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1、大学物理习题答案10电磁感应大学物理练习册电磁感应 法拉第电磁感应定律 -10-1如图10-1所示，一半径a0.10m，电阻R1.0103的圆形导体回路置于均匀磁场中，磁场方向与v回路面积的法向之间的夹角为/3，若磁场变化的规律为 B2-4 B(t)=(3t+8t+5)10T v/3 n 求：t2s时回路的感应电动势和感应电流； a 最初2s内通过回路截面的电量。 vv解：F=BS=BScosq 图10-1 ei=-dFdBp=-Scosq=-pa2cos(6t+8)10-4=-1.6(6t+8)10-6V dtdt3e-3.210-5-5=-210-2A t=2s，ei=-3.210V，I=
2、-3R1.010负号表示ei方向与确定n的回路方向相反 v112810-43.140.12-2qi=(F1-F2)=B(0)-B(2)Scosq=4.410C -3RR110210-2如图10-2所示，两个具有相同轴线的导线回路，其平面相互平行。大回路中有电流I，小的回路在大的回路上面距离x处，xR，即I在小线圈所围面积上产生的磁场可视为是均匀的。若dx=v等速dt率变化，试确定穿过小回路的磁通量和x之间的关系；当xNR，求小回路内的感应电动势大小；若v0，确定小回路中感应电流方向。 解：大回路电流I在轴线上x处的磁感应强度大小 r B=m0IR22(R2+x2)32，方向竖直向上。 x xR
3、时，B=m0IR22x3vvm0IR2pr22，F=BS=BS=Bpr= 32xI R 图10-2 3m0pIr2dF322-4dxv =m0IRprxei=-，x=NR时，ei=dt2dt2R2N4由楞次定律可知，小线圈中感应电流方向与I相同。 动生电动势 v10-3 一半径为R的半圆形导线置于磁感应强度为B的均匀磁场中，该导线以速度v沿水平方向向右平动，如图10-3所示，分别采用法拉第电磁感应定律和动生电动势公式求半圆导线中的电动势大小，哪一端电势高？ 解：假想半圆导线在宽为2R的U型导轨上滑动，设顺时针方向为回路方向，在x处 vBO vvR dFm1dx2，=(2Rx+pR)Be=-=-
4、2RB=-2RBv Fm2dtdt由于静止U型导轨上电动势为零，所以半圈导线上电动势为 e=-2RBv 负号表示电动势方向为逆时针，即上端电势高。 49 图10-3 大学物理练习册电磁感应 vvv任取线元dl，de=(vB)dl=vBsin90cosqdl=vBcosqRdq vve=de=vBRcosqdq=2vRB，由(vB)指向知，上端电势高 2-pp210-4长为L的铜棒NM，以角速度 w 绕支点O在水平面上转动，支点距棒的一端点N的距离为r，设均匀磁场B垂直向下，如图10-4所示。求棒两端的电势差。 vv解：在棒上距O点l处取线元dl，方向NM，则 vvvde=(vB)dl=vBdl
5、=-wBldl N w r vBO L-r 图10-4 M 1eNM=NMde=-wBldl=-wBL(L-2r) 2-rL-r负号表示电动势方向为MN，UNM=-eNM=1wBL(L-2R) 210-5两平行长直导线载有等量反向电流I，金属棒CD与两导线共面且垂直，v相对位置如图10-5所示。CD棒以速度v平行于导线电流运动时，求CD棒中的动生电动势，哪端的电势高？ v解：如图建立坐标系，在x处取线元dx，方向CD，该处 I I a C a vvb D B=m0Im0I，方向垂直纸面向上。 -2px2p(x-a)vvvdei=(vB)dx=vBdx 图10-5 m0Iv2a+b1mIv2a+
