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1、复变函数与积分变换期末复习(第一部分)复变函数复习 一复数的概念 1.复数的概念：z=x+iy，x,y是实数, x=Re(z),y=Im(z).i2=-1. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1）模：z=x2+y2； ；主值arg(z)是位于(-p,p 中的幅角。 z0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg(z)2）幅角：在y之间的关系如下： xy 当x0, argz=arctan； x3）arg(z)与arctany0,argz=arctan 当x0,y0,argz=arctan4）三角表示：zy+pxy-px； =z(cosq+isinq)，其中q=argz；注：中间一定是“+”号
2、。 =zeiq，其中q=argz。 5）指数表示：z (二) 复数的运算 1.加减：若z12.乘除： 1）若z1=x1+iy1,z2=x2+iy2，则z1z2=(x1x2)+i(y1y2) =x1+iy1,z2=x2+iy2，则 z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)； z1x1+iy1(x1+iy1)(x2-iy2)x1x2+y1y2y1x2-y2x1=+i2222z2x2+iy2(x2+iy2)(x2-iy2)x2+y2x2+y2。 2）若z1=z1eiq1,z2=z2eiq2, 则 iq+q2)z1z2=z1z2e(1； ziq-qz1=1e(12) z2z23.乘幂
3、与方根 1） 若nnz=z(cosq+isinq)=zeiq，则zn=z(cosnq+isinnq)=zeinqz=z(cosq+isinq)=zeiq，则 1 。 2） 若nq+2kpq+2kpz=zcos+isinnn1n(k=0,1,2Ln-1) 复变函数 1复变函数：w2复初等函数 1）指数函数：ezz=f(z)，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射. =ex(cosy+isiny)，在z平面处处可导，处处解析；且ez=ez。 ()注：e是以2 pi为周期的周期函数。3） 对数函数： Lnz主值：ln=lnz+i(argz+2kp)(k=0,1,2L)；
4、 z=lnz+iargz。 1Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且(lnz)=； z注：负复数也有对数存在。 3）乘幂与幂函数：ab=ebLna(a0)；zb=ebLnz(z0) 注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且(zb)=bzb-1。 eiz-e-izeiz+e-izsinzcosz4）三角函数：sinz= ,cosz=,tgz=,ctgz=2i2coszsinzsinz,cosz在z平面内解析，且(sinz)=cosz,(cosz)=-sinz 注：有界性sinz1,cosz1不再成立； 4） ez-e-zez+e-z,chz=双曲函数 shz=2
5、2； shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析，且(shz)=chz,(chz)=shz。 解析函数的概念 1复变函数的导数 1）点可导：f(z0)=limf(z0+Dz)-f(z0)DzDz0； 2）区域可导： f(z)在区域内点点可导。 2解析函数的概念 1）点解析： f(z)在z0及其z0的邻域内可导，称f(z)在z0点解析； f(z)在区域内每一点解析，称f(z)在区域内解析； 2 2）区域解析： 3）若f(z)在z0点不解析，称z0为f(z)的奇点； 3解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数； 函数可导与解析的充要条
6、件 1函数可导的充要条件：f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x+iy可导 u(x,y)和v(x,y)在(x,y)可微，且在(x,y) 处满足C-D条件： 此时， 有uv=,xyuv=- yxf(z)=uv+i。 xxf(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域内解析 2函数解析的充要条件：u(x,y)和v(x,y)在(x,y)在D内可微，且满足C-D条件：此时uv=,xyuv=-； yxf(z)=uv+i。 xx注： 若u(x,y),v(x,y)在区域D具有一阶连续偏导数，则u(x,y),v(x,y)在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证f(z)=u+iv一定是可导或解析的。 明时
7、，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足C-R条件时，函数3函数可导与解析的判别方法 1）利用定义 2）利用充要条件 f(z)是以z的形式给出，如第二章习题3） 3）利用可导或解析函数的四则运算定理。复变函数积分的概念与性质 1 复变函数积分的概念：f(z)dz=limf(x)Dzcnkk=1nk，c是光滑曲线。 注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。 2 复变函数积分的性质 1） cf(z)dz=-1f(z)dz ； ccc2） af(z)+bg(z)dz=af(z)dz+bg(z)dz,a,b是常数； c3） 若曲线c由c1与c2连接而成，则f(z)dz=f(z)dz+f(z)dz。
