现代信号处理（讲义）.doc

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1、博士第一组组长:戚伟士分组成员:孙钢,黄平牧,吕尧新,程卫军,冯瑞军,张闯内容: 2.5cohen类时频分布2.6wigner-ville分布2.7时频分布的性能评价与改进2.8多项式相位信号的wigner-ville分布2.5 Cohen类时频分布1. 问题的提出对局部相关函数 （为窗函数）取 则这是一个双线性变换信号，叫做瞬时相关函数。只是一个局部相关函数的特例 （模糊函数） （Wigner-Ville分布）由于不同的局部相关函数可得到不同的时频分布,问题：1能否用统一的积分变换形式来表示各种时频分布？2时频分布所希望的数学性质与其积分变换核之间究竟存在何种关系 Cohen类时频分布就是用

2、统一的形式表示不同的时频分布。60年代中期,cohen发现众多的时频分布只是wigner-ville分布的变形,他们可用统一的形式表示.在统一的表示形式中,不同的只是体现在积分变换核的函数形式的选择上,而对时频分布的各种性质的要求则反映在对核函数的约束条件上.2Cohen类时频分布的定义 称为核函数。 这里的核函数与t，f无关，仅为的函数，即：具有时频移不变性。 改写上式为： 具有该类形式的时频分布统称为:cohen类时频分布,这类时频分布是以核函数加权的模糊函数的二维Fourier变换,所以又称为广义双线性时频分布.物理解释:若,即不加核函数,则上式退化为wigner-ville函数,所以核

3、函数可视为模糊域的”滤波函数”,将模糊函数中的某些不需要的分量滤掉. （Wigner-Ville分布）Cohen类函数时频分布的一种重要形式是自变量取的乘积，即。此时称为乘积核， 记为：Cohen类互时频分布的定义： 为x(t)和y(t)的互模糊函数。3.时频分布基本性质与核函数的关系 由于作为能量分布的时频表示要满足一些基本性质(见2.3.2节),并且wigner-ville分布满足所有这些基本性质.用核函数对模糊函数加权后,时频分布自然会发生一些变化.因此,如果要求变化后的时频分布仍能满足所提出的某些基本性质的话,核函数就应受到一些限制.有实用价值的时频分布应是能量密度的联合分布，所以需具

4、备以下的性质： (1)边缘特性与总能量 时间边缘特性：对频率变量的积分等于瞬时功率|z(t)|2 令 （瞬时功率） 则 频率边缘特性: 对时间变量的积分等于能量密度谱|Z(f)|2 令 （能量谱密度） 则 希望信号的总能量(归一化能量)保持不变,令总能量 （归一化能量） 则 归一化条件要比边缘条件弱,所以可能存在某种时频分布,其总能量与信号的总能量相同,但是边缘特性却不一定满足. (2) 实值性作为能量的测度,双线形分布应该是实的,取式(2.5.1)的复数共轭,然后将它与愿时频分布作比较,则可直接证明,时频分布是实的分布的充要条件: (3) 时移不变性和频移不变性 时移不变性: 当信号被时间移

5、位t0时,整个时频分布也应该移位相同的时间量. 频移不变性: 如果信号的频谱平移一固定的量,则分布也平移一个固定的量 论证表明,只要核函数和时间与频率无关,信号的时移在时频分布产生相应的时移. 这一性质是cohen类时频分布所固有的. (4) 瞬时频率保持性 为时间和频率的联合函数。 令 （时频分布在t时刻的瞬时功率） 令 （时频分布在频率f的能量谱密度） 的总体均值 局部频率（均值条件频率）： 其中A(t)和是信号 的幅值和相位。 该式中，令 则 设是信号的解析信号，则就是t时刻的瞬时频率。如果使用的信号是解析信号,则瞬时频率是相位的导数4. Cohen类的四种分布及关系：(1) 四种分布

6、WignerVille分布：能量域平面的时频表示; 模糊函数: 相关域平面的时频表示; 瞬时相关函数; 点谱相关函数: , 有。 （2）四种分布的关系 (模糊函数) v v t f(瞬时相关函数) (点谱相关函数) t f v f t ( WignerVille分布)5. Cohen类分布的类型 (1) (移不变)能量化Cohen类，记做CE (2) (移不变)相关化Cohen类, 记做CC 相关化Cohen类时频分布，常记为 (3)能量化类CE和相关化类CC的关系 v v v 相关化域 能量化域 t f t f t f (4)仿射类, 记为AE 与信号无关。 仿射类AE可保持时移不变和时间尺

