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1、定积分习题参考答案定积分习题参考答案 习题5-1 (A) 1.(1)(b2-a2) (2)e-1 2. pp3p23.(1) (2)R (3)2pcosxdx=202cosxdx -2221243 (4)0sinxdx=-2-psinxdx 2p04.Q=TI(e)dt 1T25.88.2KN 6.M=0r(x)dx 8.(1)1x2dx02sinxdx (3)1lnxdx1(lnx)dx (4)3lnxdx3(lnx)2dx 2224422lpp (5)0xdx0ln(x+1)dx e2112dxe2-e 9.(1)10edxe (2)(e-e)e2lnx111x2-22(3)1xarcta
2、nxdxp (4)-2e22ex-xdx-2e4 933p31习题5-1 (B) 1.(1)可积 (2)可积 (3)不可积 (4)可积 3.(1)0xdx (2)05.V=p-R(R2-x2)dx 6.约6.7升/分 习题5-2 (A) R1111bdxj(x)dx (3)2ab-a1+x1.-sinx,-2 242.(1)2x1+x (2)3x2-2x (3)(sinx-cosx)cos(psin2x) 1+x121+x8 (4)2xj(x2)sinj(x2)2-j(x)sinj(x)2 3.tcott 4.-cosxey25.极小值I(0)=0 6.(0,14) 7.83a3 8. -1；
3、2 9.(1)21p8 (2)3a (3)p4+1 (5)1-p4 (6)atctan(e2)-p4 (8)42 (9)815(1+22) 10.(1)0; 0 (2)p (3)0 11.(1)1 (2)2 (3)23 习题5-2 (B) 1.(1)ln2 (2)1k+1 (3)2p 2.f(x)在x=0处连续，可导，且f(0)=0 3.f(x)=3x2-ex-1，1e 4.p2，-12p (4)-1 (7)12(1-e-1) (10)e2+1-cos4+cos2 (4)0(kl),p(k=l) (4)13 12x35.f(x)=1x2-2x+1162当0x0时收敛于(beab)-1 (5)收
4、敛于2 (6)收敛于p14+2ln2 (2)收敛，1 (3)发散 (5)收敛，8 (6)收敛，p33 习题5-5(B) (2)发散 (3)发散 (4)0 (6)22p (7)2 (8)p2+ln(3+2) 2.l1时发散，l1时收敛于3.k1时发散，k1时收敛于4. p21(lnlna)1-l l-111k=1-，时取最小值 lnln2(k-1)(ln2)k-1习题5-6 1.(1)发散 (2)收敛 (3)收敛 (4)收敛 (5)收敛 (6)发散 (7)发散 (8)收敛 (9)发散 (10)绝对收敛 2.(1)G,a0 (2)G(p+1),p-1 aa11总复习题五 一.1.D 2.A 3.B
5、 4.B 5.C 6.D 7.D 8.C 二.1.-3f(cos3x)sin3x 2.xcost2dt-2x2cosx4 201p 5.sinx2 6. 7. 124-p441 8. 9.ln3 10.-1 11. 12.2 152p111三.1. 2.当-1x0时，1-(1-x)2 222 3.y=2x 4. 3. 4.ln(2+3)- 7.-231313 5.ln2 6.2(1-3e-2) 32333 8.2 9.0 10. 84112 11.f(0) 12.a=1,b=0,c= 13. 2n2p六.(定积分)练习题选解 1. 习题5-5(B) 4.设f(x)与g(x)在a,b上连续，证明
6、： (1) 若在a,b上f(x)0，且af(x)dx=0，则在a,b上f(x)0. (2) 若在a,b上f(x)0，且f(x)不恒为零，则af(x)dx0. bb(3) 若在a,b上f(x)g(x)，且f(x)g(x). baf(x)dx=g(x)dx，则在a,b上ab证：(1)用反证法.假设f(x)在a,b不恒为零，则至少存在一点x0a,b 使f(x0)=A0.不妨设x0(a,b)，由f(x)在x=x0处连续及极限的局部保号性，存在d0，使(x0-d,x0+d)(a,b)，且在(x0-d,x0+d)上f(x)bx0+dx0+dAAA，于是af(x)dxx-df(x)dxx-ddx=2d0.
