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1、同济高等数学习题答案习题7-4 1. 画出下列曲线在第一卦限内的图形: x=1 (1); y=2z=4-x2-y2 (2); x-y=0x2+y2=a2 (3) 222. x+z=a 2. 指出下方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形: y=5x+1 (1); y=2x-3y=5x+1 解 在平面解析几何中, 表示直线y=5x+1与y=2x-3y=5x+1y=2x-3的交点(-4, -17); 在空间解析几何中, 表示平y=2x-333面y=5x+1与平面y=2x-3的交线, 它过点(-4, -17, 0), 并且行于33z轴. 2y2x+=1 (2)49. y=32y2x2
2、+=1y2x 解 在平面解析几何中, 49表示椭圆+=1与其49y=32y2x+=1切线y=3的交点(0, 3); 在空间解析几何中, 49表示椭圆y=32y2x柱面+=1与其切平面y=3的交线. 49 3. 分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线 2x2+y2+z2=16x2+z2-y2=0的柱面方程. 解 把方程组中的x消去得方程3y2-z2=16, 这就是母线平行2x2+y2+z2=16于x轴且通过曲线222的柱面方程. x+z-y=0 把方程组中的y消去得方程3x2+2z2=16, 这就是母线平行于2x2+y2+z2=16y轴且通过曲线222的柱面方程. x+z-y=0 4. 求球面x
3、2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线在xOy面上的投影的方程. 解 由x+z=1得z=1-x代入x2+y2+z2=9得方程2x2-2x+y2=8, 这是母线平行于z轴, 准线为球面x2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线的柱面方程, 于是所求的投影方程为 2x2-2x+y2=8 . z=0 5. 将下列曲线的一般方程化为参数方程: x2+y2+z2=9 (1) ; y=x22xz 解 将y=x代入x+y+z=9得2x+z=9, 即+2=1. 3232 令x=3cost, 则z=3sin t . 222222故所求参数方程为 x=3cost, y=3cost, z=3sin t . 22(
4、x-1)2+y2+(z+1)2=4 (2). z=0 解 将z=0代入(x-1)2+y2+(z+1)2=4得(x-1)2+y2=3. 令x=1+3cost, 则y=3sint. 于是所求参数方程为 x=1+3cost, y=3sint, z=0. qx=acos 6. 求螺旋线y=asinq在三个坐标面上的投影曲线的直角z=bq坐标方程. 解 由前两个方程得x2+y2=a2, 于是螺旋线在xOy面上的投影曲线的直角坐标方程为 x2+y2=a2 . z=0 由第三个方程得q=z代入第一个方程得 b x=cosz, 即z=barccosx, aab于是螺旋线在zOx面上的投影曲线的直角坐标方程为
5、z=barccosx a. y=0 由第三个方程得q=z代入第二个方程得 byy =sinz, 即z=barcsin, aba于是螺旋线在yOz面上的投影曲线的直角坐标方程为 x=0 y. z=barcsina 7. 求上半球0za2-x2-y2与圆柱体x2+y2ax(a0)的公共部分在xOy面和zOx面上的投影. 解 所围立体在xOy面上的投影与圆柱体在xOy面上的投影相同, 即为xOy面上的圆盘 x2+y2-ax0, x2+y2ax也就是 . z=0在zOx面上的投影为1圆盘, 即 4x2+z2a2 . y=0 8. 求旋转抛物面z=x2+y2(0z4)在三坐标面上的投影. 解 令z=4得x2+y2=4, 于是旋转抛物面z=x2+y2(0z4)在xOy面上的投影为x2+y24. 令x=0得z=y2, 于是旋转抛物面z=x2+y2(0z4)在yOz面上的投影为y2z4. 令y=0得z=x2, 于是旋转抛物面z=x2+y2(0z4)在zOx面上的投影为x2z4.
