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1、大学高数三角函数总结三角函数 1. 与a终边相同的角的集合：b|b=k360+a,kZ oy2sinx1cosxcosx终边在x轴上的角的集合： b|b=k180o,kZ 终边在y轴上的角的集合：b|b=k180+90,kZ 终边在坐标轴上的角的集合：b|b=k90o,kZ 终边在y=x轴上的角的集合：b|b=k180o+45o,kZ 终边在y=-x轴上的角的集合：b|b=k180o-45o,kZ 3sinx4oocosxcosx1sinx2sinx3x4SINCOS三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域若角a与角b的终边关于x轴对称，则角a与角b的关系：a=3
2、60ok-b 若角a与角b的终边关于y轴对称，则角a与角b的关系：a=360ok+180o-b 若角a与角b的终边在一条直线上，则角a与角b的关系：a=180ok+b 角a与角b的终边互相垂直，则角a与角b的关系：a=360ok+b90o 2. 角度与弧度的互换关系：360=2p 180=p 1=0.01745 1=57.30=5718 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad18057.30=5718 1p0.01745 p1803、弧长公式：l=|a|r. 扇形面积公式：s扇形=lr=|a|r2 ya的终边P一点PP与原点的距离为r
3、，则 sina=y； ryxcosa=； tana=xr； cota=x； seca=r；. csca=r. yxyox5、三角函数在各象限的符号： +ox-正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切OyyPTMAx6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： 三角函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=tanx f(x)=cotx f(x)=secx f(x)=cscx 定义域 x|xR x|xR 1x|xR且xkp+p,kZ 2x|xR且xkp,kZ 1x|xR且xkp+p,kZ 2x|xR且xkp,kZ cos
4、acosa=cotasina8、同角三角函数的基本关系式：sina=tana acosa=1 tanacota=1 cscasina=1 sec16. 几个重要结论:(1)ysin2a+cos2a=1 sec2a-tan2a=1 csc2a-cot2a=1 (2)y9、诱导公式： kp 把a的三角函数化为a的三角函数，概括为：2|sinx|cosx|sinxcosxOx|cosx|sinx|O|cosx|sinx|x“奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：基本关系 公式组一 sinxcscx=1tanx=sinxsin2x+cos2x=1cosxcosxxxxcossec=1+tan2x=
5、sec2x=1 sinx tanxcotx=1 1+cot2x=csc2x 公式组二 sin(2kp+x)=sinxcos(2kp+x)=cosxtan(2kp+x)=tanxcot(2kp+x)=cotx 公式组三 sin(-x)=-sinxcos(-x)=cosxtan(-x)=-tanxcot(-x)=-cotx cosxsinx|sinx|cosx|p(3) 若 ox,则sinxxtanx2公式组四 sin(p+x)=-sinxcos(p+x)=-cosxtan(p+x)=tanxcot(p+x)=cotx公式组五 sin(2p-x)=-sinxcos(2p-x)=cosxtan(2p
6、-x)=-tanxcot(2p-x)=-cotx公式组六 sin(p-x)=sinxcos(p-x)=-cosxtan(p-x)=-tanxcot(p-x)=-cotx角与角之间的互换 公式组一 公式组二 2a=2sinacoas cos(a+b)=cosacosb-sinasinb sinsa=co2sa-si2na=2co2sa-1=1-2si2na cos(a-b)=cosacosb+sinasinb co2sin(a+b)=sinacosb+cosasinb tan2a=2tana1-tana2sin(a-b)=sinacosb-cosasinb sin=2a1-coas 2tan(a
7、+b)=tana+tanba1+cosa cos= 1-tanatanb22tana-tanba1-cosasina1-cosa tan =1+tanatanb21+cosa1+cosasinatan(a-b)=公式组三 公式组四 公式组五 2tansina=a21+tan21-tan2cosa=1+tan2a2a2a21sin(a+b)+sin(a-b)2 1cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)21cosacosb=cos(a+b)+cos(a-b)21 sinasinb=-cos(a+b)-cos(a-b)2a+ba-bsina+sinb=2sincos22sinacosb
8、=1cos(p-a)=sina21sin(p-a)=cosa21tan(p-a)=cota21cos(p+a)=-sina2a+ba-b1sina-sinb=2cossintan(p+a)=-cota2tan2222 tana=a+ba-bcosa+cosb=2coscosa11-tan222sin(p+a)=cosa2a+ba-b2cosa-cosb=-2sinsin226-2, ,tan15o=cot75o=2-3,. tan75o=cot15o=2+3 oosin15=cos75=a4sin75o=cos15o=6+2 410. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： 定义域 值域 周
9、期性 奇偶性 单调性 y=sinxy=cosxy=tanxy=cotxy=Asin(wx+j)R R -1,+1 R -1,+1 1x|xR且xkp+p,kZ2x|xR且xkp,kZR p R p -A,A w当j0,非奇非偶 当j=0,奇函数 2kp2kp2(A),w1+p-j2(-A)w-j 2p 奇函数 2p 2p偶函数 (2k-1)p,2kp奇函数 pp+kp,+kp22奇函数 -p2+2kp,；-(kp,(k+1)p)上为减函数 pp2+2kp上为增函数；+2kp,23p+2kp2上为增函数2kp,(2k+1)p上为减函数 上为增函数 p上为增函数； p2kp+-j上为减函数 2(A
