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1、向量不等式两向量不等式的坐标形式的统一及应用 在平面向量数量积的学习中，课本研究了向量的模、向量垂直的充要条件及向量夹角的坐标表示。在此文中，我们用坐标来表示向量中的两个重要不等式：rrrrrrrrrr|a|-|b|剟|a+b|a|+|b|与|a|g|b|agb|。 一两向量不等式的统一坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)。对于|a|-|b|剟|a+b|a|+|b|来说，有 22|x12+y12-x2+y2|剟(x1+x2)2+(y1+y2)222x12+y12+x2+y2， rrrrrrrr22+y2剟x1x2+y1y2两边平方整理得: -x12+y12gx222x12+y12
2、gx2+y2， 即|x1x2+y1y2|x+ygx+y21212222。对rrrr|a|g|b|agb|来说，显然有|x1x2+y1y2|x1x2+y1y2|22x12+y12gx2+y2。所以上面两个向量不等式具有统一的坐标表示：22x12+y12gx2+y2。 二统一坐标表示的创造性证明 若x1,x2,y1,y2都是正数，从不等式的右边出发我们可以联想到直角三角形中的勾股定理。如图，A=D=90o，CAB=x1,AC=y1,BD=y2,DE=x2，对直角梯形ADEC，其面积为yS=11(|AC|+|DE|)g|AD|=(y1+x2)(x1+y2)，也可以表示为22gABC,gBDE,gBE
3、C三个三角形的面积之和：SgABC+SgBDE+SgBEC。 Ex2D1x12+y12x1Bx22+y22y2A1111222所以(y1+x2)(x1+y2)=x1y1+x2y2+x1+y12gx2+y2sinCBE 222222+y2sinCBE所以x1x2+y1y2=x12+y12gx222x12+y12gx2+y2，得证。 三统一坐标表示的简单应用 1.求函数的最值 a2b2例1.已知0x1，a,b是正数，求f(x)=+的最小值 x1-xa2b2解：因为(x)+(1-x)=1，所以f(x)=(x)+(1-x)(+) x1-x2222a2b2xg+1-xg=(a+b)2。 x1-xa2b2所以f(x)=+的最小值为(a+b)2 x1-x2.证明不等式 例2.已知a,b,c,d都是实数，且a2+b2=1,c2+d2=1，求证|ac+bd|1 证明：由上面的统一坐标表示得：|ac+bd|a2+b2gc2+d2=11=1，得证。
