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1、大物B课后题08第章 电磁感应 电磁场习题 8-6 一根无限长直导线有交变电流i=I0sinwt，它旁边有一与它共面的矩形线圈ABCD，如图所示，长为l的AB和CD两边与直导向平行，它们到直导线的距离分别为a和b，试求矩形线圈所围面积的磁通量，以及线圈中的感应电动势。 解 建立如图所示的坐标系，在矩形平面上取一矩形面元dS=ldx，载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为 dfm=BdS=通过矩形面积CDEF的总磁通量为 fm=由法拉第电磁感应定律有 e=-m0ild x2pxbam0imilbmIlbldx=0ln=00lnsinwt 2px2pa2padfmmIlwb=-00lncoswt
2、dt2pa，球小8-7 有一无限长直螺线管，单位长度上线圈的匝数为n，在管的中心放置一绕了N圈，半径为r的圆形小线圈，其轴线与螺线管的轴线平行，设螺线管内电流变化率为dI线圈中感应的电动势。 解 无限长直螺线管内部的磁场为 B=m0nI 通过N匝圆形小线圈的磁通量为 由法拉第电磁感应定律有 e=-dtfm=NBS=Nm0nIpr2 dfmdI=-Nm0npr2 dtdt8-8 一面积为S的小线圈在一单位长度线圈匝数为n，通过电流为i的长螺线管内，并与螺线管共轴，若i=i0sinwt，求小线圈中感生电动势的表达式。 解 通过小线圈的磁通量为 fm=BS=m0niS e=-dfmdi=-m0nS=
3、-m0nSi0wcoswt dtdt-1 由法拉第电磁感应定律有 8-9 如图所示，矩形线圈ABCD放在B=6.010T的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面的法线方向之间的夹角为a=60，长为0.20m的AB边可左右滑动。若令AB边以速率v=5.0ms-1向右运动，试求线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向。 解 利用动生电动势公式 1 e=BA(vB)dl=0.20050.6sin(-60)dl=0.30(V) 2p感应电流的方向从AB. 8-10 如图所示，两段导体AB和BC的长度均为10cm，它们在B处相接成角30；磁场方向垂直于纸面向里，其大小为B=2.510T。若使导体在均匀磁场中以速率
4、-2v=1.5ms-1运动，方向与AB段平行，试问AC间的电势差是多少? 哪一端的电势高？ 解 导体AB段与运动方向平行，不切割磁场线，没有电动势产生。BC段产生的动生电动势为 e=(vB)dl=1.52.510-2cos60dl=1.910-3(V) B0C1.10AC间的电势差是 UAC=-e=-1.910-3(V) C端的电势高。 8-11 长为l的一金属棒ab，水平放置在均匀磁场B中，如图所示，金属棒可绕O点在水平面内以角速度w旋转，O点离a端的距离为lk。试求a,b两端的电势差，并指出哪端电势高 解 建立如图所示的坐标系，在Ob棒上任一位置x处取一微元dx，该微元产生的动生电动势为
5、de=(vB)dx=-wxBdx Ob棒产生的动生电动势为 eOb=l-lk011-wxBdx=-wBl2(1-)2 2k1k212l-wxBdx=-wBl2 2k同理，Oa棒产生的动生电动势为 eOa=金属棒a,b两端的电电势差 0Uab=-eab=eOa-eOb2111122l=-wBl2-wBl2(1-)2=wBl2(1-) 2k2k2k因k2，所以a端电势高。 8-12 如图所示，真空中一载有稳恒电流I的无限长直导线旁有一半圆形导线回路，其半径为r，回路平面与长直导线垂直，且半圆形直径cd的延长线与长直导线相交，导线与圆心O之间距离为l，无限长直导线的电流方向垂直纸面向内，当回路以速度
6、v垂直纸面向外运动时，求： 回路中感应电动势的大小； 2 半圆弧导线cd中感应电动势的大小。 解 由于无限长直导线所产生的磁场方向与半圆形导线所在平面平行，因此当导线回路运动时，通过它的磁通量不随时间改变，导线回路中感应电动势e=0。 半圆形导线中的感应电动势与直导线中的感应电动势大小相等，方向相反，所以可由直导线计算感应电动势的大小 选取x轴如图8.7所示，在x处取线元dx,dx中产生感应电动势大小为 de=(vB)dl m0I 2px导线cd及圆弧cd产生感应电动势的大小均为 l+rm0Ivl+rdxm0Ivl+r=ln e=vBdx= l-r2pl-rx2pl-r 其中B=m的圆柱体内有
