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1、初中几何等腰三角形典型例题初中几何等腰三解形性质及典型试题 一. 重点、难点： 重点： 理解和掌握等腰三角形以下性质： 1. 等腰三角形轴对称性质； 2. 等边对等角； 3. 三线合一。 难点： 1. 推导性质。通过操作，观察、分析、归纳得出等腰三角形性质的过程。 2. 应用性质。等腰三角形三线合一性质的运用，在解题思路上需要作一些转换。 二. 知识要点 1. 等腰三角形的有关概念。首先要能根据边的长短识别和判断等腰三角形；其次，能够明确指出已知的等腰三角形的顶角、底角、腰和底边。 如图，ABC中，若AB、BC、AC三边中有其中两边相等，则ABC称为等腰三角形。 图中ABAC，图中ACBC，图
2、中ABBC。 相等的两边称为等腰三角形的腰，另一边称为等腰三角形的底边；两腰的夹角称为等腰三角形的顶角，另外两个角称为等腰三角形的底角。 你能指出上述三幅图中的腰、底边，顶角和底角吗？ 2. 等腰三角形的轴对称性。通过折纸操作认识探索等腰三角形的轴对称性。明确等腰三角形的对称轴是等腰三角形顶角平分线所在的直线。 根据轴对称图形的概念我们知道：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫轴对称图形。如果在ABC中，ABAC，我们画出顶角BAC的平分线AD，沿着AD对折ABC会发现什么结论？通过操作显示出等腰ABC是一个轴对称图形。它的对称轴就是角平分线AD所在的直
3、线。 3. 推导等腰三角形的性质。通过进一步实验、观察、交流等活动推导等腰三角形的性质，从而加深对轴对称变换的认识。 因为等腰三角形是轴对称图形，而图形轴对称变换是全等变换中的一种基本变换，所以如下图，ABC中，若ABAC，AD是ABC的BAC的平分线，当我们沿AD折叠时，会发现AD两旁的ABD与ACD能够重合即ABDACD。 再根据全等的性质可以得出一些对应相等的边、对应相等的角。 BC，BDACDA90 BDCD 追根溯源来看这些相等的边和相等的角是由什么条件带来的，就可以得出等腰三角形的性质。 4. 掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一。 我们把在上述图
4、形中由等腰三角形ABAC这个条件出发，得出的角相等BC，这条性质称为等腰三角形的两个底角相等。 由等腰三角形ABAC和顶角平分线BADDAC这两个条件出发，得出BDCD，BDACDA90，这条性质称为等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称为等腰三角形三线合一。 5. 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图。 利用等腰三角形的性质解题时，一定要注意正确地表述性质的条件和结论。结合图形我们可以这样来表述： 如下图，ABC中， ABAC， BC。 ABAC，BADDAC BDCD且ADBC。 或 ABAC，BDCD BADDAC且ADBC。 或AB=AC ，A
5、DBC BADDAC且 BDCD。 三、 例题1. 如图D在AC上，ABAC，ADDB，请指出图中的等腰三角形，以及它们的腰、底边、顶角及底角。 分析：这里要根据条件来说明图形的名称，而不是凭直观和想象。相等的两边叫腰，另一边叫底边；两腰的夹角叫顶角，另外的两角叫底角。 解：图中的等腰三角形有：ABC和ADB。它们的腰、底边、顶角、底角分别列表如下： 腰 底边 顶角 底角 CBA， BC ABC AB、AC BAC C BAD， ADB AD、DB AB BDA ABD 注意：在没有明确三角形的具体条件的情况下，关于等腰三角形的有关概念有多种可能的结果存在。如：ABC是等腰三角形，就有可能AB
6、、AC是腰或AB、BC是腰或AC、BC是腰，相应的底边、顶角、底角也都会发生变化。所以在叙述等腰三角形时，一般要明确指出相等的两边是哪两边。 例2. 如下图，在ABC中，ABAC，D、E分别是AB、AC边上的点，且ADAE，AP是ABC的角平分线。点D、E关于AP对称吗？DE与BC平行吗？说明理由。 分析：根据等腰三角形的轴对称性研究下列问题： 将等腰ABC沿顶角平分线折叠时，线段AD与AE能重合吗？为什么？边AB与AC呢？ AD与AE重合，AB与AC重合，说明点D与点E，点B与点C分别有怎样的位置关系？ 轴对称图形有什么性质？由此可推出AP与DE，BC有怎样的位置关系？那么DE与BC呢？ 解
7、：点D、E关于AP对称，且DEBC。理由如下： 因为AP是BAC的平分线，ABAC，ADAE。 则当把图形沿直线AP对折时，线段AB与AC重合，线段AD与AE重合，所以点B、C关于直线AP对称，点D、E也关于直线AP对称，所以BCAP，DEAP，所以DEBC。 注意：这里AB与AC重合以及AD与AE重合的理由是：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是对称轴。 例3. 在ABC中，ABAC， A50，求B，C的度数 分析： 根据等腰三角形的性质：两底角相等。结合三角形的内角和等于180来计算。 解：在ABC中， ABAC， BC ABC180，A50 BC65 注意： 此题也可以用代数的