10、),w32kp+p-j2(-A)w上为减函数注意：y=-sinx与y=sinx的单调性正好相反；y=-cosx与y=cosx的单调性也同样相反.一般地，若y=f(x)在a,b上递增，则y=-f(x)在a,b上递减. y=sinx与y=cosx的周期是p. wx+j)或y=cos(wx+j)的周期T=y=sin(2pyw. Oxxy=tan的周期为2p. 2wwx+j)的对称轴方程是x=kp+y=sin(p2osc，对称中心；y=(wx+j)的对称轴方程是x=kp，对称中心；y=ant(22y=cos2x原点对称y=-cos(-2x)=-cos2x tanb=1,a+b=kp+当tanap2ta
11、nb=-1,a-b=kp+(kZ)；tanap2(kZ). py=cosx与y=sinx+2kp是同一函数,而y=(wx+j)是偶函数，则 21y=(wx+j)=sin(wx+kp+p)=cos(wx). 2函数y=tanx在R上为增函数. 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，y=tanx为增函数，同样也是错误的. 定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.，二是满足奇偶性条件，偶函数：f(-x)=f(x)，奇函数：f(-x)=-f(x)） 1奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：y=tanx是奇函数，y=tan(x+p)是非奇非偶. 奇函数特有性质：若0x的定义域，则f(
12、x)一定有f(0)=0. y=sinx不是周期函数；y=sinx为周期函数； yyx1/2xy=cos|x|图象y=|cos2x+1/2|图象；y=cosx为周期函数； y=cosx是周期函数y=cos2x+1的周期为p，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： 2y=f(x)=5=f(x+k),kR. y=acosa+bsinb=a2+b2sin(a+j)+cosj=三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等 函数yAsin的振幅|A|，周期T=2p，频率f=1=|w|，相位wx+j;初相j|w|T2pb 有a2+b2y. a， 由ysinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩
13、短到原来的|A|倍，得到yAsinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换 由ysinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长或缩短到原来的|1|倍，得到ysin x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换(用xw替换x) 由ysinx的图象上所有的点向左或向右平行移动个单位，得到ysin的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移(用x替换x) 由ysinx的图象上所有的点向上或向下平行移动b个单位，得到ysinxb的图象叫做沿y轴方向的平移 由ysinx的图象利用图象变换作函数yAsin的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。 高中数学三角
14、函数常见习题类型及解法 1.三角函数恒等变形的基本策略。 常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。 项的分拆与角的配凑。如分拆项：a+bsin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=，=2a-b等。 2降次与升次。化弦法。 引入辅助角。asin+bcos=a2+b2sin(+j)，这里辅助角j所b在象限由a、b的符号确定，j角的值由tanj=确定。 a2.证明三角等式的思路和方法。 思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相
15、消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 四、例题分析 cosq+sinq例1已知tanq=2，求；sin2q-sinq.cosq+2cos2qcosq-sinq的值. sinq1+cosq+sinqcosq=1+tanq=1+2=-3-22； 解：=sinq1-tanq1-2cosq+sinq1-
16、cosqsin2q-sinqcosq+2cos2q22 (2) sinq-sinqcosq+2cosq= 22sinq+cosqsin2qsinq-+222-2+24-2 =cosq2cosq. =sinq2+13+1cos2q说明：利用齐次式的结构特点，进行弦、切互化，就会使解题过程简化。 例2求函数y=1+sinx+cosx+(sinx+cosx)2的值域。 解：设t=sinx+cosx=2sin(x+)-2，2，则原函数可化为 413y=t2+t+1=(t+)2+，因为t-2，2，所以 2413当t=2时，ymax=3+2，当t=-时，ymin=， 2433+2。 所以，函数的值域为y，
17、4例3已知函数f(x)=4sin2x+2sin2x-2，xR。 求f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及此时x的集合； 证明：函数f(x)的图像关于直线x=-对称。 8解：f(x)=4sin2x+2sin2x-2=2sinx-2(1-2sin2x) =2sinx2-2coxs=222xs-in (24)(1)所以f(x)的最小正周期T=，因为xR， 3=2k+，即x=k+时，f(x)最大值为22； 428(2)证明：欲证明函数f(x)的图像关于直线x=-对称，只要证明对任意xR，8有f(-x)=f(-+x)成立， 88因为f(-x)=22sin2(-x)-=22sin(-2x)=-22cos
18、2x， 8842f(-+x)=22sin2(-+x)-=22sin(-+2x)=-22cos2x， 8842所以f(-x)=f(-+x)成立，从而函数f(x)的图像关于直线x=-对称。 88813例4 已知函数y=cos2x+sinxcosx+1 , 22当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； 该函数的图像可由y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 所以，当2x-11133解：y=cos2x+sinxcosx+1= (2cos2x1)+ +24442+1 1515pp3cos2x+sin2x+=(cos2xsin+sin2xcos)+ 442466415p=sin(2x+)