7、均匀磁场，其方向与圆柱体的轴线平行，且8-13 在半径R=0.50dBdt=1.010-2Ts-1，圆柱体外无磁场，试求离开中心O的距离分别为0.1m,0.25m,0.50m,1.0m和各点的感生电场的场强。 解 变化的磁场产生感生电场线是以圆柱轴线为圆心的一系列同心圆，因此有 E感dl=-LSBdS t而E感dl=E感2pr,-LSBdBdS=-pr2 tdtdB2pr dt1dB E感=-r 2dt当rR时 E感2pr=-dBpR2 dtR2dB E感=- 2rdt-3-1-3-1所以r=0.50m时， E感=2.510Vm;r=1.0m时E感=1.2510Vm 8-14 如图所示，磁感应
8、强度为B的均匀磁场充满在半径为R的圆柱体内，有一长为l的金属棒ab放在该磁场中，如果B以速率dBdt变化，试证：由变化磁场所产生并作用于棒两 3 dB11lR2- 端的电动势等于dt22证明 方法一 连接Oa,Ob,设想Oab构成闭合回路，由于Oa,Ob沿半径方向，与通过该处的感生电场处垂直，所以Oa,Ob两段均无电动势，这样由法拉第电磁感应定律求出的闭合回路Oab的总电动势就是棒ab两端电动势。根据法拉第电磁感应定律 eab=eOab2dBdB11=-S=lR2- dtdt222 方法二 变化的磁场在圆柱体内产生的感生电场为 E感=-棒ab两端的电动势为 1dBr 2dteab=E感dx=E
9、感cosqdx=-r000lll1dB2dt1R2-2dB1122dx=lR- rdt2228-15 如图所示，两根横截面半径为a的平行长直导线，中心相距d，它们载有大小相等、方向相反的电流，属于同一回路，设导线内部的磁通量可以忽略不计，试证明这样一对导线长为l的一段的自感为L=m0ld-aln。 pa 解 两根平行长直导线在它们之间产生的磁感应强度为 B=m0Im0I +2px2p(d-x)m0Im0I+ldx2px2p(d-x) 穿过两根导线间长为dx的一段的磁通量为 fm=d-aaBdS=d-aam0lId-alnpafmI=所以，一对长为的一段导线的自感为 L=m0ld-aln pa8
10、-16一均匀密绕的环形螺线管，环的平均半径为R，管的横截面积为S，环的总匝数为N，管内充满磁导率为m的磁介质。求此环形螺线管的自感系数L。 解 当环形螺线管中通有电流I时，管中的磁感应强度为 B=mnI= 通过环形螺线管的磁链为 mIN 2pRmIN2S ym=Nfm= 2pR4 则环形螺线管的自感系数为 mN2S= L= I2pRym 8-17由两薄圆筒构成的同轴电缆，内筒半径R1,外筒半径为R2，两筒间的介质mr=1。设内圆筒和外圆筒中的电流方向相反，而电流强度I相等，求长度为l的一段同轴电缆所储磁能为多少？ 解 有安培环路定理可求得同轴电缆在空间不同区域的磁感应强度为 rR1时， B1=
11、0 R1rR2时， B3=0 在长为L，内径为r，外径为r+dr的同轴薄圆筒的体积dV=2prldr中磁场能量为 2m0I2l1B2 dWm=dV=dr 2m04pr所以，长度为l的一段同轴电缆所储能为 Wm=R2R1m0I2rm0I2lR2dr=ln 4pr4pR1补充 在同时存在电场和磁场的空间区域中，某点P的电场强度为E，磁感应强度为B，此空间区域介质的介电常数ee0，磁导率mm0。求P点处电场和磁场的总能量体密度w。 解 电场能量密度为 we=磁场能量密度为 1e0E2 21B2 wm= 2m0总能量密度为 11B22 w=we+wm=e0E+ 22m08-19 一小圆线圈面积为S1=
12、4.0cm2，由表面绝缘的细导线绕成，其匝数为N1=50，把它放在另一半径R2=20cm，N2=100匝的圆线圈中心，两线圈同轴共面。如果把大线圈在小线圈中产生的磁场看成是均匀的，试求这两个线圈之间的互感；如果大线圈导线中的电流每秒减少50A，试求小线圈中的感应电动势。 5 解 当大圆形线圈通有I2时，它在小圆形线圈中心处的磁感应强度大小为 B2=N2m0I22R2若把大圆形线圈在小圆形线圈中产生的磁场看成是均匀的，则通过小圆形线圈的磁链为 ym=N1B2S1=N1N2两个线圈之间的互感为 m0I22R2S1 N1N2m0S1501004p10-74.010-4M=6.2810-6(H) I2
