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1、第一章 应力分析,主要内容：1.应力分量、应力张量概念2.斜截面应力公式3.平衡微分方程4.应力边界条件5.应力分量坐标变换6.主应力，最大剪应力，Mohr应力圆7.偏应力张量，等效应力，主应力空间,1-1 应力矢量,一、外力概念,体力、面力,（材力：集中力、分布力。）,(1)体力,物体内单位体积上所受的外力,体力分布集度,（矢量）,X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影,单位：,N/m3,kN/m3,说明：,(1)F 是坐标的连续分布函数；,(2)F 的加载方式是任意的(如：重力，磁场力、惯性力等),(3)X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。,(2)面力,作用于物体表面单位面积上的外力,面力分
2、布集度（矢量）,面力矢量在坐标轴上投影,单位：,1N/m2=1Pa(帕),1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕),说明：,(1)F 是坐标的连续分布函数；,(2)F 的加载方式是任意的;,(3)的正负号由坐标方向确定。,(1)一点应力的概念,内力,(1)物体内部分子或原子间的相互作用力;,(2)由于外力作用引起的相互作用力.,(不考虑),P,(1)P点的内力面分布集度,(2)应力矢量.,-P点的应力,的极限方向,由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度,二、应力矢量,应力分量,应力的法向分量,正应力,应力的切向分量,剪应力,单位:,MPa(兆帕),应力关于坐标连续分布的,应力分量沿坐标轴
3、的分量：,用,表示坐标轴单位矢量,重要公式,(2)一点的应力状态,通过一点P 的各个面上应力状况的集合,称为一点的应力状态,x面的应力：,y面的应力：,z面的应力：,用矩阵表示：,应力符号的意义：,第1个下标 x 表示所在面的法线方向；,第2个下标 y 表示的方向.,应力正负号的规定：,正应力 拉为正，压为负。,剪应力 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；,坐标负面上，与坐标正向相反时为正。,与材力中剪应力正负号规定的区别：,规定使得单元体顺时转的剪应力为正，反之为负。,在用应力莫尔圆时必须用此规定求解问题,其中，只有6个量独立。,剪应力互等定理,用张量表示：,重要公式,1-2 Cauchy公式
4、（斜面应力公式）,已知物体在任一点P的六个应力分量,求经过P点的任一斜面上的应力。,设三角形ABC的面积为S，则三角形BPC、CPA、APB的面积分别为lS、mS、nS。四面体PABC的体积用V表示。三角形ABC上的应力 在坐标轴方向的分量根据四面体的平衡条件，,令平面ABC的外法线为N，其方向余弦为,除以S，移项后，得,当斜面ABC趋近于P点时，由于V是比S更高一阶的微量，所以V/S趋于零。于是得出下式中的第一式。同样，由平衡条件 可以得出其余两式。,斜面应力(Cauchy)公式,重要公式,设三角形ABC上的正应力为N,则由投影可得,将Cauchy公式代入，得,重要公式,重要公式,斜面应力矢
5、量大小,重要公式,斜面剪应力分量大小,重要公式,在物体的任意一点，如果已知六个应力分量 就可以求得任一斜面上的正应力和剪应力。就是说，六个应力分量完全决定了一点的应力状态。,1-3 平衡微分方程,在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行六面体，棱边的长度分别为PA=dx，PB=dy，PC=dz。,首先，以连接六面体前后两面中心的直线 为矩轴，列出力矩的平衡方程,整理，并略去微量后，得,同样可以得出,剪应力互等定理,列出x轴方向的力的平衡方程,由其余两个平衡方程 和 可以得出与之相似的两个方程。化简，除以dxdydz，得,空间问题的平衡微分方程（纳维叶方程）,重要公式,如物体处于运动状态,根据达
6、朗伯(dAlembert)原理,在体力项中引入惯性力:,运动微分方程,1-4 力边界条件,如果斜截面ABC是物体的边界面，则Tx、Ty、Tz 成为面力分量，于是得出,即应力边界条件。它表明了应力分量的边界值与表面力分量之间的关系。,重要公式,1-5 应力分量的坐标变换,在给定载荷作用下，物体内的任意斜截面上应力的大小和方向是确定的，即一点的应力状态是确定的。不随所取坐标系的不同而变化。,一点的应力（应变）状态是用6个应力分量来定义，而应力分量是在一定的坐标系下确定的，且随坐标系的不同的变化。本节重点是讨论坐标变换时应力分量的变化规律。,坐标变换包括平移、旋转和反射。对右手坐标系，平移和旋转变换
