 已知a+=3，求4的值。 2aa+a+1a4+a2+112=a+1+ 解：Q a2a212)-1 a2 =3-1=8 =(a+a21= 4 a+a2+185. 降次法 a3 例5. 已知a-3a+1=0，求6的值。 a+12 解：由已知，得a2+1=3a a3a3 原式=2 =42222(a+1)(a-a+1)3a(a+1)-3aa31 = =31818a6. 裂项法 1111 +2222a+aa+3a+2a+5a+6a+7a+1211111111 解：原式=(-)+(-)

16、+(-)+(-) aa+1a+1a+2a+2a+3a+3a+4 例6. 计算：11-aa+44=a(a+4)=7. 递进通分法 112x4x38x7-+ 例7. 计算： a-xa+xa2+x2a4+x4x8-a82x2x4x38x7-2-4+8 解：原式=2 2248a-xa+xa+xx-a4x34x38x7=4-4+844a-xa+xx-a8 77-8x8x=8+=0x-a8x8-a88. 换元法 b2a2ba+2+22abab 例8. 化简： 2332bababa-3(-)+-23322abababba=x，=yb 解：设a，则xy=1。于是 原式=x2+y2+2xyx3-y3-3xy(x

17、-y)x+yx2+y2-2xy =(x+y)2(x-y)3(x-y)2(x+y)=x+yx-y b+a=abb22 b=+aa-ab2-a2b9. 消元法 2a2+3b2+6c2 例9. 若4a-3b-6c=0，a+2b-7c=0，求a2+5b2+7c2的值。 解：以c为常数，解条件方程，得a=3c，b=2c 故原式=2(3c)2+3(2c)2+6c2(3c)2+5(2c)2+7c2 18c2+12c2+6c2 =9c2+20c2+7c2 =110. 参数法 例10. 已知abc0，且满足a+b-ca-b+c-a+bc=+cb=a，(a+b)(b+c)(c+a)abc的值。 解：设a+b-ca

18、-b+c-a+c=b=b+ca=k。 则有a+b-c=ck，a-b+c=bk，-a+b+c=ak 三式相加，得a+b+c=(a+b+c)k 当a+b+c0时，k=1。则a+b=2c，a+c=2b，b+c=2a，原式=8 当a+b+c=0时，则a+b=-c，a+c=-b，b+c=-a，原式=-1 求11. 常数代换法 例11. 已知a+b+c=0，abc0，求a(+)+b( 解：Q3=1b1c1111+)+c(+)+3的值。 acababc+， abc11a11b11c111 原式=a(+)+b(+)+c(+)+=(+)(a+b+c)0 bcaacbabcabc12. 配方法 例12. 已知实数

19、a，b，c满足a+b+c=0，abc=8，那么111a+b+c的值是 b3a3b3a3b6a6b12-a12 =(3+3)(3-3)=6-6= abababa6b6 、 ab+的值等于 ba2141924 A. - B. - C. - D. - 55551322. 已知x-16x-1=0，求x-3的值。 x 1. 已知：a+b=2，ab=-5，则3. 已知：a+b+c=0，abc=8，求证：+0。 3x-4AB，求2A+B的值。 =+x2-3x+2x-1x-2111 5. 计算： +2+2x-1x-3x+2x-5x+64. 已知 1a1b1c三、公式变形与字母系数方程 、 含有字母系数的方程和

20、只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零。 公式变形实质上是解含有字母系数的方程 对于含字母系数的方程，通过化简，一般归结为解方程ax=b型，讨论如下： b a当a0时，此时方程ax=b为关于x的一元一次方程，解为： x=当a若b若b=0时，分以下两种情况： =0，原方程变为0x=0，为恒等时，此时x可取任意数，故原方程有无数个解； 0，原方程变为0x=b(b0)，这是个矛盾等式，故原方程无解。 含字母系数的分式方程主要有两类问题：求方程的解，其中包括：字母给出条件和未给出条件：已知方程解的情况，确定字母的条件。 下面我们一起来

21、学习公式变形与字母系数方程 、 1. 求含有字母系数的一元一次方程的解 例1. 解关于x的方程2ax-bcac=bx+(2ab) 36分析：将x以外字母看作数字，类似解一元一次方程，但注意除数不为零的条件。 解：去分母得：12ax-2bc=6bx+ac =2bc+ac (12a-6b)x=2bc+acQ2ab 12a移项，得12ax-6bx-6b02bc+ac12a-6bx=2. 求含字母系数的分式方程的解 例2. 解关于x的方程ab2+= ax-bbx+ax分析：字母未给出条件，首先挖掘隐含的条件，分情况讨论。 解：若a、b全不为0，去分母整理，得 (b2-a2)x=-2ab 2对b-a2是否为0分类讨论： 2当b当b-a2=0，即a=b时，有0x=-2ab，方程无解。 -a20，即ab时，解之，得x=22aba-b若a、b有一个为0，方程为12=xx，无解 若a、b全为0，分母为0，方程无意义 检验：当x=2aba-b时，公分母(ax-b)(bx+a)0，所以当ab0，ab时，x=2ab是原方程的解。 a-b说明：这种字母没给出条件的方程，首先讨论方程存