19、+ 246=ppp=+2k,，即 x=+k,。 626p所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为x|x=+k,kZ 6将函数y=sinx依次进行如下变换： pp把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像； 661把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍，得到2p函数y=sin(2x+)的图像； 6所以y取最大值时，只需2x+把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的函数y=1psin(2x+)的图像； 261倍，得到2把得到的图像向上平移的图像。 515p个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+424613cos2x+sinxcosx+1的图像。 22说明：本题是XX年全国高
20、考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降综上得到y=幂后最终化成y=a2+b2sin (x+j)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx0时，1313cos2x+sinxcosx+tanx2y=2+1=222+1 22sinx+cosx1+tanx化简得：2(y1)tan2x3tanx+2y3=0 37tanxR，=38(y1)(2y3) 0,解之得：y 447pymax=，此时对应自变量x的值集为x|x=k+,kZ 46xxx例5已知函数f(x)=si
21、ncos+3cos2. 333 将f(x)写成Asin(wx+f)的形式，并求其图象对称中心的横坐标； 如果ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域. 解：f(x)=1sin2x+3(1+cos2x)=1sin2x+3cos2x+3=sin(2x+p)+3 2323232323322xp2xp3k-1+)=0即+=kp(kz)得x=p333323k-1p，kz 即对称中心的横坐标为2由已知b2=ac a2+c2-b2a2+c2-ac2ac-ac1cosx=，2ac2ac2ac21pp2xp5pcosx1，0x，|5pp-|，92sin3.
22、2p3sin(2xp+)1，333sin(2xp3+)1+，332 即f(x)的值域为(3,1+p3综上所述，x(0, ， f(x)值域为(3,1+ . 32说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。 例6在VABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且(1)求sinB的值； (2)若b=42，且a=c，求VABC的面积。 解：(1)由正弦定理及cosC3a-c=， cosBbcosC3a-ccosC3sinA-sinC=，有， cosBbcosBsinB即sinBcosC=3si
23、nAcosB-sinCcosB，所以sin(B+C)=3sinAcosB， 又因为A+B+C=，sin(B+C)=sinA，所以sinA=3sinAcosB，因为sinA0，122所以cosB=，又0B，所以sinB=1-cos2B=。 332(2)在VABC中，由余弦定理可得a2+c2-ac=32，又a=c， 34所以有a2=32，即a2=24，所以VABC的面积为 311S=acsinB=a2sinB=82。 22三角函数 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1已知点P在第三象限，则角的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 kk2集合Mx|x ，
24、kZ与Nx|x ，kZ之间的关系是 244A.MN B.NM C.MN D.MN 3若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是 A.60 B.60 C.30 D.30 4已知下列各角787，(2)957，(3)289，(4)1711，其中在第一象限的角是 ( ) A. B. C. D. 5设a0，角的终边经过点P，那么sin2cos的值等于 2A. 521B. C. 551 D. 5136若cos() ， 2，则sin(2)等于 22A.3 2 B. 31 C. 22 D.3 27若是第四象限角，则是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 8已知弧度数为2的圆心角所对的
25、弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 A.2 B. 2 C.2sin1 sin1 D.sin2 19如果sinxcosx ，且0x，那么cotx的值是 54A. 3433 B. 或 C. 34443 D. 或 3410若实数x满足log2x2sin，则|x1|x10|的值等于 A.2x9 B.92x C.11 D.9 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 11tan300cot765的值是_. sincos12若 2，则sincos的值是_. sincos13不等式 17设一扇形的周长为C(C0)，当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？ 18(本小题满分14分）设9
26、0180，角的终边上一点为P 1下列函数中，最小正周期为的偶函数是 A.ysin2x C.ysin2xcos2x xB.ycos 21tan2xD.y 1tan2x2设函数ycos(sinx)，则 A.它的定义域是1，1 B.它是偶函数 C.它的值域是cos1，cos1 D.它不是周期函数 3把函数ycosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移 个单位.则所得图象表示的函数的解析式为 4 A.y2sin2x B.y2sin2x xD.y2cos( ) 24C.y2cos(2x ) 44函数y2sin(3x )图象的两条相邻对称轴之间的距离是 4A
27、. 3 B. 2 C. 3D. 4 35若sincosm，且2 m1，则角所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 36函数y|cotx|sinx的图象是 2cos2x7设y ，则下列结论中正确的是 1sinxA.y有最大值也有最小值 B.y有最大值但无最小值 C.y有最小值但无最大值 D.y既无最大值又无最小值 8函数ysin 435A.k ，k (kZ) B.k ，k (kZ) 8888337C.k ，k (kZ) D.k ，k (kZ) 888819已知0x，且 a0，那么函数f(x)cos2x2asinx1的最小值是 2A.2a1 B.2a1 C.2a1 D.
