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1、第七章 刚体的简单运动,第七章 刚体的简单运动,第七章 刚体的简单运动,刚体的简单运动：,一、平移运动二、定轴转动三、定轴转动刚体上点的速度加速度四、定轴轮系的传动比五、角运动量的矢量表示,平移运动实例,平移运动,一、平移运动,定义：刚体运动时，刚体上任一直线始终保持与其初始位置平行的运动。,特点：在同一瞬时，刚体上各点的轨迹相同、速度相同、加速度相同。,简化：刚体平移运动时，可简化为点的运动来研究（通常取作质心），归结为点的运动学问题。,分类：按轨迹可将刚体平移运动分为直线平移和曲线平移两类。,平移运动,刚体平移运动 点的运动学问题,二、定轴转动,定义：刚体运动时，刚体上有两点的位置始终保持
2、不动。,定轴转动实例,定轴转动实例,定轴转动实例,转速 n(rpm),定轴转动整体分析,定义：刚体定轴转动时，刚体上保持不动的两点的连线称为转轴或轴线。,用转角表示的转动方程（一个自由度）：,角速度：,角加速度：,换算关系：,转动刚体整体的运动：,加速度：,速度：,运动方程：,全加速度：,定轴转动速度 加速度,（转动刚体上点的运动）,三、定轴转动刚体上各点的速度 加速度,各点的速度 加速度是定轴转动刚体的局部性质的描述！,定轴转动刚体上的速度分布,定轴转动速度分布,定轴转动刚体上的速度分布,定轴转动速度分布,定轴转动刚体上的加速度分布,定轴转动加速度分布,定轴转动刚体上的加速度分布,定轴转动加
3、速度分布,思考：定轴转动圆盘上M点的加速度如图所示，则该瞬时圆盘的角速度 和角加速度 分别为,定轴转动思考题,0=0,0 0,=0 0,四、定轴轮系的传动比,定轴轮系的传动比,定轴轮系的传动比,规定：外啮合取负（反向转动）内啮合取正（同向转动）,传动比公式也适用于皮带轮传动,定轴轮系的传动比,解：OA杆作定轴转动：,AB杆作平移:,当 t=1s时：,已知 OA=OB=r=10 cm，OA转角=sin t/4，求t=1s时，AB杆中点M 的速度和加速度。,例 1：平行四边形机构,平行四边形机构速度分布,平行四边形机构的速度分布,例 2：减速运动的飞轮,飞轮转速 n=240r/min，断电后作匀减
4、速运动，经 4min10s 停止，求飞轮的角加速度和停止前所转过的转角。,解:,例 3：胶带轮绞车机构,胶带轮绞车机构如图，已知r1=0.3m，r2=0.75m，r3=0.4m，轮I 作匀速转动，转速n1=100rpm，胶带与带轮之间无滑动，求重物 P 的上升速度和胶带各段的加速度。,解:轮I的转速,（rad/s）,轮II的转速：,（rad/s）,重物 P 上升的速度：,（m/s）,例 3：胶带轮绞车机构,胶带AB、CD段上各点作直线运动，各点的加速度与两轮轮缘的切向加速度相同，因此,思考：在A、B、C、D四点，轮缘上的加速度与胶带上的加速度是否相同？为什么？,胶带AD、BC段上各点作圆周运动
5、，各点加速度与两轮轮缘的法向加速度相同，因此,（m/s2）,（m/s2）,摇杆机构的滑杆AB 以匀速 u向上运动，初瞬时=0，求=/4时摇杆OC 的角速度和角加速度。,例 4：摇杆机构,解：,求导：,再求导：,当=/4时，t=L/u，所以：,负号说明此刻角加速度的方向与转角的方向相反！,例 5：平动物块与转动杆,物块B 以匀速v0 沿水平直线运动，杆OA与物块棱边（C点）保持接触，物块高度为 h，求杆OA 转动的方程、角速度和角加速度。,解:取坐标如图，取=0为计算的起点，按题意有 x=v0t，则,所以杆OA的转动方程为：,杆OA的角速度为：,杆OA的角加速度为：,用矢量表示角速度与角加速度,
6、考察三维定轴转动刚体：,角速度矢量、角加速度矢量,五、角运动量的矢量表示,角运动量的矢量表示,角运动量的矢量表示,用矢量表示角速度与角加速度,用矢积表示刚体上点的速度与加速度,如图（考察三维定轴转动刚体）：,角运动量的矢量表示,证明（1）速度的大小：,（2）速度的方向（矢积的方向）,用矢积表示刚体上点的速度与加速度,角运动量的矢量表示,例 6：计算点的速度与加速度,刚体绕定轴转动，已知转轴通过坐标原点O，角速度矢为,解:,求：t=1s时，刚体上点M(0，2，3)的速度矢及加速度矢。,例 7：刚体上点的速度,某定轴转动刚体的转轴通过点M0(2,1,3)，其角速度矢的方向余弦为 l=(0.6,0.
