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1、北师九年级下册第二章二次函数知识点及习题九年级下册第二章 二次函数 一、二次函数概念： 1二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零二次函数的定义域是全体实数 2. 二次函数y=ax+bx+c的结构特征： 一次函数：2初中阶段所学函数： y=kx+b(k是常数，k0) x 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2 a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 正比例函数:y=k二、二次函数的图像和性质 1. 二次函数基本形式：y=ax2的性质： 反比例函数：y=k
2、 x当a越大，抛物线开口越小；当a越小，抛物线的开口越大。 最大值或最小值：当a0，且x0时函数有最小值，最小值是0； 当a0，且x0时函数有最大值，最大值是0。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a0 (0，0) (0，0) y轴 x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0 a0 (0，c) (0，c) y轴 x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值c a0 向上 (h，0) xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小
3、值0 ah时，y随x的增大而减小；x0 (h，k) (h，k) X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k a0，则当x-若a0，则当x-b时，y随x的增大而减小； 2ab时，y随x的增大而增大。 2ab时，y随x的增大而增大； 2ab时，y随x的增大而减小。 2a4ac-b2b最值：若a0，则当x=-时，y最小=； 4a2a4ac-b2b 若a0)平移|k|个单位y=ax2+k向右(h0)平移|k|个单位向右(h0)平移 |k|个单位向上(k0)平移|k|个单位向右(h0)平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k0)平
4、移|k|个单位y=a(x-h)2+k 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二： y=ax+bx+c沿y轴平移:向上平移m个单位，y=ax+bx+c变成 22y=ax2+bx+c+m y=ax+bx+c沿轴平移：向左平移m个单位，y=ax+bx+c变成22y=a(x+m)2+b(x+m)+c 四、二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c的比较 从解析式上看，y=a(x-h)+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，b4ac-b2b4ac-b2即y=ax+，其中h=-， k
5、=2a4a2a4a22五、二次函数y=ax2+bx+c图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 2b 先找出顶点，画出对称轴x=-； 2a4a2a 找出图象上关于直线x=-c)、以及(0，c)关于对称轴对称的点(2h，c)、与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)；一般我们选取的五点为：2a与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 把上述五点连成光滑的曲线。 六、二次函数解析式的表示方
6、法 1. 一般式：y=ax2+bx+c； 2. 顶点式：y=a(x-h)2+k； 3. 两根式：y=a(x-x1)(x-x2). 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a0 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当a0的前提下， 当b0时，-当b=0时，-当b0时，-b0，即抛物线
7、对称轴在y轴的右侧 2a 在a0时，-当b=0时，-当b0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab=0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab0，在y轴的右侧则ab0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当c0时，图象与x轴交于两点A(x1，b2-4ac程ax+bx+c=0(a0)的两根这两点间的距离AB=x2-x1=. a2 当D=0时，图象与x轴只有一个交点； 当D0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0； 2 当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0时为例，揭示
8、二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： D0 抛物线与x轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 D=0 D0时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的最_点；当a2 Bm-2 3若二次函数y1=a1x2-1与二次函数y2=a2x2+3图象的形状完全相同，则a1与a2的关系为 Aa1=a2 Ba1=-a2 Ca1=a2 D无法判断 4将二次函数y=-2x2的图象向下平移5个单位，得到的抛物线的解析式为 Ay=2x2+5 By=-2x2-5 Cy=-2x2+5 Dy=2x2-5 5若二次函数y=m2-6x2-2由二次函数y=-5x2平移得到的，则m的值为