7、度不变。 同一时频分布可同时属于CE和AE，即，它能够保持时移，频移和时间尺度不变，它最大的特点是：取“积核”形式， 即 这样，可用一维函数完全描述时频分布.6.复合核的Cohen类时频分布 为提高Cohen类时频分布的性能，核函数需要取复杂形式，称之为具有复合核的Cohen类时频分布。(1) Bessel分布核函数取，J1是第一类一阶Bessel函数。则：上式中， (2) 多值可倾斜指数分布MTED(一种可变通带形状的时频分布)核函数取作式中 这里 改变的值，可得到不同的时频分布，见44页表2.5.2。(3) ZS分布核函数取 则 若则ZS分布变为Choi-Williams分布； 若则ZS分

8、布变为Wigner-Ville分布. 以上时频分布的核函数都取与信号无关的固定形式，它具有固定的通带和阻带区，对某些信号不适用。(4) Cohen-Pocsh类分布对于信号s(t)，若要使时频分布P(t,f)表示联合能量密度，它至少应满足三个基本条件： 非负性 时间边缘特性 频率边缘特性满足这三个条件的时频分布可以统一表示为： 是一个函数取值与信号有关的非负定的核函数，这类分布称作Cohen-Pocsh类分布。径向高斯核函数是一种与信号有关的核函数，它在任意径向剖面上都为高斯函数，即： 式中，称为扩展函数。2.6 Wigner-Ville分布 信号s(t)的Wigner-Ville分布是一种最

9、基本，应用最多的时频分布。1. 定义 为瞬时相关函数。也可定义为： 为点谱相关函数。2. 数学性质性质1: 实分布 性质2: 时移不变性 性质3: 频移不变性 性质4: 时间边缘特性 性质5: 频率边缘特性 其它性质见48页表2-6-1. 可以看到Wigner-Ville分布满足表2.3.1中所有的数学性质。事实上，Wigner-Ville分布是满足所有这些性质的唯一时频分布。3. 基于Wigner-Ville分布的信号重构(离散信号的恢复和重构) 离散Wigner-Ville分布定义为： （离散解析信号具有长度2L+1）对上式作离散Fourier反变换, 令n1=n+m, n2=n-m, 得

10、(1) 令n1= n2= n, 则 (2) 令n1= 2n, n2= 0, 则 表明，偶数序号的采样信号z(2n)可由离散分布唯一重构，相差一复数倍。(3) 令n1= 2n-1, n2=1, 则 表明，奇数序号的采样信号z(2n-1)可由离散分布唯一重构，相差一复数倍。 是解析信号，即负频率的谱分量的幅值恒为零，因此解析信号可以欠采样。 于是，可用下列方法重构信号： 重构偶数序号的样本信号； 让偶数样本序列通过一重构滤波器，来获得奇数样本。该滤波器具有冲激响应： ，且传递函数，为采样频率， 是一个幅度为1,宽度为的矩形频率窗函数。(4) 信号重构算法 为重构偶数样本, 构造一个维矩阵，其元素为

11、 矩阵的秩为1, 该矩阵的特征值分解为： 为的第i个特征值和特征向量，除外，其余的特征值都等于0. 于是偶数样本由右式给出： 其中， 注：利用Wigner-Ville分布重构信号会产生相位丢失，所以这种信号重构不适用于要求相位信号的场合。4. 与演变谱的关系 (1) 演变谱的定义 解析信号的时变自相关函数为 则的时变功率谱(常称作演变谱)为： 这表明，信号的演变谱等于该信号的Wigner-Ville分布的数学期望，演变谱也可称为Wigner-Ville谱。(2) 时频相干度函数 和分别是非平稳信号和的(自)演变谱，是和的互演变谱：时频相干度函数的性质： 性质1: 性质2: 若和在时间t不相关，

12、即，则。 性质3: 如果和是非平稳信号分别通过线性移不变滤波器H1和H2得到的输出，则 其中*表示二维卷积，且 是滤波器H1和H2的冲激响应和的互Wigner-Ville分布。2.7时频分布的性能评价与改进：本节主要讨论几种常见的时频分布的评价和改善问题，主要是从时频聚集性和交叉项两个角度来评价时频分布的性能。2.7.1时频聚集性时频聚集性是指时频分布具有很好的时频局域性或者说它在时频平面上是高度聚集的。时频分布的提出源于局部性，而时频分布的聚集性直接反映了它的局部特性，因此有关聚集性的讨论有助于我们衡量各种时频分布的性能，并由此得出改善方向。2.7.1.1使用线形调频（LFM）信号作聚集性分

