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1、北师大九年级数学特殊的平行四边形证明题1如图，已知E，F，G，H分别是四边形ABCD四边形的中点；当满足条件四边形EFGH是矩形；当满足条件四边形EFGH是菱形；当满足条件四边形EFGH是正方形 2已知，如图，四边形ABCD是菱形，B是锐角，AFBC于点F，CHAD于点H，在AB边上取点E，使得AE=AH，在CD边上取点G，使得CG=CF，连接EF、FG、GH、HE 求证：四边形EFGH是矩形； 当B为多少度时，四边形EFGH是正方形？并证明 3如图，根据图形解答下列问题 如图，以ABC三边向外分别作等边ACD、ABE、BCF，证明四边形ADFE是平行四边形 ABC满足什么条件时，四边形ADF
2、E是矩形？ ABC满足什么条件时，四边形ADFE是菱形？ ABC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形？ 4）如图，RtABC中，ACB=90，中线BE、CD相交于点O，点F、G分别是OB、OC的中点 求证：四边形DFGE是平行四边形； 如果把RtABC变为任意ABC，如图，通过你的观察，第问的结论是否仍然成立； 在图中，试想：如果拖动点A，通过你的观察和探究，在什么条件下四边形DFGE是矩形，并给出证明； 在第问中，试想：如果拖动点A，是否存在四边形DFGE是正方形或菱形？如果存在，画出相应的图形 5如图1，正方形ABCD的对角线相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，MN、MQ分别
3、交正方菜ABCD的边于E、F两 点 试判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明 若将题中的“正方形MNPQ与正方形ABCD”改为“矩形MNPQ与矩形ABCD”，且BC=2AB，其他条件不变，当矩形MNPQ与矩形ABCD的位置如图2所示时，请判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明 6如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：AF=DE，AFDE 如图，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论、是否仍然成立； 如图，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的
4、结论、是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由 如图，在的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并写出证明过程 7如图，E是矩形ABCD边BC的中点，P是AD边上一动点，PFAE，PHDE，垂足分别为F，H 当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形在中，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF是矩形？请予以证明； PHEF变为正方形？为什么？ 8）如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合展开后，折
5、痕DE分别交AB，AC于点G，E，连接GF 求AGD的度数； 证明四边形AEFG是菱形； 9已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点 求证：ABMDCM； 判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论； 当AD：AB= ： 时，四边形MENF是正方形 10如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB，PE交CD于点F，连接DE 请判断PDE的形状，并给予证明； 把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变，若ABC=56，求DPE的度数 11在综合实践活动课中，王老师出了这样一道题： 如图1，在矩形A
6、BCD中，M是BC的中点，过点M作MEAC交BD于点E，作MFBD交AC于点F求证：四边形OEMF是菱形 做完题后，同学们按照老师的要求进行变式或拓展，提出新的问题让其它同学解答 小明同学说：“我把条件中的矩形ABCD改为菱形ABCD，如图2所示，发现四边形OEMF是矩形”请给予证明； 小芳同学说：“我把条件中的点M是BC的中点改为点M是BC延长线上的一个动点，发现点F落在AC的延长线上，如图3所示，此时OB、ME、MF三条线段之间存在某种数量关系”请你写出这个结论，并说明理由 12在菱形ABCD和正三角形BGF中，ABC=60，P是DF的中点，连接PG、PC 如图1，当点G在BC边上时，易证