9、A1 B-1 C1 或-1 D0或-1 16二次函数y=-x2-3图象的顶点坐标为 311A B C D 337将二次函数y=-2x2-1图象向下平移5个单位得到的抛物线的顶点坐标为 A B C D 8将二次函数y=-x2+1图象向左平移3个单位得到的抛物线的对称轴为 A直线x=0 B直线x=4 C直线x=-3 D直线x=3 ()3、二次函数ya(x-h)2的图象与性质 1观察图象，填表： 函数 1y2 (x1)2 1y2 (x1)2 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性 12请在图上把抛物线y2 x2也画上去 111 抛物线y2 (x1)2 ，y2 x2，y2 (x1)2的形状大小_ 11把
10、抛物线y2 x2向左平移_个单位，就得到抛物线y2 (x1)2 ； 11把抛物线y2 x2向右平移_个单位，就得到抛物线y2 (x1)2 目标检测 1抛物线y2 (x3)2的开口_；顶点坐标为_；对称轴是_；当x3时，y_；当x3时，y有_值是_ 2抛物线ym (xn)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y4 (x4)2，则m_，n _ 3若将抛物线y2x21向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_ 4若抛物线ym (x1)2过点，则m_. 练习： 1二次函数y=(x-6)2的图象是由y=x2的图象经过怎样的图形变换得到的？ 开口方向 ；顶点坐标 ；对称轴为 . 2练习：二次函数y=-2
11、(x+3)2的图象是由y=-2x2的图象经过怎样的图形变换得到的？ 开口方向 ；顶点坐标 ；对称轴为 . 3练习：将二次函数y=3x2的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到的函数解析式为 ，再沿x轴向左平移7个单位长度得到的函数解析式为 . 巩固提高 1对于二次函数y=-3x2+2x-4来说，a=_，b=_，c=_. 2抛物线y=-2x2+3的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，其顶点坐标的意义为 . 3将抛物线y=12x沿y轴向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ，再沿y轴向3上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 . 4把抛物线y=ax2+c沿y轴向下平移7个单位得到的抛物线的解析式为y=
12、3x2-4，则a= ，c= . 5抛物线y=-2(x+3)2的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，其顶点坐标的意义为 . 6将抛物线y=-5x2沿x轴向左平移6个单位长度得到的新的二次函数解析式为 .此时函数的顶点坐标为 ，对称轴为 . 7把抛物线y=a(x-h)2沿x轴向右平移3个单位长度得到的新的二次函数解析式为y=-5(x-5)2，则a= ， h= . 8把抛物线y=12x向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式为 ，此2时抛物线的开口方向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 . 9二次函数y=2x2-4x-1 将其化成y=a(x-h)2+k的形式； 说明中抛物线是由y=2x2
13、的图象经过怎样的图形变换得到的？ 写出中抛物线的顶点坐标，对称轴. 求中抛物线与x轴、y轴的交点坐标. 4、 二次函数yax2bxc的图象与性质 1用配方法求二次函数y2x24x1的顶点坐标 2用两种方法求二次函数y3x22x的顶点坐标 3二次函数y2x2bxc的顶点坐标是，则b_，c_ 4已知二次函数y2x28x6，当_时，y随x的增大而增大；当x_时，y有_值是_ 目标检测 11用顶点坐标公式和配方法求二次函数y2 x221的顶点坐标 2二次函数yx2mx中，当x3时，函数值最大，求其最大值 巩固提高 1、与抛物线y=ax2+bx+c的对称轴的位置有关的数据是_ A、a B、b C、a、b
14、 D、a、b、c 2、下列抛物线的顶点在第二象限的是_ A、y=x2-x+2 B、y=x2+x+2 C、y=-x2-x+2 D、y=-x2+x+2 3、抛物线y=x2-2x+3的对称轴是_，顶点坐标是_ 4、函数y=-x2+2x+2的最大值是_。 5、对于函数y=-x2-2x+3，当x_时，y随x的增大而增大；x_时，y随x的增大而减小。 6、已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，有下列结论： y abc0；a+b+c0a-b+c0与x轴有两个交点 b24ac=0与x轴有一个交点 0，y有最小值为4ac-b24a；a0，y有最小值为k；a0，图象开口向上；a0，图象开口向下； a1=a
15、2说明两函数图象大小形状相同. 5.对称轴：x=-b2a；x=h 6.对称轴位置分析：b=0，对称轴为y轴； ab0，对称轴在y轴的左侧； 7.增减性：a0，x-b2a时，y随x的增大而增大；x-b2a时，y随x的增大而减小 a-b2a时，y随x的增大而减小；x0，有两个交点； D=b2-4ac0，没有交点10.平移：化成顶点式y=a(x-h)2+k，上加下减：km；左加右减：hm 练习： 1已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，判断下列式子与0的关系. a_0； b_0； c_0； a+b+c_0； a-b+c_0； b2-4ac_0； 2a+b_0； 2a-b_0； 2若二次函数y=ax2+b，当x取x1、x2时，函数的值相等，则当xx1+x2时，函数值为 . 取