8、cc1c23复变函数积分的一般计算法 1）化为线积分：f(z)dz=udx-vdy+ivdx+udy；ccc2）参数方法：设曲线c： z=z(t)(atb)，其中a对应曲线c的起点，b对应曲线c的终点，则 3 cf(z)dz=fz(t)z(t)dt。 ab关于复变函数积分的重要定理与结论 1柯西古萨基本定理：设f(z)在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则 f(z)dz=0 c2复合闭路定理： 设f(z)在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，c1,c2,Lcn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以c1,c2,Lcn为边界的区域全含于nD内，则 k均取正向； f(z)dz,
9、其中c与cf(z)dz=ck=1ck -1，其中G由c及c(k=1,2,Ln)所组成的复合闭路。 fzdz=0()G3闭路变形原理 ： 一个在区域D内的解析函数f(z)沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使f(z)不解析的奇点。 f(z)在单连域4解析函数沿非闭曲线的积分： 设z2B内解析，G(z)为f(z)在B内的一个原函数，则z1f(z)dz=G(z2)-G(z1)(z1,z2B) 说明：解析函数f(z)沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。 f(z)在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于D，z0为c内任意
10、一点，则5。 柯西积分公式：设z-zdz=2pif(z) c00f(z)6高阶导数公式：解析函数f(z)的导数仍为解析函数，它的n阶导数为 (z-z)c0f(z)dz=n+12pi(n)f(z0)n!(n=1,2L) 其中c为f(z)的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D。 7重要结论： 2pi,1dz=n+1(z-a)0,c8复变函数积分的计算方法 1）若n=0n0。 f(z)在区域D内处处不解析，用一般积分法f(z)dz=fz(t)z(t)dt cba 4 2）设f(z)在区域D内解析， l c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西古萨定理，cf(z)dz=0
11、c是D内的一条非闭曲线，z1,z2对应曲线c的起点和终点，则有 l f(z)dz=cz2z1f(z)dz=F(z2)-F(z1) 3）设f(z)在区域D内不解析 l f(z)dz=2pif(z0)cz-z0曲线c内仅有一个奇点：f(z)2pi(n)dz=f(z0)c(z-z)n+1n!0nl 曲线c内有多于一个奇点：f(z)dz f(z)dz=ck=1ck 或：f(z)dz=2piResf(z),zck=1nk l 若被积函数不能表示成f(z)(z-zo)n+1，则须改用第五章留数定理来计算。 解析函数与调和函数的关系 2j2j+2=0， 1调和函数的概念：若二元实函数j(x,y)在D内有二阶
12、连续偏导数且满足2xyj(x,y)为D内的调和函数。 2解析函数与调和函数的关系 l 解析函数f(z)=u+iv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共轭调和函数。 l 两个调和函数u与v构成的函数f(z)=u+iv不一定是解析函数；但是若u,v如果满足柯西 黎曼方程，则u+iv一定是解析函数。 3已知解析函数f(z)的实部或虚部，求解析函数f(z)=u+iv的方法。 =u(x,y)，利用C-R条件，得1）偏微分法：若已知实部uvv,xy； 对vuu两边积分，得v=dy+g(x) yxx 5 再对式两边对x求偏导，得vu=dy+g(x) xxx由C-R条件，uvuu=-dy+g(x
13、)，可求出 g(x)； =-，得yxxyx代入式，可求得 虚部v=udy+g(x) 。 xvvuudx+dy=-dx+dy， xyyx2）线积分法：若已知实部u=u(x,y)，利用C-R条件可得dv=故虚部为v=(x,y)(x0,y0)-uudx+dy+c； yx由于该积分与路径无关，可选取简单路径计算它，其中(x0,y0)与(x,y) 是解析区域中的两点。 3）不定积分法：若已知实部u=u(x,y)，根据解析函数的导数公式和C-R条件得知， f(z)=uvuu+i=-i xyxy将此式右端表示成z的函数U(z)，由于f(z)仍为解析函数，故 f(z)=U(z)dz+c 注：若已知虚部v也可用