7、：PG=PC 如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明； 如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想 13如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，EAF=45，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG求证：EF=FG 如图，等腰直角三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，点M，N在边BC上，且MAN=45，若BM=1，CN=3，求MN的长 14已知：如图，ABC中，BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EFBC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形。 14解：AD是
8、BAC的平分线，CAD=DAE， 在ABD和ADE中， AEAB CADDAE ADAD ，ABDADE，BD=DE， 同理BAFEAF，BF=EF， 在BFD和EDF中， BDDE DFDF BFEF ，BFDEDF，BFD=DFE， 又EFBC，DFE=FDC，BFD=BDF，BF=BD，BF=BD=EF=DE，四边形BDEF是菱形 13证明：在正方形ABCD中，ABE=ADG，AD=AB，在ABE和ADG中， ABEADG，BAE=DAG，AE=AG，EAG=90， 在FAE和GAF中， ，FAEGAF，EF=FG 解：如图2，过点C作CEBC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM连接AE
9、、EN AB=AC，BAC=90，B=C=45CEBC，ACE=B=45在ABM和ACE中， ABMACEAM=AE，BAM=CAE BAC=90，MAN=45，BAM+CAN=45 于是，由BAM=CAE，得MAN=EAN=45在MAN和EAN中， MANEANMN=EN 在RtENC中，由勾股定理，得EN=EC+NCMN=BM+NCBM=1，CN=3，MN=1+3， 222222222MN= 12解答： 提示：如图1：延长GP交DC于点E，利用PEDPGF，得出PE=PG，DE=FG， CE=CG，CP是EG的中垂线，在RTCPG中，PCG=60，PG=如图2，延长GP交DA于点E，连接E
10、C，GC， PC ABC=60，BGF正三角形GFBCAD，EDP=GFP， 在DPE和FPG中 DPEFPGPE=PG，DE=FG=BG， CDE=CBG=60，CD=CB，在CDE和CBG中， CDECBGCE=CG，DCE=BCG， ECG=DCB=120， PE=PG，CPPG，PCG=ECG=60PG= 11）证明：MEAC，MFBD，四边形OEMF是平行四边形 又四边形ABCD是菱形，ACBD，即EOF=90，四边形OEMF是矩形 结论：OB=ME-MF理由如下：MEAC，MFBD，四边形OEMF 是平行四边形，OE=MF， 又四边形ABCD是矩形，OB=1 2 BD，OC=1 2
11、 AD，且AC=BD，OB=OC，OBC=OCB， 由MEAC可知，OCB=EMB，BE=ME，OB=BE-OE=ME-MF 10PDE为等腰直角三角形 证明：在正方形ABCD中，BC=DC，BCP=DCP=45， 在BCP和DCP中，BCDC BCPDCP PCPC BCPDCP；CBP=CDP，PD=PB PE=PB，CBP=CEP，PD=PECFE=PFD180-PFD-CDP=180-CFE-CEP 即DPE=DCE=90PDE为等腰直角三角形 解：ABCDDCE=ABC，DPE=DCEDPE=ABCABC=56DPE=56 9证明：四边形ABCD是矩形，AB=CD，A=D=90， 又
12、M是AD的中点，AM=DM在ABM和DCM中， ABCD AD AMDM ， ABMDCM 解：四边形MENF是菱形证明如下：E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，NEMF，NE=MF四边形MENF是平行四边形由，得BM=CM，ME=MF四边形MENF是菱形 解：2：1 当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形理由： M为AD中点，AD=2AMAD：AB=2：1，AM=ABA=90，ABM=AMB=45 同理DMC=45，EMF=180-45-45=90四边形MENF是菱形，菱形MENF是正方形 8：根据折叠的对称性，可知ADG=BDG=22.5 PC 四边形ABCD是正方形，DCG=