28、2a 10求使函数ysin(2x)3 cos(2x)为奇函数，且在0， 上是增函数的的一4个 A. 5 3 B. 值42 C. 33为 D. 3二、填空题 cosx11函数y 的值域是_. 12cosxcosx 12函数y 的定义域是_. lg13如果x，y0，且满足|sinx|2cosy2，则x_，y_. 14已知函数y2cosx，x0，2和y2，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形的面积是_ 15函数ysinxcosxsin2x的值域是_. 16关于函数f(x)4sin(2x )(xR)有下列命题： 3由f(x1)f(x2)0可得x1x2必是的整数倍； yf(x)的表达式可改为y4cos
29、(2x )； 6yf(x)的图象关于点 17如图为函数yAsin(x)(A0，0)的图象的一部分，试求该函数的一个解析式. 18已知函数y(sinxcosx)22cos2x.(xR) (1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合. (2)该函数图象可由ysinx(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 19已知函数f(x)log1(sinxcosx) 2求它的定义域和值域；求它的单调减区间； 判断它的奇偶性；判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期. 20某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠，为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 m，渠深3米，则水渠
30、侧壁的倾斜角应为多少时，方能使修建的成本最低？ 21 (本小题满分15分）已知函数f(x)sin(x)(0，0)是R上的偶函数，其3图象关于点M*=sin*sin 证明：*=2 sin(+a)/2 cos(a-)/2 *2 cos(+a)/2 sin(a-)/2 =sin*sin 坡度公式 我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度， 用字母i表示， 即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角），那么 i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦： sin =的对边/ 的斜边 余弦：cos =的邻边/的斜边
31、正切：tan =的对边/的邻边 余切：cot =的邻边/的对边 二倍角公式 正弦 sin2A=2sinAcosA 余弦 1.Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a) 2.Cos2a=1-2Sin2(a) 3.Cos2a=2Cos2(a)-1 即Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a)=2Cos2(a)-1=1-2Sin2(a) 正切 tan2A=/ 三倍角公式 sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-) cos3=4coscos(/3+)cos(/3-) tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a) 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a) =si
32、n2acosa+cos2asina =2sina(1-sina)+(1-2sina)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cosa-1)cosa-2(1-cosa)cosa =4cos3a-3cosa sin3a=3sina-4sin3a =4sina(3/4-sina) =4sina(3/2)-sina =4sina(sin60-sina) =4sina(sin60+sina)(sin60-sina) =4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60-a)/2
33、=4sinasin(60+a)sin(60-a) cos3a=4cos3a-3cosa =4cosa(cosa-3/4) =4cosacosa-(3/2)2 =4cosa(cosa-cos30) =4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30) =4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2 =-4cosasin(a+30)sin(a-30) =-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a) =-4cosacos(60-a)-cos(60+a) =4cosacos(60-a)cos(60+a) 上述两式
34、相比可得 tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a) 现列出公式如下: sin2=2sincos tan2=2tan/(1-tan2() cos2=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2() 可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用。包括一些图像问题和函数问题中 三倍角公式 sin3=3sin-4sin3()=4sinsin(/3+)sin(/3-) cos3=4cos3()-3cos=4coscos(/3+)cos(/3-) tan3=tan()*(-3+tan()2)/(-1+3*tan()2)=tan a tan(/3+a) tan(/3-a
35、) 半角公式 sin2(/2)=(1-cos)/2 cos2(/2)=(1+cos)/2 tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos) tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin 万能公式 sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2) 其他 sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及 sin2(
36、)+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式 sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA2-1) cos4A=1+(-8*cosA2+8*cosA4) tan4A=(4*tanA-4*tanA3)/(1-6*tanA2+tanA4) 五倍角公式 sin5A=16sinA5-20sinA3+5sinA cos5A=16cosA5-20cosA3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA2+tanA4)/(1-10*tanA2+5*tanA4) 六倍角公式 sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA2) cos6A=(-1+2*cosA2)*(16*cosA4-16*cosA2+1) tan6A=(-6*tanA+20*tanA3-6*tanA5)/(-1+15*tanA2-15*tanA4+tanA6) 七倍角公式 sin7A=-(sinA*(56*sinA2-112*sinA4-7+64*sinA6)