14、类似方法求出实部u. 复数项级数 1复数列的极限 1）复数列n=ana+ibn收敛于复数a=a+bi的充要条件为 limbn=b nliman=a,n2）复数列n收敛2复数项级数 a实数列an,bn同时收敛。 1）复数项级数an=0n(an=an+ibn)收敛的充要条件是级数an与bn同时收敛； n=0n=02）级数收敛的必要条件是limnan=0。 注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。 幂级数的敛散性 1幂级数的概念：表达式c(z-z)或cznn0nn=0n=0n为幂级数。 2幂级数的敛散性 6 1）幂级数的收敛定理阿贝尔定理(Abel)：如果幂级数cznn=0
15、n在z00处收敛，那么对满足zz0的一切z，级数必发散。 幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。 3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。 l 比值法 如果limncn+11=l0，则收敛半径R=cnl； l l 根值法 如果如果limcn=l0，则收敛半径R=n1l； l=0，则R=；说明在整个复平面上处处收敛； l=，则R=0；说明仅在z=z0或z=0点收敛； 注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。 3幂级数的性质 1）代数性质：设az,bznnnn=0n=0n的收敛半径分别为R1与R2，记R=min(R1,R2)， 则当zR时
16、，有 (aan=0n+bbn)z=aanz+bbnzn nnn=0n=0n(anz)(bnz)=(anb0+an-1b1+L+a0bn)znnn=0n=0n=02）复合性质：设当xr时，f(x)=anxn，当zR时，x=g(z)解析且g(z)r， n=0则当zR时，fg(z)=ang(z)n。 n=03） 分析运算性质：设幂级数aznn=0n的收敛半径为R0，则 l 其和函数f(z)=anzn是收敛圆内的解析函数； n=0l 在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且f(z)=nanzn-1 zR n=0 7 l 在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；z0f(z)dz=ann+1z zR n+1n=
17、0幂函数的泰勒展开 1. 泰勒展开：设函数f(z)n在圆域z-z0R内解析，则在此圆域内f(z)可以展开成幂级数 f(z)=n=0f(n)(z0)n!(z-z0)；并且此展开式是唯一的。 注：若f(z)在z0解析，则f(z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径R=z0-a； 其中R为从z0到f(z)的距z0最近一个奇点a之间的距离。 =0的泰勒展开式 2常用函数在z01nz2z3znz=1+z+L+L z 1）e=n!2!3!n!n=0z12）=zn=1+z+z2+L+zn+L z1 1-zn=0(-1)n2n+1z3z5(-1)n2n+1z=z-+-L+z+L z 3）sinz=(2n+1
18、)!3!5!(2n+1)!n=0(-1)n2nz2z4(-1)n2nz=1-+-L+z+L z 4）cosz=2!4!(2n)!n=0(2n)!3解析函数展开成泰勒级数的方法 1(n)1）直接法：直接求出cn=f(z0)n!幂函数的洛朗展开 ，于是f(z)=cn(z-z0)n=0n。 2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。 1. 洛朗级数的概念：n=-cn(z-z0)n，含正幂项和负幂项。 2洛朗展开定理：设函数f(z)在圆环域R1z-z0R2内处处解析，c为圆环域内绕z0的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有f(z)=n
19、=-cn(z-z0)n ，且展开式唯一。 3解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。 *4利用洛朗级数求围线积分：设f(z)在rz-z0R内解析，c为rz-z0R内的任何一条正向简单闭曲线，则 8 cf(z)dz=2pic-1。其中c-1为f(z)在rz-z0R内洛朗展开式中1z-z0的系数。 说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中(z孤立奇点的概念与分类 1。 孤立奇点的定义 ：2。孤立奇点的类型： 1）可去奇点：展开式中不含-z0)-1的系数。 f(z)在z0点不解析,但在z0的0z-z0n时，z=a是j(z)的m-n级零点； y(z)当mn时，j(z)的n-m级极点；
20、 z=ay(z)是当m=n时，z=a是j(z)的可去奇点； y(z)l 当mn时，z=a是j(z)+y(z)的l级零点，l=min(m,n) 当m=n时，z=a是j(z)+y(z)的l级零点，其中lm(n) 留数的概念 1留数的定义：设z0为f(z)的孤立奇点，f(z)在z0的去心邻域0z-z00) 七、卷积及卷积定理 (t)*f+l f12(t)=-f1(t)f2(t-t)dt l Ff1(t)*f2(t)=F1(w)F2(w) l Ff1(t)f2(t)=12pF1(w)*F2(w) l Lf1(t)*f2(t)=F1(s)F2(s) 八、几个积分公式 +l -f(t)d(t)dt=f(0) +l f(t)d(t-t0)dt=f(t0) -+l f(t)0tdt=0Lf(t)ds=0F(s)ds +l 0f(t)e-ktdt=Lf(t)s=k 13