13、45，AGD=45+67.5=112.5 证明：由对称性，可知AE=EF，AG=FG，AEG=90-22.50=67.5， AGE=180-112.5=67.5，AE=AG，AE=AG=EF=GF，四边形AEFG是菱形； 证明：EFBD，AOBD，EFAC，DOGDFE，OG EF =DO DF = 2 2 ， EF= 2 OG，在直角三角形BEF中，EBF=45，BE= 2 EF=2OG 7：AD=2AB证明：四边形ABCD是矩形，AD=BC，AB=CD； E是BC的中点，AB=BE=EC=CD；则ABE、DCE是等腰Rt； AEB=DEC=45；AED=90； 四边形PFEH中，PFE=F
14、EH=EHP=90，故四边形PFEH是矩形； 点P是AD的中点时，矩形PHEF变为正方形；理由如下： 由可得BAE=CDE=45；FAP=HDP=45；又AFP=PHD=90，AP=PD， RtAFPRtDHP；PF=PH；在矩形PFEH中，PF=PH，故PFEH是正方形 6解：DF=CE，AD=DC，且ADF=DCE，DECAFD；结论、成立 结论、仍然成立理由为： 四边形ABCD为正方形，AD=DC=CB且ADC=DCB=90， 在RtADF和RtECD中 ADDC ADCDCB CEDF ， RtADFRtECD，AF=DE，DAF=CDE， ADE+CDE=90，ADE+DAF=90，
15、AGD=90，AFDE； 结论：四边形MNPQ是正方形证明：AM=ME，AQ=QD， MQDE且MQ=1 2 DE， 同理可证：PNDE，PN=1 2 DE；MNAF，MN=1 2 AF；PQAF，PQ=1 2 AF； AF=DE，MN=NP=PQ=QM，四边形MNPQ是菱形， 又AFDE，MQP=90，四边形MNPQ是正方形 5）解：ME=MF理由如下：如图1，过点M作MGBC于点G，MHCD于点H MGE=MHF=90M为正方形对角线AC、BD的交点，MG=MH 又1+GMQ=2+GMQ=90，1=2 在MGE和MHF中， 12 MGMH MGEMHF ，MGEMHFME=MF 解：ME
16、MF =1 2 理由如下： 如图2，过点M作MGBC于点G，MHCD于点HMGE=MHF=90 M为矩形对角线AC、BD的交点，1+GMQ=2+GMQ=901=2 在MGE和MHF中，1=2 MGE=MHFMGEMHFME MF =MG MH M为矩形对角线AB、AC的交点，MB=MD=MC又MGBC，MHCD，点G、H分别是BC、DC的中点BC=2AB=4，MG=1 2 AB，MH=1 2 BCME MF =1 2 4证明证明：BE、CD是中线，D、E是两边的中点DEBC且DE=1 2 BC 又点F、G分别是OB、OC的中点，FGBC且FG=1 2 BCDEFG且DE=FG 四边形DFGE是
17、平行四边形 解：成立 如图，当AB=AC时，四边形DFGE是矩形作AHBC，如图所示， AB=AC，AHBCAH是BC边的中线，又BE、CD是中线，AH必过点ODF为ABO的中位线，DFAO，即DFAH，又FG为BCO的中位线， FGBC，又FGBC，AHBC，AHFGDFG=90度又四边形DFGE是平行四边形， 四边形DFGE是矩形 3：连接EF、DF，ABE、CBF是等边三角形，BE=AB，BF=CB，EBA=FBC=60；EBF=ABC=60-ABF；EFBACB；EF=AC=AD；同理由CDFCAB，得DF=AB=AE；由AE=DF，AD=EF即可得出四边形AEFD是平行四边形； 若B
18、AC=150，则平行四边形AEFD是矩形； 由知四边形AEFD是平行四边形，则EAD=90时，可得平行四边形AEFD是矩形， BAC=360-60-60-90=150，即ABC满足BAC=150时，四边形AEFD是矩形； 若AB=AC，则平行四边形AEFD是菱形；此时AE=AB=AC=AD，即ABC是等腰三角形； 故ABC满足AB=AC时，四边形AEFD是菱形；综合的结论知：当ABC是顶角BAC是150的等腰三角形时，四边形AEFD是正方形 2）如图，连结BD，FH，可证得四边形AFCH为矩形， AH=CF=AE=CG，AE：AB=AH：AD，AEHABD，AEH=ABD，EH：BD=AE：AB，EHBD，同理FGBD，FG：BD=DF：CB，EHFG，EH：BD=FG：BD，EH=FG，四边形EFGH是平行四边形， BE=BF，EBD=FBD，BDEF，EHEF，EFGH是矩形； 当B等于45度时，四边形EFGH是正方形，理由如下： 在正方形EFGH中，EHF=45，FEH=FAH=90，AEFH四点共圆，EAF=EHF=45，ABC=45B等于45度时，四边形EFGH是正方形
