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1、博弈论作业第1次作业 1、考虑一个工作申请的博弈。两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。工作申请规则如下：每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果一家企业只有一个学生申请，该学生获得工作；如果一家企业有两个学生申请，则每个学生获得工作的概率为1/2。现在假定每家企业的工资满足：W1/2W22W1，则问： a写出以上博弈的战略式描述 b求出以上博弈的所有纳什均衡 场总产量。P为市场出清价格，且已知P=P(Q)=a-Q。假设厂商i生产产量qi的总成本为Ci=Ci(qi)=cqi，也就是说没有固定成本且各厂的边际成本都相同，为常数c(ca)。假设各厂同时选择产量，该模型的纳什均衡
2、是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效？ 3、两个厂商生产一种完全同质的商品，该商品的市场需求函数为 2、设古诺模型中有n家厂商。qi为厂商i的产量，Q=q1+q2+L+qn为市Q=100-P，设厂商1和厂商2都没有固定成本。若他们在相互知道对方边际成本的情况下，同时作出产量决策是分别生产20单位和30单位。问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？ 4、五户居民都可以在一个公共的池塘里放养鸭子。每只鸭子的收益v是鸭子总数N的函数，并取决于N是否超过某个临界值N；如果Np0，试计算此博d博弈论第1次作业 1、a写出以上博弈的战略式描述 学生B 11 (W1,W2) 企业1 (2W
3、1,2W2) 学生A 11 (W2,W1) 企业2 (W2,W1) 22 b求出以上博弈的所有纳什均衡 存在两个纯战略纳什均衡：分别为，收益为(W1,W2)。，收益为(W2,W1)。 存在一个混合策略均衡：令学生A选择企业1的概率为p，选择企业2的概率为1-p;学生B选择企业1的概率为q，选择企业2的概率为1-q。 当学生A以(p,1-p)的概率选择时，学生B选择企业1的期望 企业1 企业2 收益应该与选择企业2的期望收益相等，即： 11p.W1+(1-p)W1=p.W2+(1-p).W2 22解得： p=2W1-W22W2-W1,1-p= W1+W2W1+W2同理求出： 11q.W1+(1-
4、q)W1=q.W2+(1-q).W2 22解得： 2W1-W22W2-W1q=1-q=, W1+W2W1+W2 所以，混合策略纳什均衡为：学生A、B均以(2W1-W22W2-W1,)W1+W2W1+W2的概率选择企业1，企业2。 2、该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效？ 各厂商的利润函数为： ui=P.qi-Ci=(a-Q).qi-c.qi=(a-Q-c).qi=(a-c-qk).qik=1n求解： maxui=max(a-c-qk).qi qiqik=1n对其求导，令导数为0，解得反应函数为： 1qi=a-c-(q1+q2+.+qi-1+qi+1+.+qn) 2*(
5、q,q,.,q纳什均衡12n),必是n条反应函数的交点 1*q=a-c-(q2+q3+.+qn) 21*q2=a-c-(q1+q3+.+qn) 2*1 . 1*q=a-c-(q1+q2+.+qi*-1+qi*+1+.+qn) 2*i . 1*q=a-c-(q1+q2+.+qn-1) 2*n得到： a-c q=q=.=q=n+1，且为唯一的纳什均衡。 *1*2*n 当趋向于无穷大时博弈分析无效。 a-climq=lim=0，此时为完全竞争市场，此时博弈分析无nnn+1*i效。 3、问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？ 设：边际成本不变，为c1，c2。 计算得市场出清价格为： P=P
6、(Q)=100-Q=100两个厂商的利润函数为： -(q1+q2) u1=P.q1-c1.q1=(P-c1).q1=100-c1-(q1+q2).q1 u2=P.q2-c2.q2=(P-c2).q2=100-c2-(q1+q2).q2求解： maxu1=max100-c1-(q1+q2).q1 q1q1maxu2=max100-c2-(q1+q2).q2 q2q2对其求导，令导数为0，解得反应函数为： 1q1=R1(q2)=(100-c1-q2) 21q2=R2(q1)=(100-c2-q1) 2*(q,q纳什均衡12),即为两条反应函数的交点 120=(100-c1-30) 21 30=(1
7、00-c2-20) 2 得到： c1=30，c2 此时： =20。 u1=400，u2=900。 4、若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么？ 设居民i选择的养鸭数目为nii(i=1,2,3,4,5)，则总数为N=ni=15。 假设： N40，则Nab-c0，a0,cab 4企业2希望先决策： aaa-b+b0，2 2aa-2，cpA均衡为，合作产生。 2、假设：厂商2在t2 厂商2在t2，即d1，采取触发策略。、 2=3/4时，产量为q2，利润为p2； p时，产量为，利润为q2=4/52 对于厂商2来说，分别具有50%的概率得到以下的利润 p=q(-q-q 2212) 34p
8、24=q2(-q1-q2) 5对于厂商1来说，利润为 11Ep1=q1(1-q1-q2)+q1(1-q1-q2) 22求解上面三个式子的一阶导数，并令其为零，得到 3-q1-2q2=0 44-q1-2q2=0 5111-2q1-q2-q2=0 22得到：q1=984147 ,q2=,q2=24024024098，厂商2在t2240该博弈的纯战略贝叶斯均衡为，厂商1的产量为q1=41产量为q2=；在t2240=3/4时，=4/5时，产量为q2=47。 24031 3、考虑到c在,32上呈均匀分布，f(c)=1,E(c)=12f(c).c.dc=1 22对于厂商1，p1对于厂商2，p2 =pq1-
9、c1=(3-q1-q2)q1 =pq2-c2=(4-q1-q2-E(c)q2 p2=(3-q1-q2)q2 对于厂商1,2的利润函数求一阶导数，并令其为零 得到q1=q2=1 该博弈的纯战略贝叶斯均衡为，厂商1,2的产量均为1 4、假设：此博弈的贝叶斯均衡为企业1,2的成本为(q1,q2) *企业1,2的收益矩阵如下图： 2 1 进入 进入 不进入 (pd-q1,pd-q2) (pm-q1,0) (0,0) 不进入 (0,pm-q2) 对于企业1来说 当q1q1，企业1选择进入 企业1进入的概率为f(q1)dq1=F(q1) 0*q1 不进入的概率为1-F(q1) 企业2进入的期望收益为u2=F(q1).(pd-q2)+(1-F(q1).(pm-q2) 不进入的期望收益为u2企业1进入的条件为u1=0 u2 *dmmq所以2=F(q1).(p-p)+p 因为该博弈是对称的 所以q1*=F(q2).(pd-pm)+pm 此博弈的贝叶斯均衡为企业1,2的以概率(F(q1),F(q2)进入 均衡的成本为 q2*=F(q1).(pd-pm)+pm，q1*=F(q2).(pd-pm)+pm（(F(q1),F(q2)中为q1*,q2*