13、析考虑幅度为1的单分量信号：一种公认的观点：任何一种时频分布如果对LFM不能提供好的时频聚集性，那么便不适合用作非平稳信号分析的工具。LFM信号的Wigner-Ville分布可求得：可知，单分量的LFM信号的WignerVille分布为沿直线分布的冲激线谱，从最佳展现LFM信号的频率调制律的意义讲，WignerVille分布具有理想的时频聚集性。值得注意的是，上式积分是在时间内，对于实际中时间有限的信号，其WignerVille分布应是背鳍状。2.7.2交叉项分析交叉项是二次型或双线性时频分布的固有结果，是由于多分量信号中的不同信号分量之间的交叉（乘积）作用造成的。时频分布的交叉项一般是比较严

14、重的。对于平稳、解析的单频信号Cohen类时频分布可表示为：对于多分量解析信号:，Cohen类时频分布由信号项和交叉项组成：式中信号项为：第一个交叉项为：第二个交叉项为：因此交叉项综合表现为：书中给出了两分量音调信号的四种时频分布的交叉项。对于一般的多分量非平稳信号，各种时频分布的交叉项及其影响要更加复杂。2.7.3交叉项抑制由于交叉项的存在可能会严重地干扰我们对各信号分量的判断，因此必须采取措施对交叉项进行抑制。2.7.3.1抑制交叉项的基本方法交叉项与时频分布的有限支撑特性密切相关，而交叉项的抑制主要通过设计核函数来实现，因此讨论有限支撑与核函数的关系可以帮助我们找到抑制交叉项的方法。1

15、对于弱有限支撑特性：为了使时限和频限信号的时频分布时宽和带宽与信号的时宽和带宽相同，也即使时频分布具有弱有限时间支撑和弱有限频率支撑，要求核函数分别满足条件： 2 对于强有限时间支撑（或称交叉项时间聚集特性）和强有限频率支撑特性(或称交叉项频率聚集特性)：交叉项的表达式为：令代表两个解析音调信号的交叉项的包络，可知当时：可以知道：（1）欲让时频分布的交叉项不出现在非信号频率处，则只要令核函数：，称为频域约束条件； （2）欲让时频分布的交叉项不出现在信号等于零的时间段内，则只要令另一核函数（与构成Fourier变换对）：，称为时域约束条件； 以上结论是针对单频信号得到的，但可以证明，它对任意信号

16、都成立。2.7.3.2 几点说明1 由支撑条件推出的抑制交叉项的约束条件只能保证在信号等于零的时频区域内任一双线性时频分布也为零，但并不能消除时频分布中的交叉项；2 从减小交叉项的角度出发，应使核函数在时延频偏平面即相关域中为低通函数；3 减小交叉项与维持信号项的大小是互相矛盾的。交叉项的减小必然会对信号项产生拉平的负面作用；4 以上讨论减小交叉项问题时，是假设信号项与交叉项没有重叠的情况，目前还没有适用于信号项和交叉项重叠的情况的减小交叉项的方法；5 通常信号项位于平面的原点附近，而交叉项离原点比较远，因此希望核函数是二维低通滤波函数；6 实际上，交叉项反映了两个不同信号分量之间的“相干”程

17、度，是相干的一种测度，因此在某些情况下，也是非常有用的信息；2.7.4几种常用的时频分布前面分析了Born-Jordan分布、Choi-Williams分布、Margenau-Hill分布和Wigner-Ville分布的交叉项，并介绍了交叉项抑制对窗函数提出的“有限支撑约束条件”。下面就介绍其他几种常用的时频分布，都是从交叉项抑制的角度提出的。2.7.4.1减小交叉项分布（RID）减小交叉项分布（RID）是以减小交叉项作为主要考虑目标，并尽可能兼顾时频分布的其他性质二提出的一种时频分布。除了不满足性质P0（非负性）之外，满足P1P10，并且能提供较好的时频聚集性。RID分布的核函数应该是时频平