7、00222这与题设af(x)dx=0矛盾. (2)由在a,b上f(x)0af(x)dx0. 而如果af(x)dx=0，则由(1)知在在a,b上f(x)0与条件矛盾，故只有af(x)dx0. (3)由(1)即得. 2.习题5-2(B). 3.设f(x)是连续函数，且满足f(x)=3x-e2xbbbb10f(x)dx，求f(x)与f(x)dx. 01解：设10f(x)dx=I，由题设f(x)=3x2-exI，两边在0,1上110010f(x)dx=3x2dx-Iexdx，即I=1-I(e-1)I=11. e即0f(x)dx=，而f(x)=3x2-ex-1. 3.习题5-2(B). 6.设f(x)在
8、a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(x)0，F(x)=1xf(t)dt.证明在(a,b)内F(x)0. x-aa1e证明：设x(a,b)，F(x)= =f(x)-f(x)x-a(x-a)f(x)-f(t)dt(x-a)a2x=(x-a)f(x)-f(x)(x-a)(x-a)2axx1. 证明：(1)In+In-2=111In (2) n-12n+22n-2pnpn-2p证明：(1)In+In-2=04tanxdx+04tanp0xdx=4tann-2x(tan2x+1)dx 0=4tann-2xdtanx=1. n-1(2) 由(1)知，In+In-2=p411，In+2+In= n-1n
9、+1 而在0,上，tann+2xtannxtann-2x 于是In+2InIn-2，In+2+In2InIn+In-2 即11112InIn，. n+1n-12(n+1)2(n-1)14. 习题5-5(B). 1.(7)-(x+x)edx=02xe-xdx =-20xde=-2xe-x+-x+0+-x+-e-xdx=2 02+15. 习题5-5(B) . 1.(8)02dxx-112=1dx1-x202+dxx-121 =arcsinx0+llnx+x-1=12p2+ln(2+3). 16. 习题5-5(B). 4.已知0解：0+2+sinxsinxpdx=.求dx. 20x2x+sin2xs
10、in2x12dx=-sinxd=-0xxx2+0+012sinxcosxdx x=0+sin2x+sintsin2xpdx=d2x=dt=. 00x2xt217. 总复习题五. 一(5). 题目(略) 解：F(x)=x2x0xf(t)dt-t2f(t)dt 022x0xF(x)=2xf(t)dt+xf(x)-xf(x)=2xf(t)dt 0现要求k使limx0limx02xf(t)dt0xxkx0=l0 2xf(t)dt0xxk=limx02f(t)dtxk-1，显然k-10 (否则极限为0) 2f(x)2f(x)-f(0) =lim(k-1)xk-2k-1x0xk-2用罗必达法则，上式=li
11、mx0当k-2=1时上式为2f(0)0，故k=3. k-118. 总复习题五. 一(7). 题目(略) 解：令tx=u，则I=tf(tx)dx=0f(u)du 故I的值依赖于s，不依赖于t. 19. 总复习题五. 三.(2) 设x-1.求-1(1-t)dt. xst0s11解：当-1x0时，原式=(1+t)dt=(1+t2)=(1+x)2 -122-1xx 当x0时，原式=-1(1+t)dt+0(1-t)dt=1-(1-x)2. 20. 总复习题五. 三.(7) 解：原式=3p+0x12+dx(x-1)43x-2x2secttantp3sec4ttantdt 2dx(x-1)4(x-1)2-1