6、b1a+bm0Iv2a+b)dx=0ln-ln=ln eCD=dei=(-2p2axx-a2p2aa2p2(a+b)QeCD0，C端电势高。 10-6如图10-6所示，质量为m，长为l，电阻为R的金属棒AB放置在一个倾斜的光滑U形框架上，并由U形框架为导体时，AB棒下滑速度随时间的变化关系，最大速度为多少？ v静止下滑，磁场B垂直向上。求：U形框架为绝缘时，AB棒内的动生电动势与时间的函数关系；vvvuuu解：ei=(vB)BA=vBsinal=vBlcosq A Q在斜面上，mgsinq=ma，a=gsinq 1v=at=gtsinq，ei=gtsinqBlcosq=Bgltsin2q 2B
7、2l2eiFi=BlI=Bl=vcosq，方向水平向右。 RRD vB B 此时，在BADC回路中产生感应电流，所以AB还受安培力作用，大小为 C 图10-6 50 大学物理练习册电磁感应 B2l2cos2qdvdv沿斜面 ，mgsinq-Ficosq=ma=m，即 mgsinq-v=m Rdtdt解得 vmax=mgRsinq(1-eB2l2co2sq-B2l2co2sqtmR)，vmax=mgRsinq。 222Blcosq感生电动势 10-7一长直导线中通有交变电流I5.0sin100t A，在与其相距d5.0cm处放有一矩形线圈，共100匝，线圈长l4.0cm，宽a2.0cm，如图10
8、-7所示。求t时刻：线圈中的磁通链数是多少？线圈中的感生电动势是多少？ 解：取矩形线圈的回路方向为顺时针方向，在距长直电流为x处取宽为dx的小面元 vvmIdF=BdS=N0ldx， 2pxI m0NIld+adxm0NIld+a =lnF=2pdx2pd7=210-7100410-2lnsin100pt=1.3510-6sin100ptWb 5ei=-d a l dF=4.2410-4cos100ptV dt图10-7 10-8一半径为R、单位长度上匝数为n的通电长直螺线管，其横截面上的磁场如图10-8所示。若电流的变化率为dI/dt，求：管内外的感生电场；当电子分别置于a点、O点和b点处时
9、，电子所获得的瞬时加速度大小和方向各为何？ a 解：取以轴线为圆心，半径为r的圆，回路方向为逆时针 r1 vvvvd(BS)O R ei=Edl=2pr=- EkkdtLr2 rR时：Ek2pr=pR2rdt2rdtdtb点：Ekb=51 m0nR2dI2r22m0neRdIevv，a3=-Ekb，大小 a3=，方向水平相左。 dt2r2dtm大学物理练习册电磁感应 10-9在半径为R的细长螺线管内有dB0的均匀磁场，一等腰梯形金属框abcd如图10-9放置。已知，dtab2R，cdR，求：各边产生的感生电动势；线框的总电动势。 解：径向上的电动势为零，即ead=ecd=0 在DOdc中，以d
10、c为底，设h1为高 11332=RB=RRB=RB h1F12224d a O 图10-9 R c b e1=ecd=dF132dB=R 方向 dc dt4dtdF2pR2dB12=在DOab中，F2=pRB，e2=eab= 方向 ab dt6dt6线框总电动势 ei=e2-e1=(p6-32dB)R 4dt互感 10-10一螺绕环横截面的半径为a，环中心线的半径R，Ra，其上由表面绝缘导线均匀地密绕两个线圈，一个为N1匝，另一个为N2匝，求两线圈的互感系数。 解：设线圈1中通有电流I1，则螺绕环中的磁感应强度 B=m0n1I1=m0N1I1 2pR在线圈2中的全磁通 Y12=N2BS=N2m