18、面上的二维低通滤波器，满足|(,) |0RID分布核函数的实现算法请参考具体文献介绍。2.7.4.2 Wigner-Ville分布的几种变型，Wigner-Ville分布的时频聚集性比较好，但是交叉项是这种分布的主要缺陷，因此，对其性能进行改进的工作就主要集中在如何减小其交叉项。以下介绍的就是Wigner-Ville分布经过改造之后得到的几种分布。(1) 伪Wigner-Ville分布（PWD）由前面的分析我们可以知道，RID分布是从局域性处理的观点出发，通过对变量和的加窗函数h()来实现对交叉项的抑制。改进之前的Wigner-Ville分布没有加任何窗函数，由此我们很自然地想到一个简单的改进

19、方法就是加窗函数，最简单的办法就是只给加窗函数h()来达到减小交叉项的目的。这种改进后的Wigner-Ville分布称为伪Wigner-Ville分布（PWD），定义为：其中，窗函数h()应该满足约束条件R1R4。R1单位面积：R2对称性：R3时限性：R4低通性：(2) 平滑Wigner-Ville分布（SWD）直接对Wigner-Ville分布Wz(t,f)进行平滑操作：(2.7.27)平滑之后的Wz(t,f)就称作平滑Wigner-Ville分布（SWD），其中G(t,f)平滑滤波器，表示对时间和频率的二维卷积。看一下谱图和短时傅立叶变换的定义：SPEC(t,f)=|STFT(t,f)|2

20、=(2.7.28)从中可以看出它们之间的关系：谱图是信号和窗函数的Wigner-Ville分布的二维卷积。如果选择平滑滤波器则平滑Wigner-Ville分布就退化为谱图。(3) 平滑伪Wigner-Ville分布(SPWD)由前面的讨论可知，RID分布是通过对和两者加组合窗函数h()来达到抑制交叉项的目的。由此我们很自然地想到这种想法是否对Wigner-Ville分布也同样适应。我们采用与RID不同的窗函数 g()h()，即对和分别加窗函数g()和h()，这样就得到了所谓的平滑伪Wigner-Ville分布(SPWD)SPWDz（t,f）=(2.7.30)其中g()和h()是两个实的偶窗函数

21、，而且满足条件h(0)=g(0)=1。(4) 修正平滑伪Wigner-Ville分布(MSPWD)平滑伪Wigner-Ville分布(SPWD)效果有了较大的提高，但是还是可以进一步改进。Auger和Flandrin经过研究发现：对平滑伪Wigner-Ville分布进行适当的“重排”（修正）后会进一步提高分布的性能。修正后的平滑伪Wigner-Ville分布就称为修正平滑伪Wigner-Ville分布(MSPWD)，其定义如下： (2.7.31)式中和分别表示重排后的时间和频率点。时频分布的重排在后面会有具体讨论。有一点需要注意，Wigner-Ville分布和刚才介绍的前三种推广形式都是双线性

22、的时频表示，但是修正平滑伪Wigner-Ville分布已经失去了这种双线性，但是Wigner-Ville分布的其他性质保留了下来，双线性的丢失是性能提高所付出的代价。修正平滑Wigner-Ville分布实现的具体算法见P63的介绍。2.7.4.3 ZAM分布ZAM分布是Zhao, Atlas与Marks共同提出的一种Cohen类时频分布，其中核函数取作：(，)|sinc()()(2.7.40)如果()1/|，则ZAM分布与Born-Jordan分布相同。代入Cohen类分布的定义式，可以得到ZAM分布的定义：(2.7.41)与RID分布一样，ZAM分布的支撑区也为锥形。如果定义时间t的局部相关

23、函数为则ZAM分布可看作式被()加窗的局部相关函数的Fourier变换：由于= 和所以ZAM分布取实值。需要注意的是：ZAM分布有可能是负的。若令ZAM分布的负部分为零，即可得到在均方意义下与计算出来的ZAM分布最接近的非负时频分布。现在我们总结一下时频聚集性提高和交叉项抑制之间的关系。我们知道Cohen类时频分布函数与Wigner-Ville分布存在如下的关系：（2.7.45）可以看出，核函数对Wigner-Ville分布起一种平滑作用。平滑的目的是为了抑制Wigner-Ville分布的交叉项。从这个意义上讲，Cohen类时频分布是为了减小Wigner-Ville分布的交叉项而提出来的。既然

24、是平滑，在平滑交叉项的同时也会对信号项起到平滑作用，从而使时频聚集性降低，因此在选择核函数的形状和范围时必须兼顾交叉项抑制和时频聚集性降低之间的矛盾。2.7.5 时频分布的重排改进核函数是改善Cohen类时频分布性能的一种有效的方法，除此之外还有一些方法可以满足我们的要求，兼顾时频分布的时频聚集性改善和交叉项减小。以下是三种比较有效的处理方法：1、析信号分解为一些基本分量，并使用个分量的时频分布之和作为解析信号的时频分布。当这种分解与解析信号的情况相符合时，可以获得解析信号不同分量之间较少的交叉项。2、交叉项的几何形状和振荡结构出发，主要使用图象处理方法试图去除交叉项。这种方法在信号分量和交叉

