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1、多元函数微积分复习题多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2设函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续是函数在该点可偏导的 (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 3函数f(x,y)在点(x0,y0)处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件;
2、(D) 既不必要也不充分条件. 4对于二元函数z=f(x,y), 下列结论正确的是 ( ). C A. 若limxx=A, 则必有limxf(x,y)=A且有limf(x,y)=A; 0x0yy0yy0B. 若在(xz0,y0)处x和zy都存在, 则在点(x0,y0)处z=f(x,y)可微; C. 若在(xzz0,y0)处x和y存在且连续, 则在点(x0,y0)处z=f(x,y)可微; 2z2D. 若z2z2zx2和y2都存在, 则. x2=y2. 5二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处满足关系( ). C A. 可微(指全微分存在)可导(指偏导数存在)连续; B. 可微可导连续; C
3、. 可微可导, 或可微连续, 但可导不一定连续; D. 可导连续, 但可导不一定可微. 6.向量a=(3,-1,-2),b=(1,2,-1)，则ab= (A) 3 (B) -3 (C) -2 (D) 2 D ) 1 ，A，B ，则MAAB = (A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2； 6已知三点M，A，B ，则|MA+AB|= (A)-2; (B) 22; (C)2; (D)-2; 7设D为园域x2+y22ax (a0), 化积分F(x,y)ds为二次积分的正确方法 D是_. D A. 2adxaa2a-x20-af(x,y)dy B. 220dx0f(x,y)dy C. a
4、dq2acosq0-af(rcosq,rsinq)rdr pD. 2cosq-pdqf(rcosq,rsinq)rdr 22a08设I=3lnx1dx0f(x,y)dy, 改变积分次序, 则I=_. B A. ln3ey30dy0f(x,y)dx B. ln30dyeyf(x,y)dx C. ln333lnx0dy0f(x,y)dx D. 1dy0f(x,y)dx p9 二次积分2dqcosq00f(rcosq,rsinq)rdr 可以写成_. D A. 1dyy-y2)dx B. 11-y200f(x,y0dy0f(x,y)dx C. 1dx1f(x,y)dy D. 1x-x2000dx0f
5、(x,y)dy 10 设W是由曲面x2+y2=2z及z=2所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分I=f(x,y,z)dxdydz表示为三次积分，I=_. C W2 A 2p1r20dq0dr0f(rcosq,rsinq,z)dz r2 B. 2pdq2200dr0f(rcosq,rsinq,z)rdz 2 C 2p0dqdrr2f(rcosq,rsinq,z)rdz 0222 D 2p0dqdrf(rcosq,rsinq,z)rdz 002211设L为x0y面内直线段，其方程为L:x=a,cyd， 则P(x,y)dx= L a c 0 d 12设L为x0y面内直线段，其方程为L:y=a,c
6、xd，则P(x,y)dy= L a c 0 d 13设有级数un,则limun=0是级数收敛的 n=1n充分条件； (B) 充分必要条件； 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件; 14幂级数nxn的收径半径R = n=1 (A) 3 (B) 0 15幂级数1xn的收敛半径R= n=1n (A) 1 (B) 0 16若幂级数an+2nx的收敛半径为R，则anxn的收敛半径为 n=0n=0 (A) R (B) R2 R (D) 无法求得 若limnun=0, 则级数un( ) D n=1A. 收敛且和为 B. 收敛但和不一定为 C. 发散 D. 可能收敛也可能发散 18. 若un为正项级数,
7、则( ) n=1 D ） D ） A ） A ）3 ， 所求平面的方程为 2-5+4=0 即 2 x -75y +4z = 0 2求经过两点M1和 M2的直线方程。 . 解: M1M2= (4, 2 ,-1 ) 所求直线方程为 x+1y+2Z-24=2=-1 3求过点 ( 0, -3, 2) 且以n =( 3, -2, 1 )为法线向量的平面方程. 解: 所求的平面方程为 3(x-0)-2(y+3)+1(z-2)=0 即 3x-2y+z-8=0 4设z=f(xy,y)，其中f具有二阶连续偏导数，求2zxy 解: zx=yf,1 2zxy=yzx=y(yf1)=f1+y(xf11+f12) 5设
8、lnx2+y2=arctanydyx, 求dx解: 方程两边对x求导得 6 1-yx2+y212x2+y2(2x+2yy)=1y2xy1+x2 x 由此得 y=x+yx-y 6z=f(xy,y)，其中f具有二阶连续偏阶导数，求2设zx2。 解: zx=yfu, 2zzx2=xx=x(yfu)=yx(f2u)=yfuu 7设xz=lnzy, 求zx. 解: 方程xz=lnz-lny两边同时对x求导得 z-xz xz2=1zzx, zzx=x+z 8,by)，其中f具有连续的二阶偏导数，求2设z=f(axzxy 解: zx=af1 2zxy=yaf1=abf12 9设 siny+ex-xy2=0,