7、48,0.64)，角速度的大小=25rad/s。,解:,求：刚体上点M(10,7,11)的速度。,其中 l=(0.6,0.48,0.64),点M相对于点M0的矢径,=(10,7,11)(2,1,3)=(8,6,8),泊松公式,考察三维定轴转动刚体：动参考系O1xyz 绕 z 轴转动，角速度为，基矢量为(i,j,k),角运动量的矢量表示,如果将基矢量(i,j,k)视为动参考系O1 x y z 中的矢径，根据速度矢量的定义，基矢量对时间的一阶导数就是基矢量端点轨迹上各点（例如P1、P2、P3点）的速度矢量。,角运动量的矢量表示,泊松公式（续）,自然轴系加速度的推导（1）,泊松公式的应用,在任一瞬时
8、，可将点M 的运动看作绕密切面内曲率中心O 的瞬时转动，因此：v=，a=,所以：,利用泊松公式以及 v=：,由加速度的定义：,自然轴系加速度的推导（2）,瞬时定轴转动的类比,利用定轴转动（点）公式，有：,在任一瞬时，可将点M 的运动看作绕密切面内曲率中心O 的瞬时转动，因此：v=，a=,其中：,例 8：定轴转动刚体,一定轴转动的刚体，在初瞬时角速度为0=20rad/s，刚体上某点的运动规律为s=t+t 3（m/s）。求 t=1s 时刚体的角速度和角加速度以及该点到转轴的距离。,解:点的速度和切向加速度分别为：,当t=1s时：,利用初始时刻（t=0）速度与角速度的关系，有：,例 8：定轴转动刚体
9、,在 t=1s 时的角速度和角加速度分别为：,验证：利用（t=1s）时刻速度与角速度的关系，有：,例 9：飞轮的转动规律,某飞轮绕固定轴O转动的过程中，轮缘上任一点的全加速度与其转动半径的夹角恒为=60o。在运动开始时刻，飞轮转角=0=0，角速度为0。求飞轮的转动方程以及角速度和转角间的关系。,解:由切向和法向加速度关系可知,分离变量积分,得到,例 9：飞轮的转动规律,另外：,再次分离变量积分,得到飞轮的转动方程,例 10：纸（磁带）盘的转动规律,纸盘由厚度为 a 的纸条卷成，若以不变的速度 v 拉出纸条，求纸盘的角加速度 与其半径 r 的函数关系。,解:设纸盘初始半径为r0，面积为 r02，纸盘面积减小的速度为av，经过时间 t 后纸盘面积变为 r 2，因此存在关系式:,求导：,即：,另外由,所以角加速度为,两边求导，得：,思考,（1）各点都作圆周运动的刚体一定是定轴转动吗？（2）刚体作平移运动时，各点的轨迹一定是直线，对否？（3）刚体作定轴转动时，各点的轨迹一定是圆，对否？,思 考？,
