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1、向量组的线性相关性线性相关性 一、填空题 例设向量组a1=(1,2,1)T,a2=(2,3,1)T,a3=(x,3,1)T,a4=(2,y,3)T,的秩为2，则x= 2 ，y= 5 例已知向量组a1=(1,2,-1)，a2=(2,0,t)，a3=(0,-4,5)线性相关，则t= 3 例若向量组a1=(1,2,3)T,a2=(2,3,4)T,a3=(3,4,t)T线性相关，则t=5 TTT二、 选择题 例设矩阵A、B、C均为n阶方阵，若AB=C，且B可逆，以下正确的是 (A) 矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价； 矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价； 矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等
2、价 100-1例a1=0,a2=1,a3=-1,a4=1，其中C1,C2,C3,C4为任意常数，则下列向量组线性相CCCC1243关的为 a1,a2,a3；a1,a2,a4; (C) a1,a3,a4; (D) a2,a3,a4. 例设a1,a2,L,as均为n维列向量，下列选项不正确的是 对于任意一组不全为0的数k1,k2,L,ks都有k1a1,+k2a2+L+ksas0，则a1,a2,L,as线性无关； 若a1,a2,L,as线性相关，则对于任意一组不全为0数k1,k2,L,ks都有k1a1,+k2a2+L+ksas=0； a1,a2,L,as线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s； (
3、D）若a1,a2,L,as线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关 例设a1,a2,L,as均为n维列向量，A是mn矩阵，下列选项正确的是 若a1,a2,L,as线性相关，则Aa1,Aa2,L,Aas线性相关； 若a1,a2,L,as线性相关，则Aa1,Aa2,L,Aas线性无关； 1 若a1,a2,L,as线性无关，则Aa1,Aa2,L,Aas线性相关； 若a1,a2,L,as线性无关，则Aa1,Aa2,L,Aas线性无关 例设A是4阶矩阵，且A的行列式A=0，则A中 (A) 必有一列元素全为0； (B) 必有两列元素成比例； (C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合； (D) 任意列
4、向量是其余列向量的线性组合 -1-2a12. 设有向量组A:a1=1,a2=1,a3=2，及向量b=b，问a,b为何值时 4510-1(1) 向量b不能由a1,a2,a3线性表示; (2) 向量b能由a1,a2,a3线性表示，且表示式惟一; 三、解答题 例设l1，l2为方阵A的两个不同特征值，a1,a2为A的相应于l1的两个线性无关的特征向量，a3,a4为A的相应于l2的两个线性无关的特征向量，证明：向量组a1,a2,a3,a4线性无关。 证明：设k1a1+k2a2+k3a3+k4a4=0， 因为a1,a2为A的相应于l1的两个线性无关的特征向量，a3,a4为A的相应于l2的两个线性无关的特征
5、向量，有Aa1=laa2=laa3=l3a3,Aa4=l2a4, 11,A12,A式左右两端同时左乘A可得，l1k1a1+l1k2a2+l2k3a3+l2k4a4=0(a)l1-(b)可得，(l1-l2)k3a3+(l1-l2)k4a4=0 又因为l1，l2为方阵A的两个不同特征值，且a3,a4线性无关，可得 k3=k4=0 2 同理(a)l2-(b)可得k1=k2=0 因此向量组a1,a2,a3,a4线性无关。 例1）设A为3阶矩阵，a1，a2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量a3满足Aa3=a2+a3，证明a1,a2,a3线性无关； 证: 令k1a1+k2a2+k3a3=0， 则
6、k1Aa1+k2Aa2+k3Aa3=0 于是有-k1a1+k2a2+k3(a2+a3)=0 -得2k1a1-k3a2=0， 由a1，a2线性无关得k1=k3=0， 代入得k2a2=0，由a20得k2=0， 故a1,a2,a3线性无关 例a1,a2,L,as是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，b满足Ab0，证明：a1+b,a2+b,Las+b,b线性无关 2. 设n阶方阵A满足：r(A)=r证明：A可以表示成r个秩为1的矩阵之和 解：令k1(a1+b)+k2(a2+b)+L+ks(as+b)+kb=0 整理得k1a1+k2a2+L+ksas+(k+k1+L+ks)b=0， 上式两端左乘A得k1A
7、a1+k2Aa2+L+ksAas+(k+k1+L+ks)Ab=0， 则有(k+k1+L+ks)Ab=0，由Ab0得(k+k1+L+ks)=0， 于是有k1a1+k2a2+L+ksas=0， 由a1,a2,L,as线性无关得k1=k2=L=ks=0，从而有k=0， 故a1+b,a2+b,Las+b,b线性无关 例若向量x1,x2,x3,x4是n元非齐次线性方程组Ax=b的解向量，那么它们的线性组合k1x1+k2x2+k3x3+k4x4也是该方程组解向量的充分必要条件是k1+k2+k3+k4=1； 3 2 设A是n阶矩阵，l1和l2是A的两个不同的特征值，h1,h2是A的属于特征值l1的两个线性无
8、关的特征向量，h3是A的属于特征值l2的特征向量，证明：h1,h2,h3线性无关 例1设a1,a2,L,ar为n维空间Rn中的正交向量组，证明：a1,a2,L,ar线性无关. 令k1a1+k2a2+L+krar=0(k1,k2,L,krR)， 用aiT(i=1,2,L,r)左乘上式两端得， k1aiTa1+k2aiTa2+L+kraiTar=0(k1,k2,L,krR)， 由a1,a2,L,ar为n维空间R中的正交向量组知，aiTaj=则有ki=0(i=1,2,L,r). 因此a1,a2,L,ar线性无关. 例设h0是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,x1,x2,x3是对应的齐次线性方程组Ax
9、=0的基础解 系,证明: (1)h0,x1,x2,x3线性无关; (2) h0,x1+h0,x2+h0,x3+h0线性无关; 证: (1)令kh0+k1x1+k2x2+k3x3=0, 用A左乘上式两端得,kAh0+k1Ax1+k2Ax2+k3Ax3=0. 则有kAh0=0,由Ah0=b0知,k=0.。 于是有k1x1+k2x2+k3x3=0, 由x1,x2,x3线性无关知,k1=k2=k3=0. 因此h0,x1,x2,x3线性无关. (2) 令kh0+k1(x1+h0)+k2(x2+h0),+k3(x3+h0)=0, 整理得(k+k1+k2+k3)h0+k1x1+k2x2+k3x3=0 由(1)知h0,x1,x2,x3线性无关,于是得 n0,ij， 1,i=j(k+k1+k2+k3)=0,k1=0,k2=0,k3=0, 4 则有k=k1=k2=k3=0, 因此h0,x1+h0,x2+h0,x3+h0线性无关. 5
