剖析初中数学中的中点.docx

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1、剖析初中数学中的中点“中点”问题的教学探索 ：本文基于教学实践和反思提出了在初中数学教学中对“中点”的一些认识。并对中点问题进行了详细分类，对每种类型进行了举例、分析，特别是对各类中点问题的基本思路做了探讨和研究，并且针对学生在解题上存在的问题，提出了中点问题教学的几点建议：在中点问题教学中，要积极培养学生的观察能力，提高学生的图形结合能力。在中点问题教学中，要培养学生的分析能力与概括能力，并帮助学生实现各部分知识之间的联系与转换，从而提高学生的综合分析问题和概括问题的能力。在中点问题教学中，要给学生有专题性的训练，从而提高学生解中点问题的能力。 ：中点，中线，直角三角形，等腰三角形。 中点在

2、浙教版初中数学各册书中都有出现，是初中数学教学中一个必不可少的重要环节。它在不同的环境中起的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中也出现较多中点的运用，纵观近年来的各类考试，无论是中考、还是平时的考试试题，试卷中都有数学中点问题出现，并占有一定的分数比例，有的甚至是考卷中的压轴题。我们不妨称之为“中点问题”“中点问题”往往涉及到几何中平分、平行与垂直等重要关系，因此，探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 中点问题在教学实践中占有重要的地位，因此，我们每个数学教师必须认真研究探讨中点的教学。结合近年来我对中点问题的归纳和分析，认为初中中点问题主要可以分

3、为：三角形中的中点、圆中的中点、四边形中的中点以及综合运用。 一、 中点在三角形中的性质及其运用 初中阶段主要研究的图形是三角形，所以三角形中的中点的运用及其重要，在三角形赋予了中点更深一层次的含义，故在教学实践中占有重要的地位。 1.普通三角形的中线 1.1一条中线 如图所示，D为BC边的中点。作AE垂直BC，发现AE同时作为ABD和ADC的高，而这两个三角形的底边BD和DC又相等，即等底同高，根据三角形面积公式可得： BEDCA 1 SDABD=SDADC 三角形的一条中线平分三角形面积 1.2三条中线 三角形三条中线的交点叫做重心 六个小三角形的面积相等 由中线等分面积可得：s1=s2,

4、s3=s4,s5=s6，s1+s2+s3=s4+s5+s6 代入化简可得s1=s2=s3=s4=s5=s6 重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2：1。例如：CO:OF=QDBFO和DBCO的高相等 2:1 SDBFO:SDBCO=FO:CO CO:FO=2:1 A例1、请将三角形ABC分成四个面积相等的三角形 三角形面积相等的问题，在初中阶段和全等有着密切的联系，学生在拿到题目的时候往往会考虑轴对称等方面来找面积相等，其次学生也会考虑三角形等底同高，面积相等来解决这个问题，但容易思维定势成如右图所示的分法，教师在讲解时还需引导学生解题的方法多样性。 首先四等分面积可以分为两步走，先将三角

5、形面积二等分。如图，取BC的中点D，连接AD,根据中线的性质，容易理解三角形ABD和三角形ADC是等底同高的三角形，面积是相等的。 再将两个小三角形再各二等分，从而实现四等分。 如图所示为其中的几种分法。 AABACBDCABDCABDCBDCBDC 2 2.等腰三角形底边上的中点 根据等腰三角形的轴对称性，则有：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称等腰三角形三线合一。 例1、三角形ABC中，AB=AC=5，BC=8，点D是底边BC边的中点，求三角形ABC的面积 分析：在教学时，教师应提出问题，激发学生的求知欲望，让学生思考：从题中的已知条件可以发现这是什么特殊三角形

6、？那么该类特殊三角形在中点又有什么特殊的性质？让学生能够充分体会到中点的运用需结合图形的特殊性。 解：在等腰DABC中 QD为BC边中点 ADBC( 等腰三角形三线合一) , BD=DC=4 DABD为RtD BA根据勾股定理：AD+CD=AC 解得AD=3, QAD0 AD=3 222DC1创83=122 小结：等腰三角形底边上的中线不仅平分底边，而且也平分顶角，将该三角形分成SDABC=1BC?AD2两个全等的RtD，从而当等腰三角形底边上中点出现时，可结合RtD知识解题。 3.直角三角形斜边上的中点 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 该性质在八年级上册时并没有给出证明，直到八年

