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1、复变函数与积分变换答案修订,习习题一 1. 用复数的代数形式a+ib表示下列复数 e-i/4;3+5i7i+1;(2+i)(4+3i);1i+31+i. 解： e-4i22=cos-+isin-=+-224422i=-i 22解： 3+5i7i+1=(3+5i)(1-7i)(1+7i)(1-7i)=-1625+1325i解： (2+i)(4+3i)=8-3+4i+6i=5+10i 解： 1i+31+i=-i+3(1-i)2=32-52i 2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy) 3-1-i33-1+in(a); z;i. z+a22z-a33解： 设z=x+iy 则 z-az+a=(x+i
2、y)-a(x+iy)+a2=(x-a)+iy(x+a)+iy22=(x-a)+iy(x+a)-iy(x+a)+y2xy22x-a-yz-a=Re22z+a(x+a)+y, Imz-a=z+a(x+a)+y22 解： 设z=x+iy z3=(x+iy)=(x+iy)(x+iy)=(x2-y2+2xyi)(x+iy) =x(x-y23232)-2xy22222+y(x-y)+2xyi3=x-3xy+(3xy-y2)i3Re(z3)=x3-3xy2, 3Im(z)=3x2y-y 3-1+i3=解： 2(-1+i38)31=-1-3(-1)8(3)22+3(-1)3-(3)3 =18(8+0i)=1
3、Re-1+i3=1, 23-1+i3Im=02 (-1)3-3(-1)-3()22+3(-1)3-()33i解： -1+i3=28=18(8+0i)=1 Re-1+i32=1, Im-1+i3 2=0解： in=(-1)k,n=2k(-1)ki,n=2k+1k 当n=2k时，Re(in)=(-1)k，Im(in)=0； 当n=2k+1时，Re(in)=0，Im(in)=(-1)k 3.求下列复数的模和共轭复数 -2+i;-3;(2+i)(3+2i);解：-2+i=4+1=5 -2+i=-2-i 解：-3=3 -3=-3解：(2+i)(3+2i)=2+i3+2i=513=65 (2+i)(3+2
4、i)=(2+i)(3+2i)=(2-i)(3-2i)=4-7i解：1+i2=1+i22=21+i=(1+i)1-i2=22 4、证明：当且仅当z=z时，z才是实数 证明：若z=z，设z=x+iy， 则有 x+iy=x-iy，从而有(2y)i=0，即y=0 1+i2. z=x为实数 若z=x，x，则z=x=x z=z 命题成立 5、设z,w，证明： z+w 2z+w 证明：z+w=(z+w)(z+w)=(z+w)(z+w) =zz+zw+wz+ww=z=z2+zw+zw+w+w+w+w22)+2Re(zw)+2zw(2z22=z=22+2zw2(z+w) z+wz+w 6、设z,w，证明下列不等
5、式 z+w2=z2+2Rezw+w()2z-w2=z2-2Rezw+w2()2z+w2+z-w=2z(2+w2) 2并给出最后一个等式的几何解释 证明：z+w=z+2Re(zw)+w在上面第五题的证明已经证明了 22下面证z-w=z-2Re(zw)+w 222z-w=(z-w)(z-w)=(z-w)(z-w) 2=z2-zw-wz+w-2Rezw+w22222=z2()2从而得证 z+w+z-w=2(z+w) 几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和 7.将下列复数表示为指数形式或三角形式 3+5i7i+1;i;-1;-8(1+3i);2cos+isin. 9923解：3+5i7
6、i+1=(3+5i)(1-7i)(1+7i)(1-7i)=1752=38-16i50=19-8i25eiq 其中q=-arctan819 解：i=eiq其中q= i2 i=e23解：-1=ei=ei 解：-8(1+3i)=16q=- -8(1+3i)=16e3-23i. 22解：cos+isin993解：22+isincos=1993 i.3229cos+isin=1e=e99223i8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3) 3+i的三次根 13i的平方根. 解：3i=cos269+isin3=cos26=9612k+3122+isin2k+3562(k=0,1,2) 3+12i
7、z1=cos+isin32+i z2=cos-12i +isin56=-2 z3=cos+isin6=-32-1的三次根 解：-1=(cos+isin)3=cos32k+3+isin2k+3(k=0,1,2) z1=cos3+isin3=12+32i z2=cos+isin=-1 z3=cos+isin3553=-12-32i3+3i的平方根 解： 3+223i=6+22i=12i6e43+13i=(6e4i)2k+2k+4+isin4=64cos2211(k=0,1) iz1=6cos+isin=64e8884119i99z2=64cos+isin=64e8 889.设z=e i2n,n2.
8、 证明：1+z+L+zn-1=0 证明：z=e i2n zn=1，即zn-1=0 (z-1)(1+z+L+zn-1)=0 又n2 z1 从而1+z+z2+L+zn-1=0 ia11.设G是圆周z:z-c=r,r0,a=c+re.令 z-aLb=z:Im=0, b其中b=e.求出Lb在a切于圆周G的关于b的充分必要条件. 解：如图所示 ib因为Lb=z: Imz-a=0表示通过点ab且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CALb过C作直线平行Lb，则有BCD=，ACB=90 故-=90 所以Lb在处切于圆周T的关于的充要条件是-=90 12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图. (1)argz=;(2)z-1=z;(3)1z+i|Imz;(5)Imz1且z2. 解： (1)、argz=表示负实轴 (2)、|z-1|=|z|表示直线z=12 (3)、1|z+i|Imz 解：表示直线y=x的右下半平面 5、Imz1，且|z|2 解：表示圆盘内的一弓形域。
