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1、双曲线定义双曲线定义、标准方程、几何性质及其应用 一、双曲线主要知识点 定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a的动点M的轨迹叫做双曲线. 注意：2a|F1F2| 这一条件不可缺少。若2a=|F1F2|，则动点的轨迹是两条射线； 若2a|F1F2|，则无轨迹。若MF1MF2时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支， 又若MF1MF2时，轨迹为双曲线的另一支。 (二)标准方程及几何性质 标准x2y2方程 -2=1 2ab y y2x2-=1 a2b2y 简图 O F2 x Ox F1 焦点坐标 顶 点 范 围 准 线 几 何 性 质 渐近线方程 焦 点 到 渐 近 线 距 离
2、通 经 长 离 心 率 F1(-c,0)，F2(c,0) A1(-a,0)，A2(a,0) xa，yR a2 x=cF1(0,-c)，F2(0,c) A1(0,-a)，A2(0,a) ya，xR a2 y=cy=bxa y=b 2b2 aaxb b 2b2 a2ccbe=(1,+) e=1+2 aaaqr1+r2-4c22b22=1-焦点三角形PF1F2:(1)cosq=SPF1F2=bcot 22r1r2r1r222双曲线方程与渐近线方程的关系 x2y2x2y2b1.若双曲线方程为2-2=1渐近线方程：2-2=0y=x. aababxyx2y2b2.若渐近线方程为y=x=0双曲线可设为2-2
3、=l. abaabx2y2x2y23.若双曲线与2-2=1有公共渐近线，可设为2-2=l A. 6 B.7 C.8 D.9 x2y22222.P为双曲线2-2=1上一点,F1为一个焦点,以PF为直径的圆的位置关系为( ) x+y=a1abA.内切 B.外切 C.内切或外切 D.无公共点或相交. 223.若双曲线x-y=1右支上一点P(a,b)到直线y=x的距离为2，则a+b的值是。 A.1111 B. C.或 D.2或2 2222x2y24以双曲线-=1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是 916A.x2+y2-10x+9=0 B.x2+y2-10x+16=0 C.x2+y2+10x+
4、16=0 D.x2+y2+10x+9=0 x2y25.如图，F1和F2分别是双曲线2-2=1(a0,b0)的两个焦点，A和B是 abO为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三 角形，则双曲线的离心率为( ) A.3 B.5 2C.52D.1+3 y26.设P为双曲线x-若|PF则PF1F2的=1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，1|:|PF2|=3:2， 12面积为A63 B12 C123 D24 x2y27.设F1，F2分别是双曲线2-2=1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使F1AF2=90o且AF1=3AF2，则ab双曲线的离心率为 A52 B10
5、2C15 2D5 三、巩固练习 22xy1.双曲线2-21的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 baA.2 B. C.2 3 2 D.3 2y2x-=1表示双曲线”的 2.若kR，则“k3”是“方程k-3k+3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件. C.充要条件；D.既不充分也不必要条件. y23.过双曲线M:x-2=1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于 bBC,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 2A.10 B.5 C.103 D.5 2224xy4.已知双曲线2-2=1的一条渐近线方程为y=x则双曲线的离心率( ) 3ab5453A. B
6、. C. D. 3342x2y25.已知双曲线2-2=1(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一ab个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2 B.(1,2) C2,+) D.(2,+) x2y26.已知双曲线2-=1(a2)的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率为( ) 32a2623A.2 B.3 C. D. 332a27.如果双曲线的两个焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),一条渐近线方程为y=2x，那么是( ) c A.63 B.4 C.2 D.1 22a8.已知是双曲线x-y=1的离心率e=2, 则 cm322A.2 B.
7、31 C.1 D. 22x22o9.设F1,F2是双曲线-y=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足F1PF2=90,则DPF1F2的面积为( ) 4A.1 B.5 C.2 D.5 222xy10.已知方程1的图象是双曲线，则m的取值范围是。 +2-mm-1 A.m2 C.1m2 D.m2 11已知双曲线9y-mx=1(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为2221，则m= 5A1 B2 C3 D4 x2y2o12双曲线2-2=1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右ab支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为 A6 B3 C2 D3 3x2y2x2y2+=1
8、共焦点，而与曲线-=1共渐近线的双曲线方程为 13与曲线24493664y2x2x2y2y2x2x2y2-=1 B-=1 C-=1 D-=1 A169169916916x2y2-=1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是 14如果双曲线42A46 3 B26 3 C26 D23 x2y2-=1的左右焦点分别为F1,F2，P为C的右支上一点，15已知双曲线C:且PF2=F则DPF1F2的1F2，916面积等于( ) 24 36 48 96 y2x2x2y216连接双曲线2-2=1与2-2=1的四个顶点构成的四边形的面积为S1，连接它们的的四个焦点构成的四abba边形的面积为S2
9、，则S1：S2的最大值是 A2 B 1 C1 2D1 417设椭圆C1的离心率为5，焦点在X轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的13绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为 x2y2x2y2x2y2x2y2A2-2=1 B2-2=1 C2-2=1 D2-2=1 13513124334二、填空题 17.如果双曲线x-y=1上一点P到焦点F1的距离等于17，则点P到另一个焦点F2的距离 643622x2y2+=1表示双曲线，则k的取值范围是 18若曲线4+k1-kx2y23x，若顶点到渐近线的距离为1，则双19已知双曲线2-2=1(a0,b0)的两条渐近线方程为y=ab
10、3曲线方程为 x2y220过双曲线-=1的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，916则AFB的面积为_。 x2y2+=1所表示的曲线为C，有下列命题：若曲线C为椭圆，则2t4或t4。 以上命题正确的是 。 22与圆(x+3)2+y2=1及圆(x-3)2+y2=9都外切的圆的圆心轨迹方程为 x2y2-=1的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离为 23.设圆过双曲线916a29=,则双曲线方程为 24.双曲线两条渐进线方程为4x3y=0,且c525.已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲
11、线的标准方程 是 2226.已知F1、F2是双曲线x2-y2=1(a0,b0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形DMF1F2,若边MF1的中 ab点在双曲线上,则双曲线的离心率是 2227.过双曲线x2-y2=1(a0,b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的ab圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 三、解答题 28已知：双曲线x2-y2=a2 (a0)与直线y= 29已知F1、F2是双曲线面积和P点的坐标。 x2y2-=1的左、右两个焦点，P1691x交于A、B，且AB=25，求a的值。 2是双曲线右支上的一点，若P F1P F2，求P F1F2的