11、0N1I1pa2 2pRY12m0N1N2a2M= I12R10-11如图10-11所示，A、C为两同轴的圆线圈，半径分别为R和r，两线圈相距为l，若r很小，可认为由A线圈在C中所产生的磁感应强度是均匀的，求两线圈的互感系数。若C线圈匝数增加N倍，则互感系数又为多少？ 解：设线圈A中通有电流I，在线圈C的圆心处的磁感应强度 B=m0R2I2(R2+l2)32 R r A l 图10-11 C m0R2Im0pR2r2FBSpr2M= II2(R2+l2)32I2(R2+l2)32m0NpR2r2BS=若C线圈匝数增加N倍，则 M=N 2232I2(R+l)52 大学物理练习册电磁感应 10-1
12、2一长直导线旁，共面放置一长20cm、宽10cm、共100匝的密绕矩形线圈，长直导线与矩形线圈的长边平行且与近边相距10cm，如图10-12所示。求两电路的互感系数。 解：在距长直导线r处，取一面元dS=ldr，则 dF=BdS=m0Ildr 2pr20cm m0Il0.2drm0IlNFm0Nl，F=ln2M=ln2=2.7710-5H 2p0.1r2pI2p10cm 10cm 图10-12 自感 -10-13在长60cm直径5.0cm的纸筒上绕多少匝导线才能得到自感为6.0103 亨的线圈？ m0N2pR2N22解：螺线管的自感 L=m0nV，L=m02pRl= ll2有 N=Ll=120
13、8 2m0pR10-14管长l，匝数N的螺线管，管心是两个套在一起的同轴圆柱体，其截面积分别为S1和S2，磁导率分别为m1和m2，如图10-14所示。求该螺线管的自感系数。 解：设通电流I，则两介质中的磁场分别为 B1=m1NNI，B2=m2I llS2 m2 S1 S2 图10-14 F1=B1S1=m1NIlS1，F2=B2S2=m2NIlm1 N2IYN2Y=N(F1+F2)=(m1S1+m2S2)，L=(m1S1+m2S2) lIl10-15两根半径均为a的平行长直导线，它们中心相距为d，如图10-15所示。两导线中通以等值、反向的电流I，求单位长度上的自感系数。 解：两导线间的磁感应
14、强度 B=m0Im0I +2pr2p(d-r)I I vvd-amIld-a则穿过图中阴影部分的磁通量为 F=BdS= Bldr=0lnSapa单位长度上的自感系数 L=d Fm0ld-a =lnIpa图10-15 磁能 10-16 个螺线管的自感为10 mH，通过线圈的电流为4A，求它所储存的磁能。 解：W= 53 121LI=1010-342=810-2J 22大学物理练习册电磁感应 10-17设一无限长同轴电缆为圆柱形导体与半径为R2的金属圆筒组成，如图10-17所示。在金属圆柱与圆筒间充以磁导率为m2的磁介质，电流I由圆筒流去，由圆柱形导体流回。求单位长度的总磁能。 解：由安培环路定律
15、 m1 m R2 2m1Irm2IR1 ；R1rR2时：B3=0。 rR1：B1=2pR122prI Wm1=R10m1Il1m1Ir2prldr= 22m12pR116pm2I2m2I2lR22prldr=ln 2m22pr4pR112I Wm2=R2R1图10-17 R1I2m1(+m2ln2) 单位长度总磁能 Wm=(Wm1+Wm2)=l4p4R1位移电流 10-18试证：平行板电容器中的位移电流可以写为ID=C证：QID=dU。 dtdFDU，FD=DS，D=e0erE=e0er dtdID=eeSddUddU 得证。 (DS)=(e0erS)。又 C=0r，ID=(CU)=Cddtdtddtdt10-19一平行板电容器的两板面积均为S的圆形金属板，接于一交流电源时，板上的电荷随时间变化，即q0qmsinw t。试求电容器中的位移电流密度；试证两板之间某点的磁感应强度为B=qmrwm0coswt，其中r为由圆板中心线到该点的距离。 2Sq0qmDqmw=sinwt。jD=coswt SStS解：q0=qmsinwt，对平板电容器 D=s=Hdl=H2pr=ID=jDpr vv2H=mqwrjDrqmwr=coswt，B=m0H=0mcoswt 22S2S 54