9、求dydx. 解: 方程两边对x同时求导得 7 coysy+x-e2-y2=x y y 0 由此得 ex-y2y=2xy-cosy10计算二重积分(3x+2y)dxdy, 其中D是由直线x=0,y=0,x+y=2 D所围成的闭区域。 解: (3x+2y)dxdy=22-x222-0dx0(3x+2y)dy=03xy+yx0dx =22x-2x2+4)2dx=2200(x2-3x3+4x= 03 11改变二次积分I=22y0dyy2f(x,y)dx的积分次序。 解: 积分区域为 D:0y2,y2x2y D也可表示为 D:0x4,x2yx I=4x0dxxf(x,y)dy 2 12计算二重积分(3
10、x+2y)dxdy, 其中D是由直线x=0,y=0,y=x-1 D所围成的闭区域。 解: (3x+2y)dxdy=1dx0(3x+2y)dy=13xy+y20x-1dx D0x-10 =-10(4x2-5x+1)dx=1613改变二次积分I=1dyy00f(x,y)dx的积分次序。 解: 积分区域为 D:0y1,0xy D也可表示为 D:0x1,xy1 有 1y110dy0f(x,y)dx=0dxxf(x,y)dy 8 14计算二重积分(3x+2y)dxdy其中D: 0x1,0y1. D解: (3x+2y)dxdy=1dx1(3x+2y)dy=13xy+y210dx D000 =131250(
11、3x+1)dx=2x+x=. 0215改变二次积分I=1dy1-1y2f(x,y)dx的积分次序。 解: 积分区域为 D:-1y1,y2x1 D也可表示为 D:0x1,-xyx I=1x0dx-xf(x,y)dy 利用格林公式计算曲线积分 I = L(2x-y+4)dx+(5y+3x-6)dy,其中L为三顶点分别为(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界. 解: 由格林公式 I = x(5y+3x-6)-y(2x-y+4)dxdy D = 4dxdy = 41232 D= 12 17利用格林公式计算曲线积分 L(-y)dx+xdy, 其中L为正向的圆周 x2+y2=a2(a.0).
12、解：由格林公式 I = xx-y(-y)dxdy D = 2dxdy D9 16 = 2pa2 18利用格林公式计算曲线积分 I = L(2x-y+4)dx+(5y+3x-6)dy, 其中L为三顶点分别为(0,0),(3,0),(0,3)的三角形正向边界. 解: 由格林公式 I = x(5y+3x-6)-Dy(2x-y+4)dxdy = 4dxdy D= 41233 = 18. 19 判别级数n2sinpn=13n的收敛性。 (n+1)2sinp 解: Qr=limun+13n+1nu=lim=11ln(n+1)=un+1(n=2,3,L,n,L) 且 limu1nn=limnlnn=0 n
13、由莱布尼兹定理, 级数(-1)1lnn收敛 又Q11lnn1n,而级数发散,由比较判别法可知 n=2n 级数1发散,从而级数(-1)n1为条件收敛n=2lnnn=2lnn 13 8判别级数(-1)nln1n=21+n 是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛？ 1 解： 记u1ln1+nn=ln1+n， Qlimn1=1 n 而1发散，所以1n=1nln1+n=1n发散 又Qu=ln111+nlnn1+n+1=un+1 (n=1,2,3,LL) 且 limnu=limnln1+1nn=0， 由莱布尼兹定理知 (-1)n-1ln1+1收敛且为条件收敛. n=1n9 判别级数(-1)nln(1+!
14、n2) 是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛？n=2解: (-1)n-1ln1(+1n2)=ln1(+1n2) ln(1+1Qlimn2)n1=1 n2 级数ln(1+12n=2n)收收敛， 从而级数(-1)nln(1+1n=2n2)为绝对收敛. 10 计算I=x-y2ds, 其中D:-1y1,0x1. 11D15 11. 计算I=x2+y2-2ds, 其中D:x2+y23. 5pD214 12. 求由锥面z2=x2+y2与圆柱面x2+y2=ax(a0)所围成的立体的体积. 89a3五应用题 1将周长为2p的矩形绕它的一边旋转得一圆柱体，问矩形的 边长各为多少时，所得圆柱体的体积为最大？
15、解. 目标函数：V=px2y，附加条件：x+y=p L(x,y)=px2y+l(x+y-p) LX=2pxy+l=解方程组：0L2y=px+l=0 x+y=p得唯一可能极值点：x=2p,y=133p 故当矩形的边长分别为23p和13p时，绕短边旋转所得到园柱 体的体积最大，且其体积为V=427pp3 2从斜边之长为l的一切直角三角形中，求有最大周长的 直角三角形. 解： 设直角三角形的两直角边分别为x和y，问题化为求 A=x+y+l在条件x2+y2=l2下的最大值问题。 设L(x,y)=x+y+l+l(x2+y2-l2) .2分 15 LX=1+2xl=0 解方程组Ly=1+2yl=0 x2+y2=l2 得 x=y=2 .5分 22l时直角三角形的周长最 故可知当两直角边都等于2大。 .7分 3. 求原点到曲面(x-y)2-z2=1上点的最短距离. 4. 证明: 曲面xyz=a3上任一点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积 16