25、项重叠的情况下的性能会受影响3、 信号表示的处理方法,通过对信号进行重排来提高信号分量的时频聚集性。前面介绍的修正平滑伪Wigner-Ville分布(MSPWD)就是一个典型的例子。下面详细介绍一下重排的方法。重排方法的出发点是重排公式(2.7.45)。这个式子表明：时频分布在时频平面任意点(t,f)的值是所有乘积项之和，它可以看作是在(t,f)的邻近点上的加权Wigner-Ville分布。于是时频分布P(t,f)是在以点(t,f)为中心的邻域内的信号能量的平均值，并以核函数基本支撑区为其支撑区。这一求平均的运算不仅可以使振荡的交叉项衰减，而且也会使信号分量扩散。重排操作会引起这样一个问题：即

26、使原时频分布在某个时频点(t,f)没有任何能量，但是如果在该点附近存在某个非零的时频分布值，则由重排公式加权后的时频分布P(t,f)也会在(t,f)点取非零值。为了避免这一点，我们改用下面的修正公式：(2.7.47)其中和称为重排算子。定义如下：实际上(2.7.47)式可以认为是修正平滑伪Wigner-Ville分布定义式的推广形式。这说明，在任意点修正时频分布是所有原Cohen类时频分布在该点的值之和。应当注意的是，重排方法的目的是通过重新安排信号在时频平面内的能量分布，以改善信号分量聚集的尖峰。因此，当某个分布值在一个点等于零时，重排它是于事无补的，也就是说重排算子在这种情况下是无意义的。

27、另外一个值得注意的问题是，如果平滑核函数为实函数，那么重排算子也是实值，因为式中的Wigner-Ville分布总是实的。2-8 多项式相位信号的Wigner-Ville分布一、 研究多项式相位信号的Wigner-Ville分布的目的在 2-6和2-7节中，曾指出Wigner-Ville分布非常适用于线形调频信号。但是，在自然界和工程应用中，常遇到非线形调频信号。如某些声纳系统就使用双曲线调频和二次调频信号进行回波定位。在雷达中，某些脉冲压缩方式也使用线性调频和二次调频信号。二、多项式相位信号的Wigner-Ville分布的两种表示方法1、 连续多项式的定义 -2.8.1其中核函数取作： -2.

28、8.2q是信号z(t)的多项式阶数, bk为信号的幂指数 -2.8.3若取q=2,b0=0,b1=1,b-1=-1,且c1=1/2,c-1=-1/2,则式(2.8.2)变为: -2.8.4即多项式核可简化为双线性核,从而多项式Wigner-Ville分布也简化为Wigner-Ville分布.2、 离散多项式核的表示形式: -2.8.5离散形式的多项式Wigner-Ville分布记作,是式(2.8.5)的离散Fourier变换.三、 多项式相位信号的Wigner-Ville分布核函数中系数bk和ck的取值1、 系数bk在理论上可取任意值，但在实际中bk常取整数值。因为若使用非整数的bk则多项式核

29、取信号值的非整数幂之间的乘积，这在复值信号情况下会带来不必要的含糊。2、 系数ck可使多项式核将单位幅值的三次或二次调频信号转换为正弦波，为简便计，常取对称系数ck=-c-k，然后建立方程组求得。四、p次多项式相位信号核的实例分析：令信号的相位为,其中为多项式系数瞬时频率的估计式为: -2.8.6离散时间的瞬时频率估计器为: -2.8.7由于式(2.8.6)和式(2.8.7)相等,则上述两式可写为: -2.8.8不失一般性取n=0,则上式可变为: -2.8.9若取q=p=4,ck=-c-k,b2=-b-2=1,b1=-b-1=2,b0=0则比较式(2.8.9)两边的系数,得方程组: 1-1+2-2=0 c2-c-2+2c1-2c-1=1 -+2-2=0 -+2-2=0 -+2-2=0求联立方程组的解: c1=-c-1=0.675, c2=-c-2=-0.85则多项式核的函数的离散形式为:(n,m)=z(n+0.675m)z*(n-0.675m)2z*(n+0.85m)z(n-0.85m)