7、后仍保持右手系，反射变换则变成左手系。,对平移变换，一点的应力分量保持不变。,本节主要讨论坐标旋转变换时应力分量的变化规律,考察物体内任一点o，设oxyz为旧坐标系，其单位矢量为ex、ey、ez，相应的应力分量为,x,y,z,e1,e2,e3,设oxyz为新坐标，其单位矢量为ex、ey、ez。相应的应力分量为,新旧坐标系下坐标轴间的方向余弦为,作斜面abc垂直于x轴，该斜面上的应力矢量为T。T在旧坐标系下的三个分量为Tx，Ty和Tz，则,x,y,z,z,x,y,T,由斜面应力(Cauchy)公式,T在新坐标系下的三个分量为 Tx、Ty、Tz 则,用矩阵表示：,同理：,合并：,1-6 主应力与应
8、力张量不变量,已知一点的应力分量，则任意斜截面上的应力矢量,斜截面上的应力不仅与该点的应力状态 有关，且与斜面的方向 有关。,问：是否存在一特定的斜截面，剪应力为零。其上应力矢量T与截面法线同向。即T为该截面上的正应力，,已知,当斜面法线方向满足上述方程时，该斜面上只有正应力，没有剪应力，称该平面为主平面；主平面上的正应力称为主应力；主应力方向（即主平面法线方向）称为主方向。,上述方程为 的齐次线性方程组，且常数项都为零。因为：，故 不能同时为零，所以方程组的系数行列式应为零，即,将行列式展开，得到求解主应力 的三次方程，称为应力张量 的特征方程。,式中,设特征方程的三个根为，则,展开后有,比
9、较上两式，有,对一个给定的应力状态，其主应力的大小和方向是确定的，不随坐标系的变换而变化。故 是不随坐标系的变换而变化的量，称为应力张量不变量。,（特征方程）,分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量。,例：,求主应力和主方向,解：,代入特征方程：,解得,求 对应的主方向,主应力的重要性质,1.主应力为实数；2.三个主应力相互垂直；即物体内任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主平面，及对应的三个主应力。（1）当，有3个相互垂直的主应力；（2）当，与 垂直的平面上的任意方向都为主应力方向，即该平面上任意方向都是主方向，且应力值相同。（3）当，空间任意方向都是主方向，且应力值相同。,3.主应力的极
10、值性；（1）最大（或最小）的主应力是相应点处任意截面上正应力的最大（或最小）值；设：，则（2）绝对值最大（或最小）的主应力是相应点处任意截面上全应力T的最大（或最小）值。,1-7 最大剪应力,设3个主应力及主方向已知。以3个主方向为坐标轴方向。则应力分量：,由斜面应力公式,由,是m，n的函数，取极值（也取极值）的条件是,即,上式第一式除，第二式除，得,（1）当,对应主平面，其剪应力为零。（极小值）,第二组解：,第一组解：,对应于经过主轴之一，而平分其他两主轴夹角（与主平面成45）的平面，其剪应力取极大值。,设,，最大剪应力为：,剪应力极大值（六个面）：,（2）两主应力相等，设,由第二式，得,方
11、程的解为,由第一式自然满足,表示通过oz轴的平面，该组平面上，剪应力为零。,表示任一个与圆锥面相切的微分面。在该组面上剪应力取最大值。,（3）三个主应力相等,空间任一方向都为主方向，即任一平面都是主平面，剪应力均为零。,该应力状态称为均匀受力状态，也称为静水应力状态。,1-8 Mohr应力圆（自学）,1-9 应力张量的分解（应力球形张量与偏应力张量）,描述一点应力状态的9个应力分量构成一个对称应力张量,引入平均应力,则,应力张量可分解为两个张量之和,简写为,式中,称 为应力偏量，为应力球形张量，为单位张量。,球形张量是代表各向均匀拉伸或压缩的应力状态。,球形张量应力（静水应力）作用下，物体只产
12、生各向相同的线应变而无剪应变。对应物体的体积改变，而形状不变。,应力偏量代表各面正应力中偏离静水应力的量，是正应力之和为零的应力状态。该应力状态下，物体的体积不改变而形状改变。,静水压力实验研究表明，在均匀受力情况下，即使应力达到很大值，材料也不产生塑性变形。故：应力球形张量不产生材料的塑性变形；应力偏量是产生塑性变形的真正原因。,应力偏量也是一种应力状态，同样存在着不变量。用 表示。,式中：,一、八面体应力以三个应力主方向为坐标轴，过物体中的一点作一外法线n与3个应力主方向有相同角度的斜面。即：由：有:,1-10八面体应力和等效应力,这样的斜面称为等倾面，共8个，在空间构成一个八面体。,由斜
13、截面计算公式：,得,八面体平面上的应力在塑形理论中非常重要,比较 有,二、等效应力,设,单轴拉伸,主应力空间中任意一坐标点 代表物体一点的应力状态。,三、主应力空间与 平面,由 为作标轴的直角坐标系，称为主应力空间,或：物体中一点的应力状态在主应力空间中有对应的坐标点。,在主应力空间，过原点O作一条与3个坐标轴具有相同夹角的直线，该直线上的任意一点所代表的应力状态有,为静水压力状态，该直线为静水压力轴。,过原点O以静水压力轴为法线作一个平面，称为 平面。,在 平面上，为偏应力状态。,静水压力轴,重要公式：,一、应力状态矩阵,二、斜面应力(Cauchy)公式,三、斜截面应力矢量，正应力和剪应力,四、平衡微分方程,五、应力边界条件,六、坐标变换公式,七、主应力公式,八、最大剪应力,九、8面体应力,十、等效应力,第一章结束,
