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1、含参函数单调性含参数函数单调性 基础知识总结和逻辑关系 一、 函数的单调性 求可导函数单调区间的一般步骤和方法: 1) 确定函数的f(x)的定义区间； 2) 求f(x)，令f(x)=0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； 3) 把函数f(x)的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间； 4) 确定f(x)在各个区间内的符号，由f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小区间内的单调性. 二、 函数的极值 求函数的极值的三个基本步骤 1) 求导数f(x)； 2) 求方程f(x)=0的所有实数根； 3) 检验f(x)在方程f
2、(x)=0的根左右的符号，如果是左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值. 三、 求函数最值 1) 求函数f(x)在区间(a,b)上的极值； 2) 将极值与区间端点函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值. 四利用导数证明不等式 1） 利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于0时，则该函数在该区间上单调递增.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的.即把证明不等式转化为证明函数的单调性.具体有如下几种形式： 直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减
3、性；再利用函数在它的同一单调递增区间，自变量越大，函数值越大，来证明不等式成立. 把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的. 2） 利用导数求出函数的最值后，再证明不等式. 导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大值时不等式都成立，可得该不等式恒成立.从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题. 含参函数的单调性，核心是三个步骤，四个流程： 1）第一步：先求定义域，再求导； 2）第二步：准确求出导数身给定的参数范围】 流程：最高次项系数如果含参数，分 “=0；0；0”或
4、“0或f(x)0或f(x)-2,aR)的单调区间。 * 求函数f(x)=* 讨论函数f(x)=kx+2x+ln(2x-1)的单调性。 x212x+alnx(aR)的单调区间。 22* ekx讨论函数f(x)=的单调性。 x-1* 讨论函数f(x)=* 求函数f(x)=e(x-ax+1)(x-1,aR)的单调区间。 * 求函数f(x)=e(x-ax+1)(x-3,aR)的单调区间。 * x2x22x+a的单调性。 2(x+1)3利用导数研究含参变量函数的最值问题 利用导数研究含参变量函数最值的基本思路和大致步骤： 通常是先讨论函数的单调性，必要时画出函数的示意图，然后进行最值的讨论。 已知函数f
5、(x)=(x-k)ex(1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间0,1上的最小值. (-,k-1)减(k-1,+) =-k k2,f(x)min=(1-k)e 2，f(x)min=-e2k-1* f(x)=ax+1(a0)，g(x)=x+bx2当a=4b时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间(-,-1上的最大值. 已知函数* 已知函数313f(x)=x-2x2+3x+1，给定区间3，试求f(x)在此区间上的最大值。 a,2a* alnx已知a0，函数f(x)=： x 讨论f(x)的单调性； 求f(x)在区间a,2a上的最值. ： elna20a时，f(x)=f(2a=)
6、max22f(x)min=f(a)=lna ae时，f(mx)a=xf=(a)，lanf(x)minln2a =f(2a)=2时，2aef(x=m)axaf=(e)，ef(x)minln2a =f(2a)=2af=(e)e，ea0 1+x(1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围. ：a2时，f(x)在0,+)上单调递增 2-a0a2时，f(x)在0,)上单调递减 a2-af(x)在(,+)上单调递增 aa2 * 已知函数：f(x)=x-(a+1)lnx-(aR) ,当x1,e时，求f(x)的最小值； 当1a0),g(x)=x-9x，若f(x)+g(x)上的最大
7、值为28.求实数k的取值范围 已知函数* 已知函数23f(x)=ax+x+bx，32g(x)=fx()f+x()为奇函数. (1)求f(x)的表达式； (2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值. 132f(x)=-x+xg(x)在1,2上最大值为3442，最小值 33* 1312设f(x)=-x+x+2ax. 322若f(x)在(,+)上存在单调递增区间，求a的取值范围； 316当0a0)上的最大值. 2(0,) 22当0a0)上的最22大值为lna-a; 2当a时，f(x)在(0,a,(a0)上的最大值为21-ln2- 2* f(x)=1+(1+a)x-x2-x3，其中a0: 讨论f(x)在其定义域上的单调性； x0,1时，求f(x)取得最大值和最小值时x的值. 设函数* f(x)=x+ax+bx+c(实数a,b,c为常1数)的图像过原点，且在x=1处的切线为直线y=- 2(1) 求函数f(x)的解析式; (2) 若m0，求函数f(x)在区间-m,m上的最大值. 已知函数* 32f(x)=x2+ax-3a2lnx (1) 讨论f(x)的单调性; 设函数(2) 若a为正常数，求f(x)在区间(0,t(t0)上的最小值. *