8、方法来解，其解题依据仍然是：等腰三角形的两底角相等和三角形的内角和为180。 例4. 已知线段a，h用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BCa，BC边上的高线为h。 分析：假设图形已经作出，BC长已知，可以先作出BC边，要作等腰三角形ABC，关键是要作出哪一个点？ 已知BC边上的高的长度为h，你能作出BC边上的高线吗？等腰三角形底边上的高线与中线有什么关系？由此能确定顶点A的位置吗？ 作法：如下图。 1. 作线段BCa。 2. 作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D. 3. 在直线 l上截取DAh，连结AB，AC。 则ABC就是所求的等腰三角形。 注意：这里作图的依据是：等腰三角形三线合一的
9、性质。更准确地理解三线合一的性质应该是“把等腰、底边上的高、底边上的中线、顶角平分线作为四个元素，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素作为结论”。 例5. 已知在ABC中，ABAC，直线AE交BC于点D，O是AE上一动点但不与A重合，且OBOC，试猜想AE与BC的关系，并说明你的猜想的理由。 猜想：AEBC，BDCD 说理：ABAC(已知) OBOC(已知) AOAO ABOACO BAOCAO AEBC，BDCD 注意：等腰三角形的三线合一的性质其本质是等腰三角形是轴对称图形。而轴对称又是全等变换中的基本形式，因此常用全等来研究等腰三角形中的问题。 例6. 探索：等腰三角形两
10、底角的平分线大小关系。 已知：如图，在ABC中，ABAC，BD、CE分别是两底角的平分线。 猜想：BDCE. 解：ABAC， ABCACB BD、CE分别是两底角的平分线 DBCABC，ECBACB DBCECB， 在DBC和ECB中DBCECB，BCCB，ABCACB ， DBCECB BDCE 注意：等腰三角形除了顶角平分线、底边上的中线、底边上的高以外，还有其他一些相关的线段，探索它们之间的关系也属于等腰三角形性质的一部分，此例就是所做的一种探索，按照这种思路大家还可以对其他线段进行探索。 课后反思： 认识等腰三角形并不困难，但要正确表述却不容易。特别是等腰三角形三线合一的性质的应用，很
11、容易只给出一个条件，就得出结论。 应用等腰三角形性质进行说理正确的表述格式如下： 在ABC中，如下图，ABAC BC 在ABC中，如下图 ABAC ，12 ADBC，BDDC ABAC，BDDC ADBC，12 ABAC，ADBC BDDC，12 一. 填空：在ABC中，ABAC，D在BC上， 1. 如果ADBC，那么BAD_，BD_。 2. 如果BADCAD，BC= 6cm， 那么BDA_，BD_cm。 3. 如果BDCD，那么BAD_，AD_。 4. 如果B80，那么BAC 5. 在ABC中，ABAC，BAC40，M是BC的中点，那么AMC ， BAM 6. 如下图，在ABC中，ABAC，
12、DAC是ABC的外角。 则：BAC180 B，BDAC C。 7. 如下图，在ABC中，ABAC，外角DCA100，则B 8. 如果等腰三角形有两边的长分别为12cm，5cm，这个三角形的周长是 cm。 二. 解答题 1. 请写出周长为8cm，且边长均为整数的等腰三角形的各边长。 2. 在等腰三角形ABC中，ABAC，周长为14cm，AC边上的中线BD把ABC分成了周长差为4cm的两个三角形，求ABC各边长。 3. 一个等腰三角形的两个内角度数之比为41，求这个三角形各角度数。 4. 如图已知ABAC，BDDC，AE平分CAF，试判断AE与AD的位置关系，并说明理由。 一. 填空 1. CAD
13、， CD 2. 90，3 3. CAD，BC 4. 20 5. 90，20； 6. 2 180BAC 2 7. 80 8. 29 二. 解答题 1. 解：等腰三角形的三边长分别为：2，3，3 2. 解：如图，设AD，则DC，AB2。设BC。 由题意可以列方程： 2x+2x+y=14(2x+x+BD)-(BD+x+y)=4 解之得：x = 3，y =2 或 解之得：x = 5/3 ，y = 22/3 显然第二种情况不符合“三角形两边之和大于第三边”，所以舍去。 所以ABC的三边长分别为： ABAC 2x =6 cm，BCy = 2cm. 3. 解：ABC中ABAC，所以CB 若BACB 41 则：BACBC6B180 所以B=30C，BAC120。 若BBAC 41 则：BACBC9BAC180 所以BAC20，BC80 2x+2x+y=14(BD+x+y)-(2x+x+BD)=4 4. 解：AEAD。 说理如下： 因为ABAC，BDDC 所以ADBC； BC。 因为CAFBC，所以CAF2B； 因为AE平分CAF，所以CAF2EAF； 所以EAFB，所以AEBC 所以EADBDA90 所以AEAD。
