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1、多元微积分A 期末复习题解答复习题2 一、填空题 1. 设曲线L:x2+y2=4 ，则曲线积分(x-y+1)x2+y2ds=LL8p 2若在全平面上曲线积分n=04 二、单项选择题 1设有向曲线L为y=x，从点(1,1)到点(0,0)，则f(x,y)dx=. LA . C. 10f(x,x)dx; B. f(y2,y)dy; D. 0110f(x,x)dx; 2yf(y2,y)dy. 012设曲面S质量分布均匀，且曲面S的面积A=3，曲面S的质心是(2,-1,0)，则ydS= SA . -3; B. -2; C. 0; D. 1. 3设曲面S为z=-1的上侧，则. A . C. zdxdy=1
2、; B. zdydz=1; SSzdzdx=-1; D. zdxdy=-1. SS多元微积分 A 补考试卷解答 第 1 页 共 6页 4. 下列正项级数中收敛的是. n5n-3nA. ; B. ; nn4n=02n=1C. n=11n; D. n+1. 2n=1n5. 幂级数n=1(-1)nnx. nA. 在x=-1，x=1处均发散; B. 在x=-1处收敛，在x=1处发散; C. 在x=-1处发散，在x=1处收敛; D. 在x=-1，x=1处均收敛. 1-x,-px06 设f(x)是以2p为周期的函数，在一个周期内f(x)= ，0xp1+x,则f(x)的傅里叶级数在点x=0处收敛于. A.
3、2; 三、设曲线L:y=2x+1上任意一点处的质量密度为 B. 1; C. 0; D. -1. r(x,y)=xy，求该曲线构件的质量M. 解： y=2，ds=5dx， M=xyds L=x(2x+1)5dx 01=75 6rrr四、求质点在平面力场F(x,y)=yi+2xj作用下沿抛物线L：y=1-x2从点(1,0)移动到点(0,1)所做的功W的值. 解： W=ydx+2xdy L=1-x2+2x(-2x)dx 10= 10多元微积分 A 补考试卷解答 第 2 页 共 6页 =2 3五、利用格林公式计算曲线积分(y2cosx+y)dx+(2ysinx+3x+1)dy，L其中曲线L为x2+y2
4、=1的右半部分，从A(0,-1)到B(0,1). 解： L1:x=0，y从1到-1， P=y2cosx+y,QP=2ycosx+3, =2ycosx+1, Q=2ysinx+3x+1,xyL+L1Pdx+Qdy= xyD-11又 L1Pdx+Qdy=dy=-2 所以(y2cosx+y)dx+(2ysinx+3x+1)dy=p+2 L六、 利用对面积的曲面积分计算旋转抛物面S：z=1-x2-y2在xoy面上方部分的面积 22解： z=1-x2-y2，zx=-2x,zy=-2y,dS=1+4x+4ydxdy， A=dS S=1+4x2+4y2dxdy D = =2p0dqr1+4r2dr 0155
5、-1p 6七、利用高斯公式计算曲面积分xydydz+yzdzdx-yzdxdy, 其中为圆锥面z=x2+y2及平面z=0，z=1所围成的圆锥体W的整个边界曲面的外侧 解： P=xy,Q=yz,R=-yz， 多元微积分 A 补考试卷解答 第 3 页 共 6页 xydydz+yzdzdx-yzdxdy=(WPQR+)dv=zdv xyzW = =2p0dqrdrzdz 011rp4(x-3)n八、求幂级数的收敛区间. n(n+1)5n=0解： an=an+11n+11， r=lim=lim=nan5(n+2)(n+1)5n5n1 R=r=5 收敛区间为x-30，limun=0，un 单调递减， n
6、n由莱布尼茨申敛法知，交错级数(-1)nsinn=11收敛。 n111 又 (-1)nsin=sin， nnn1所以(-1)nsin发散， nn=1故交错级数(-1)nsinn=11为条件收敛. nxn十、( 7分 )求幂级数的和函数，并求数项级数 nn2n=1多元微积分 A 补考试卷解答 第 4 页 共 6页 (-1)n-1(-1)n-111=1-+L+L n23nn=1的和. xn解： 设s(x)=， nn=1n2两边求导得 s(x)=n=1xn-11， =n2-x2x两边积分得s(x)-s(0)=-ln(1-) ，又s(0)=0， 2(-1)n1当x=-2时，收敛；当x=2时，发散， n
7、n=1nn=1x所以 s(x)=-ln(1-)， ， 2(-1)n(-1)n-1(-1)n-111令x=-2，=-ln2 ，=1-+L+L=ln2 nn23nn=1n=1十一、将函数f(x)=x展开为x的幂级数 (1-x)21解： ， =xn 1-xn=01n-1两边求导得， =nx2(1-x)n=1xn 所以 =nx2(1-x)n=1十二、证明数项级数cos(n!)绝对收敛 2nn=1多元微积分 A 补考试卷解答 第 5 页 共 6页 证明： cos(n!)1 n2n21cos(n!)因为2收敛，由比较审敛法知收敛， 2nnn=1n=1所以数项级数cos(n!)绝对收敛 2nn=1多元微积分 A 补考试卷解答 第 6 页 共 6页