7、级下册时才依据矩形给以证明，下面且给另一种证法： 分析图: 作BC中垂线交AC与D 证明：QDF为中垂线 BD=DC(线段中垂线上的点到 3 连接BD说明 ABD和BCD都是等腰三角形说明D点为斜边的中点得出中线特征线段两端点的距离相等) ?3 4 B2 QDABC为RtD ?1?4 ?190，?2?3o90 1ADo3F 2 AD=DB 4C QBD=DC AD=DB=DC 1 D为AC中点且BD=AC 2例2：如图在DABC中，?ACB90o,CDAB于D，CEC是斜边AB上的中线，已知BC=5,CE=6.5, 求CD的长 分析：此题出现了垂直，有子母Rt，所以学生可能一开始会容易想到从勾

8、股定理去求，但是直接计算不可行，再考虑到Rt斜边上高与三边的联系：h=ab，则问题的关键就转化为要求出斜边AB和另一条直角cAEDB边AC，作为一个直角三角形，根据勾股定理，只需知道其中一条便可。 已知条件有斜边上的中线长，那么斜边便迎刃而解了 解：在RtDABC中 QCE是中线 AB=2CE=13(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) 根据勾股定理可得AC=12 ACBC60=AB13 小结：中线在直角三角形中主要体现的是2倍的数量关系 CD=4. 三角形的中位线 中位线定理：三角形的中位线平行且相等于第三边的一半 例4、已知，如图，ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的

9、中点。 求证：四边形EFDG为平行四边形。 分析：本题中出现了多个中点间的连线，即有中位线的存在 学生在看到题目时，容易被题中的多个中点混乱，不知所措，教学时可以启示：由F、G是中点，你能联想到什么？由E、D是中点，你能联想到什么？应用三角形4 的中位线定理，能得到什么？ 根据中位线定理，中位线与第三边存在两种关系： 位置关系：平行 数量关系：一半 而所要求证的问题是EF=DG且EFDG，很显然四边形EFGD 必需是平行四边形，而从位置及数量关系都能证明平行四边形， 所以本例证明方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 证明：QE,D为中点 ED为DABC的中位线 B11 ED/BC 同理

10、可得FG/BC 221 ED/FG 四边形EFGD为Y 2FEOGCDA二、 中点在圆中的性质及其运用 1.弦、弧的中点 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 逆定理 1：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 逆定理 2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 简言之：在圆中，由直径所引发的两种数量关系及一个位置关系：平分弦、平分弧、垂直弦，只要不是直径平分直径，那么知其一，便可得二。 此性质在解决圆中的弦、弦心距、拱高、半径等的计算时，可将圆中的问题化归到特殊三角形问题，对问题的解决可起到不可替代的作用。 例3、如图，CE 为O 的直径E为劣弧AB的中点，AB=8cm， DO=

11、2cm，则求EC的长 题中出现了弧的中点，显然对于我们求圆的直径长没有直接的作用，在教学时，提醒学生转换，根据垂径定理逆定理，我们可以将平分弧转化为垂直弦、平分弦，再连接一条半径，将垂直化归到Rt中去解决 解： 连接AO 1AD=DB=AB=4cmCEAB 2DADO为RtDO A D E B C 根据勾股定理可得：AD+OD=AO即4+2=r+ 222222 5 得：r=25cm 变式：若将题中“DO=2cm”改为“DE=2cm” 分析：如此一改，问题仍然是半径的计算，但学生往往喜欢直接计算，但利用垂径定理及勾股定理显然已经无法直接计算得到半径了，但弦心距OD、拱高DE和半径OE之间的关系仍

12、然没有改变，即：OE=OD+DE,为此可以引导学生用方程思想解决。 解: 设半径为r，则OD=OE-DE=r-2 2 根据勾股定理可得:AD2+OD2=AO2即(42+r-2）=r2 解得：r=5cm 小结：无论是直接计算，还是方程思想，最终解决圆中基本线段的方向是不变的，即化归为Rt去解决 三、 中点在四边形中的性质及其运用 1.梯形中位线 性质：梯形中位线平行于上下底，且等于上下底和的一半。 推论：梯形面积公式：S=上底+下底创高=中位线高 2例5、如图，梯形ABCD中，ADBC，对角线ACBD，且AC5cm，BD12cm， 求该梯形的中位线长. 分析：求梯形中位线有两种方法：上底+下底

