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1、华师大九年级下册数学知识点总结华师大版九年级下册数学知识点总结 第二十六章 二次函数 一、二次函数概念： 1、二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b， c可以为零。二次函数的定义域是全体实数。2、二次函数y=ax2+bx+c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。 a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：y=ax2的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
2、 x0时，y随x的增大而增大； a0 向上 (0，0) y轴 x0时，y随x的增大而减小； a0 向下 (0，0) y轴 x0时，y随x的增大而增大； a0 向上 (0，c) y轴 x0时，y随x的增大而减小； a0 向下 (0，c) y轴 xh时，y随x的增大而增大； a0 向上 (h，0) X=h xh时，y随x的增大而减小； a0 向下 (h，0) X=h x0 (h，k) (h，k) X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k。 ah时，y随x的增大而减小；x0)平移|k|个单位2y=ax2y=ax2+k向右(h0)平移|k|个单位向右(h0
3、)平移 |k|个单位向上(k0)平移|k|个单位向上(k0)平移|k|个单位向右(h0)平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”。 概括成八个字“左加右减，上加下减”。 方法二： y=ax+bx+c沿y轴平移:向上平移m个单位， 2y=ax2+bx+c变成y=ax2+bx+c+m 2 y=ax+bx+c沿轴平移：向左平移m个单位， 2y=ax2+bx+c变成y=a(x+m)2+b(x+m)+c 四、二次函数y=a(x-h)+k与y=ax2+bx+c的比较 从解析式上看，y=a(x-h)+k与y=ax2
4、+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即b4ac-b2b4ac-b2y=ax+，其中h=-，。 k=+2a4a2a4a222五、二次函数y=ax2+bx+c图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k，确定其开口方向、对称轴c)、及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点(0，c)关于对称轴对称的点(2h，c)、与x轴的交点(x1，0)，(x2，0). 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 六、二次函数y=ax2+bx+c的性质 b4a
5、c-b2b 1. 当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-，顶点坐标为-，。 2a4a2a当x-时，y随x的增大而增大；当x=-时，y有最小值2a2a2a4ac-b2。 4ab4ac-b2bb 2. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x=-，顶点坐标为-，时，y随x的。当x-时，y随x的增大而减小；当x=-时，y有最大值。 4a2a2a七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：y=ax2+bx+c； 2. 顶点式：y=a(x-h)2+k； 3. 两根式：y=a(x-x1)(x-x2). 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴
6、有交点，即b2-4ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a0。 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 3 当a0的前提下， 当b0时，-当b=0时，-当b0时，-b0，即抛物线对称轴在y轴的右侧。 2ab0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab=0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab0，即抛物线对称轴在y轴的左侧。 2a 在a0时，-当b=0时，-当b0，在y轴的右侧则ab0时，抛物线与y轴的交点在x
7、轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当c0时，图象与x轴交于两点A(x1，b2-4acax+bx+c=0(a0)的两根。这两点间的距离AB=x2-x1=. a2 当D=0时，图象与x轴只有一个交点； 当D0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0； 2当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： D0 抛物线与x轴有二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 两个交点 D=0抛物线与x轴只有一个交点 抛物线与x轴
8、无交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. D0二次函数图像参考： y=2x2y=x2y=2x2y=2(x-4)2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=x22y=2(x-4)2-3y=2x2+2y=2x2y=2x2-4y= -x22y= -x2y=-2x2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)26 十一、函数的应用 刹车距离二次函数应用何时获得最大利润 最大面积是多少第二十七章：圆 一、知识回顾 圆的周长： C=2r或C=d、圆的面积：S=r 圆环面积计算方法：S=R-r或S=(R是大圆半径，r是小圆半径）
9、 二、知识要点 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且
10、到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 dr 点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 dr 无交点； 2、直线与圆相切 d=r 有一个交点； 3、直线与圆相交 dR+r； 7 外切 有一个交点 d=R+r； 相交 有两个交点 R-rdR+r； 内切 有一个交点 d=R-r； 内含 无交点 dR-r； dR图1rRdr图2dR图3r五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂
11、直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 图4dRrdrR图5 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： AB是直径 ABCD CE=DE 弧BC=弧BD 弧AC=弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在O中，ABCD 弧AC=弧BD 六、圆心角定理 顶点到圆心的角，叫圆心角。 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以
12、推出其它的3个结论， 即：AOB=DOE；AB=DE； OC=OF； 弧BA=弧BD 七、圆周角定理 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。 8 BOAACBODEFACOADOBCBEDC1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 AOB=2ACB 2、圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在O中，C、D都是所对的圆周角 C=D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 即：在O中，AB是直径 或C=90 C=9
13、0 AB是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在ABC中，OC=OA=OB ABC是直角三角形或C=90 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在O中， 四边形ABCD是内接四边形 C+BAD=180 B+D=180 DAE=C 九、切线的性质与判定定理 切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：MNOA且MN过半径OA外端 MN是O的切线 性质定
14、理：切线垂直于过切点的半径 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 十、切线长定理 切线长定理： 9 PAODCBOACBOACBOACDBAE线； OMAN即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 B 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：PA、PB是的两条切线 PA=PB PO平分BPA 十一、圆幂定理 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在O中，弦AB、CD相交于点P， PAPB=PCPD 推论：如果弦
15、与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即：在O中，直径ABCD， CE=AEBE 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：在O中，PA是切线，PB是割线 PA=PCPB 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 即：在O中，PB、PE是割线 PCPB=PDPE 十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图：O1O2垂直平分AB。 即：O1、O2相交于A、B两点 O1O2垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：
16、 公切线长：RtDO1O2C中，AB2=CO12=O1O22-CO22； 外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和 。 十四、圆内正多边形的计算 正三角形 在O中ABC是正三角形，有关计算在RtDBOD中进行：10 OBBCOD22BOPCADCBADOEADPCOBEAO1BO2ACO2BO1CDAAEOD:BD:OB=1:3:2； 正四边形 同理，四边形的有关计算在RtDOAE中进行，OE:AE:OA=1:1:2： 正六边形 同理，六边形的有关计算在RtDOAB中进行，AB:OB:OA=1:3:2. O十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 BAAnpR1、扇形：弧长公式
17、：l=； 180npR21=lR 扇形面积公式： S=3602n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积 2、圆柱： A圆柱侧面展开图 2 S表=S侧+2S底=2prh+2pr OSlBADD1母线长B圆柱的体积：V=prh A圆锥侧面展开图 2B底面圆周长CB1C1S表=S侧+S底=pRr+pr2 B圆锥的体积：V=prh R13O2第二十八章 样本与总体 二. 重点、难点： 11 ACrB 1. 重点： 了解普查与抽样调查的概念，并能根据实际情况确定收集数据的方式； 了解总体、个体、样本等概念，能够指出研究对象的总体、个体与样本； 学会用科学的随机抽样的方法，选取合适
18、的样本进行抽样调查，用样本估计总体； 通过整理和分析数据，准确地作出决策。 2. 难点： 正确识别问题中的总体、个体、样本、样本容量等，并能选择合适的样本看总体； 能够对数据的来源，处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的分析。 三. 知识梳理： 知识点 总体、个体、样本、样本容量 普查与抽样调查 简单的 随机抽样 内容关注 总体是考察对象的主体，个体是组成总体的每一个对象，样本是总体中的一部分个体，样本容量是样本包含的个体数量 普查是对所有对象进行调查，抽样调查是对部分对象进行调查 使样本具有代表性，不偏向总体中的某些个体，对每个个体都公平的方法，就是用抽签的方法决定个体进入样本 在抽样
19、前，不能预测哪些个体会被抽随机性 中，这种不能事先预测结果的特性称为随机性 注意事项 样本容量是一个样本中个体的数量 普查与抽样调查的范围不同 简单的随机抽样对总体中每个个体来说，被抽到的机会是均等的 随机性是抽取样本具有代表性的重要保障 样本在总体中抽样调查 的可靠性 用随机抽样的方法获取样本，且样本容量合适时，由样本得出的特性会更接近总体的特性 需有代表性； 样本容量应该足够大； 样本要避免遗漏某一个群体 借助调查作决策 容易误导决策 的统计图 通过媒体收集信息，将信息进行全面、科学地分析 媒体中数据很多，有许多有用的信息，但信息不一定可靠，要全面分析 分析角度不同，得到的结论也会不同 考虑信息的时效性、可靠性和代表性 12
