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1、双曲线优秀经典例题讲解双 曲 线 典型例题 例1双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程. 解：如图817，建立直角坐标系xOy，使A圆的直径AA在x轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC、BB平行于x轴，且CC=132 (m)，BB=252 (m).设双曲线的方程为xa2222-yb，则点B的坐标为令点C的坐标为25122255）.因为点B、C在双曲线上，所以 -(y-55)b22=1,131222-yb22=1. 2252(y-55)=1 (1)2
2、-2512bb .代入方程解方程组由方程得 y=221213-y=1 (2)22b12得251222-12(5b-55)b22=1,化简得 19b+275b18150=0 2解方程得 b25 (m).所以所求双曲线方程为：x2144=4-y2625=1. B=12sinA例2. DABC中，固定底边BC，让顶点A移动，已知BCA的轨迹方程 ，且sinC-sin，求顶点解：取BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，因为c(2,0)利用正弦定理，从条件得c-b=BC=4，所以B(-2,0)，124=2，即AB-AC=23由双曲线定义知，点A的轨迹是B、C为焦点，焦距为4，实轴长为2
3、，虚轴长为2即轨迹方程为x2的双曲线右支，点(1，0)除外，-y23=1(x1) xa22变式训练3：已知双曲线线的距离为l. 求双曲线的方程； -yb22=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=3x，两条准直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPMkPN的值. ba=3,22a=1,解：依题意有：ca2+b2=c2,解得a=1,b=3.22可得双曲线方程为x-2y23=1. ,可得N(-x0,-y0). 解：设M(x0,y0),由双曲线的对称性设P(xP,yP),则kPMkPN=又x-220yP-y0xP-x0yP+y0
4、xP+x0=yP-y0x-x2P2220.y032=1,2所以y0=3x0-3,同理yP=3xP-3,22所以kPMkPN=3xP-3-3x0+3x2P22-x220=3. 例3. 设双曲线C：x22-y=1的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。 若直线m与x轴正半轴的交点为T，且A1PA2Q=1，求点T的坐标； 求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程； 过点F作直线l与中的轨迹E交于不同的两点A、B，设FA=lFB，若l-2,-1,求|TA+TB|中的点）的取值范围。 解：由题，得A1(-2,0),A2(2,0)，设P(x0,y0),Q(x0
5、,-y0) 则A1P=(x0+2,y0),A2Q=(x0-2222,-y0). 22由A1PA2Q=1x0-y0-2=1,即x0-y0=3. 又P(x0,y0)在双曲线上，则x02-y0=1. 2联立、，解得 x0=2 由题意， x00, x0=2. 点T的坐标为 3分 设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为 由A1、P、M三点共线，得 (x0+2)y=y0(x+2) 1分 由A2、Q、M三点共线，得 (x0-2)y=-y0(x-2) 1分 2x,y0=2yx. 1分 联立、，解得 x0=P(x0,y0)在双曲线上， 22x-(22yx)=1. 2轨迹E的方程为x22+y=1 (x0,y0)
6、. 1分 2容易验证直线l的斜率不为0。 故可设直线l的方程为 x=ky+1，代入(k2x22+y2=1中，得 +2)y+4ky+2=0. 2设 A(x1,y1),B(x2,y2),y10且y20 则由根与系数的关系，得y1+y2=-y1y2=-2k22kk2 +2+2. 2分 y1y2=l，且l0,b0)2122Qe=3,e2=73,即a+b7a2=3,2 ba2=43, 又P在双曲线C上，36a2-36b2=1 由、解得a2=9,b2=12. 22所以双曲线C的方程为x9-y12=1。 由双曲线C的方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P(6,6) 所以A1PA2的重点G 设直线l的
7、方程为y=k(x-2)+2代入C的方程，整理得 (4-3k2)x2+12k(k-1)x-12(k2-2k+4)=0又设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0)xx1+x2)0=2=6k(k-1)3k2-4;y0=k(x0-2)+2=8(k-13k2-4.kPA=8(1-k)3k22=2,kQA2=y0x0-3+6k-12.QQA0,k16(1-k)2PA2=PA2kQA2=-1,3k2+6k-12=-1整理得3k2-10k+4=0 解得k=5133 由，可得4-3k20 D=48(-5k2-8k+16)0解得-46+45k5-46-45133,且k233由、，得k=来源:学科网ZXXK 小结归纳 5对于直线与双曲线的位置关系，要注意“数形转化”“数形结合”，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较，从“形”的角度来判断