13、2S梯形 高 第二种思想显然在本题中较难运用，而第一种思想初一看也似乎行不通，这个时候我们可以提示学生：题中出现了梯形对角线的特殊位置关系， 所以此题必须作针对对角线的辅助线，结合梯形常作辅助线可以得到，过D作DE/AC交BC延长线于E， 此辅助线的优点：能将两对角线的数量及位置关系传递到一个三角形BDE中，专门解决对角线问题 AD/BC镲镲证明：揶四边形ACED是Y镲AC/DE镲ACBD 轣BDAC/DEDE=AC=5cmAD=CEADDE轉BDE为RtD BC根据勾股定理可得：BE=12cm 6 中位线=AD+CBCE+CBBE=6cm222 变式：如图，梯形ABCD中，ADBC，对角线A

14、CBD，且中位线长为6cm，AC=5cm，求梯形的高 小结：无论用哪种方法，主要是从中位线的数量特征解决，不必确定上下底的准确值，只需求出上底与下底的和，便可求出中位线。 例6、如图，在直角梯形ABCD中，点O为CD的中点。 测量顶点A，B到点O的距离，并做出猜想； 你的猜想正确吗？为什么？ 分析：在猜想结论的时候，学生都能猜想到结论AO=BO,但在不作辅助线的情况下是无从下手的，在提示学生观察此题特殊之处是点O为CD的中点，所以不妨取AB边的 中点E，作中位线EO一试 解：测量可猜想出AO=BO EO为中位线EO/AD/BC轣EO梯形ABCD是直角梯形E为AB中点AB揶EO为AB中垂线AO=

15、BOD解法二： 本题中直角梯形的直角和中点O是题目结论成立的关键，解法一中首先抓住中点这一特征，围绕它作中位线，得以解决，提问：如果抓住直角的话，是否与线段相等有联系？ BAOCF“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”可以将“直角”与“相等”联系起来。从而引导学生作辅助线：延长AO、BC相交于点F，连接BO.再通过对AOD与FOC全等的证明可以说明点O即RTABF斜边上的中点，从而可得AO=BO=FO 2. 中点四边形 定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形 例7、求证任意四边形的中点四边形都是平行四边形 7 平行四边形的中点四边形是 ； 矩形的中点四边形是 ； 菱形的中点四边

16、形是 ； 正方形的中点四边形是 ； 梯形的中点四边形是 ； 直角梯形的中点四边形是 ； 等腰梯形的中点四边形是 。 中点四边形的研究需要学生有以下知识储备点 1、学生能利用三角形中位线定理判断中点四边形的形状； 2、感受中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置与长短； 3、通过图形变换使学生掌握简单添加辅助线的方法。 通过对中点四边形的研究，对学生的能力培养有很大促进，能够培养学生观察、发现、分析、探索知识的能力及创造性思维和归纳总结能力；通过对图形既相互变化，又相互联系的内在规律渗透辩证唯物主义观点，使学生领悟事物是运动、变化、相互联系和相互转化的。 在教学过程中，教师可以先提问：中

17、点四边形的形状与原四边形的什么有密切关系？让学生小组合作，相互讨论探索，引导学生去发现中点四边形与原四边形的对角线有着密切的联系，即三角形中位线定理。 解：如图连接AC，这样这条对角线把四边形分成了两个 三角形，那么GF,HE为三角形的中位线。根据中位线定理可得 GF/11AC , HE/AC, 所以HE/GF，即HEGF为平行四边形 22GDAHFBECGD 若ABCD是矩形，则AC=BD. 依据中位线定理可得 AHE=GF=11AC，HG=EF=BD 22HFBECHE=EF=FG=HG 当ABCD是矩形时，中点四边形HEFG为菱形 以此类推： 平行四边形的中点四边形是平行四边形； 矩形的

18、中点四边形是菱形； 菱形的中点四边形是矩形； 正方形的中点四边形是正方形； 梯形的中点四边形是平行四边形； 直角梯形的中点四边形是平行四边形； 8 等腰梯形的中点四边形是菱形。 小结：中点四边形的形状与原四边形的对角线有密切关系； 只要原四边形的两条对角线相等，就能使中点四边形是菱形； 只要原四边形的两条对角线垂直，就能使中点四边形是矩形； 只要原四边形的对角线垂直且相等，就能使中点四边形是正方形 通过命题探索过程认识到事物的发展都从感性到理性，有特殊到一般再到特殊的过程，只要弄清它的内在变化规律，就能使所学知识拓展引伸。 四、 中点的综合运用 1.1重心定理与三线合一的结合运用 例7 已知：