13、2R220.2ym 如果大线圈导线中的电流每秒减少50A，则小线圈中的感应电动势为 e=-Mdi=6.2810-650=3.1410-4(V) dt8-20 一螺线管长为30cm。由2500匝漆包导线均匀密绕而成，其中铁芯的相对磁导率mr=100，当它的导线中通有2.0A的电流时，求螺线管中心处的磁场能量密度。 解 螺线管中的磁感应强度为 B=m0mrnI=m0mr螺线管中的磁场能量密度为 NI l1B2wm=1.74105J/m3 2m0mr 8-21 一根长直导线载有电流I，且I均匀地分布在导线的横截面上，试求在长度为l的一段导线内部的磁场能量。 解 有安培环路定理可得长直导线内部的磁感应
14、强度为 B=m0Ir 2pR2在长度为l的一段导线内部的磁场能量 222RmIrmIl1B2 Wm=dV=0242prldr=0 04pR2m016p 8-22一同轴线由很长的直导线和套在它外面的同轴圆筒构成，它们之间充满了相对磁导率为mr=1的介质，假定导线的半径为R1，圆筒的内外半径分别为R2和R3 ，电流I由圆筒流出，由直导线流回，并均匀地分布在它们的横截面上，试求：在空间各个范围内的磁能密度表达式;(2)当R1=10mm,R2=4.0mm,R3=5.0mm,I=10A时，在每米长度的同轴线中所储存的磁场能量。 6 解 有安培环路定理可得在空间各个范围内的磁感应强度为 rR1时 B1=m
15、0Im0IrB= ； 时 RrR3时 B4=0 R2rR3时B3=2prR32-R22相应地，空间各个范围内的磁能密度为 m0I21B12m0I2r2rR1时wm=22；R1rR3时wm=0。 R2rR3时wm=22228prR3-R2 每米长度的同轴线中所储存的磁场能量为 2Wm=wmdV=w1mdV+w2mdV+w3mdV+w4mdV=R102222RmIRmIm0I2r2R-r0032prdr+2prdr+2prdr+022222222RR8pR18pr8prR3-R223122m0I2=4p244R34ln(R3R2)RR-RR13322+ln+=1.710-5(J)-2+22224R
16、1R3-R224(R2-R2)R-R()3232dU，U是电容器两极板dt8-23证明电容C的平行板电容器，极板间的位移电流强度Id=C间的电势差。 证明 由于平行板中D=s，所以穿过极板位移电位移通量 fD=平行板电容器中的位移电流强度 Id=DdS=sS=q=CU SdfDd(CU)dU=C dtdtdt5-1 8-24 设圆形平行板电容器的交变电场为E=720sin10ptVm，电荷在电容器极板()上均匀分布，且边缘效应可以忽略，试求：电容器两极板间的位移电流密度；在距-5离电容器极板中心连线为r=1.0cm处，经过时间t=2.010s时的磁感应强度的大小。 解 电容器两极板间的位移电流
17、密度为 dE=e0=2.0010-3cos(105pt)Am2 tt以电容器极板中心连线为圆心，以r=1.0cm为半径做一圆周。由全电流安培环路定 jd=7 律有 Hdl=dfDLdt 所以 H2pr=pr2edE0dtH=12redE0dt经过时间时t=2.010-5s，磁感应强度的大小为 B=m0re0dE0H=m2dt=1.2610-11(T) 8-25 试确定哪一个麦克斯韦方程相当于或包括下列事实： 电场线仅起始或终止与电荷或无穷远处； 位移电流; (3) 在静电平衡条件下，导体内部可能有任何电荷； 一变化的电场，必定有一个磁场伴随它； 闭合面的磁通量始终为零； 一个变化的磁场，必定有一个电场伴随它； 磁感应线是无头无尾的； 通过一个闭合面的净电通量与闭合面内部的总电荷成正比；不存在磁单极子； 库仑定律； 静电场是保守场。 解 NDds=iq相当于或包括事实：，；si=1Edl=-BtdS相当于或包括事实：，； LSBdS=0相当于或包括事实：，； SNHdl=Ii+dfDdt相当于或包括事实：，； Li=1 8