19、DABC中AB=AC,中线AD与中线BE相交于点G;AD=18cm, GE=5cm,求：BC的长。 分析：此题出现两个中点，很明显，点D是等腰三角形底边上的中点， 可运用三线合一的有关知识；另一中点很普通，但两中线相交出现、 重心，可运用重心定理的相关知识，过程如下： 解：G为重心?DG1AD=6cm, 同理可得BG=10cm 3A E G G AB=AC轉ABC为等腰三角形 轣ADA为中线 根据勾股定理可得：BD=8cm BC=2BD=16cm BC(三线合一) B D C 1.2 三线合一与斜边上中线的结合运用 例8. 如图，在DABC中，点D在AC边上，DB=BC，点E是CD的中点，点F

20、是AB的中点， 求证：2EF=AB 分析：题中的中点E容易察觉是等腰三角形底边上的中点，但另一中点 BFADECF似乎并不特殊，但是我们把三线合一运用之后就会发现F点成为了RtDABE斜边上的中点，这时问题便迎刃而解了。 9 BD=BC轉BCD为等腰三角形解：轣BEE为DC中点 DABE为RtD QF为AB中点 EF=1.3 中位线与三线合一的结合运用 CD 1AB即 2EF=AB 2例9、已知ABC中，D是AB上一点，AD=AC， AECD，垂足为E，F 是BC的中点，试说明BD=2EF。 分析：在题中有等腰三角形，所以在等腰三角形ADC中运用三线合一，可得E为中点，此时便可发现EFACEF

21、DB其实是一条中位线，再运用中位线定理便可。学生在解该题时，必须将中点在等腰三角形中的价值体现出来，充分分析中点在特殊三角形中的价值。 1.4 中位线与斜边上中线的结合运用 例10. 如图：DABC中，AHBC于H, D、E、F分别是AB、AC和BC的中点。 求证：?DFE DHE DHE A分析：从图形形态来看，容易选择三角形全等来证明?DFE BDEFHC 但等量关系的寻找比较复杂。连接DE，则图中出现了三角形的 三条中位线，可运用中位线定理得： 1AC DE/BC 211DE=BC EF/AB EF=AB 22 DF/AC DF=题中同时出现直角三角形，则中点D、E又成为RtD斜边上的中

22、线，对应又有两组一10 半关系： EH=11AC DH=AB 22 从这8个关系中选取： 便可得到两对相等的边，全等即可证 解：QD、F为中点 DF为中位线 DF=1AC(中位线定理) 2 QAHBC DAHC为RtD QE为中点 EH=1AC 2 DF=EH 同理可得：DH=EF DF=EH 在DDEF和DEDH中DH=EF DDFEDEHD(SSS) DE=FE ?DFE DHE 小结：在中点的综合运用中，可以发现，如果将中点孤立的去理解，那它将一无是处，而一旦将它置于特殊的图形中，那它的价值就体现的淋漓尽致。所以在中点问题教学中，要积极培养学生的观察能力，提高学生的图形结合能力；要培养学

23、生的分析能力与概括能力，并帮助学生实现各部分知识之间的联系与转换，从而提高学生的综合分析问题和概括问题的能力；在中点问题教学中，要给学生有专题性的训练，从而提高学生解中点问题的能力。 所以在综合运用时，我们必须理清头绪，分清题中的各种情境，让“中点”置的起所。 四、归纳总结及启示 数学知识的归纳总结，可以使知识条理化、系统化，避免学了很多东西，脑子里却很乱，理不出头绪来的现象。总结时也要十分注意定理的来龙去脉，在定理较多时，尤其要注意它们的“根”在哪儿，以及它们之间的相互关系等，这样才记得牢，用起来才得心应手。有时遇到一些问题，单利用公式不容易解决，但只要从公式的“根”上一想，问题就能迎刃而解

24、了。 根据以上的归纳，发现中点问题并不是那么难以下手，“中点问题”主要基于重心定理 ；三线合一 ； 斜边上中线；中位线定理，垂径定理这几个性质相互结合构造，我们只要牢牢抓住中点在各种三角形、圆、梯形中的特殊作用，不要孤立处理11 中点，再作出合理的辅助线，梳理出有价值的结论，放“中点”归图，“中点问题”便迎刃而解了。 总之，中点问题的种类还有很多种，还需要我们进一步去探究发现其中的奥秘。所以，我们每个教师在教学中要不断研究探索中点问题的教学，为学生学好数学提供良好条件，把他们培养成为勇于探索具有较强的创新意识和创新能力的创造型人才。 1 王海秋，数学课堂教学，华东师范大学出版社，2010 2 张奠宙，唐瑞芬，刘鸿坤数学教育学，江西教育出版社，2001 12