12、令x-1=sect p=p2(1-sin2t)costdt=3233. -38xpsintdt，计算f(x)dx. 0p-t0pppsintpsinxpdt-xdx 解：0f(x)dx=xf(x)0-0xf(x)dx=p00p-tp-xpp-xp=sinxdx=sinxdx=2. 0p-x021. 总复习题五. 三.(8) 设f(x)=22. 总复习题五. 三.(12) 确定常数a,b,c使limx0ax-sinx=c. 3xln(1+t)btdt(ax-sinx)=0，必须lim解：首先因为limx0x0bxln(1+t3)dt=0b=0 t于是limx0ax-sinxa-cosxx(a-c
13、osx)a-cosx=lim=lim=lim=c 3332x0x0x0xln(1+t)ln(1+x)ln(1+x)xdtbtx12必须a=1，从而可得极限c=. 2pn+L+sinp). 23. 总复习题五. 三.(13) 求极限lim(n+x0n+111n+n+2np2psinsinsinp1p2p1nipnn解：+L+1(sinp+sin2p+L+sinp)=n1sinip n11n+1n+1nnn+1ni=1n+n+2nsinp1n1nip2而limsin=sinpxdx= 0nn+1nnpi=1原式=p2. 24. 总复习题五. 四.(4) 设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导
14、，且32f(x)dx=f(0).证明在(0,1)内存在一点c，使f(c)=0. 31证明：由积分中值定理，2f(x)dx=f(x),311132x1 3即f(x)=32f(x)dx=f(0)，再由罗尔定理$c(0,x)(0,1) 3使f(c)=0. g(x)在a,b连续且不变25. 总复习题五. 四.(5) 设f(x)在a,b上连续，号.证明至少存在一点xa,b，使下式成立af(x)g(x)dx=f(x)ag(x)dx (积分第一中值定理) 证明：不妨设g(x)0 (axb) (g(x)0时证明类似) 由f(x)在a,b上连续得 mf(x)M. 由g(x)0得 mg(x)f(x)g(x)Mg(
15、x)， mag(x)dxaf(x)g(x)dxMag(x)dx 而ag(x)dx0，(1)当abbbbbbbg(x)dx0时，mbaf(x)g(x)dxbag(x)dxM 由介值定理，$xa,b，使f(x)=即af(x)g(x)dx=f(x)ag(x)dx bbbaf(x)g(x)dxbag(x)dx(2)当ag(x)dx=0时，g(x)0.等式也成立. 26. 总复习题五. 四.(6) 设f(x),g(x)在a,b上都连续. 证明：(1)(af(x)g(x)dx)2af2(x)dxag2(x)dx (柯西-许瓦兹不等式) (2)(af(x)+g(x)dx)(af(x)dx)+(ag(x)dx
16、) (闵可夫斯基2222bb12b12bbbb不等式). 证明：(1)对实数t，f(x)+tg(x)20af(x)+tg(x)2dx0 即af2(x)dx+2taf(x)g(x)dx+t2ag2(x)dx0 于是判别式2af(x)g(x)dx-4af(x)dxag2(x)dx0 22bbbbbbb 即af(x)g(x)dxaf(x)dxag2(x)dx. 22bbb (2) (af(x)+g(x)2dx)2=af2(x)dx+2af(x)g(x)dx+ag2(x)dx af2(x)dx+2 =(b2bbbbbbaf2(x)dxg2(x)dx+g2(x)dx aababbbaf2(x)dx+b2
17、g2(x)dx)2 12b212 即(af(x)+g(x)dx)(af(x)dx)+(ag(x)dx). 2g(x)为偶函数，27. 总复习题五. 四.(7) 设f(x),g(x)在-a,a上都连续， 且f(x)满足条件f(x)+f(-x)=A (A为常数). (1) 证明-af(x)g(x)dx=A0g(x)dx (2) 利用(1)的结论计算积分2psinxarctanexdx. -2aap证明：(1)-af(x)g(x)dx=-af(x)g(x)dx+0f(x)g(x)dx a0a0-af(x)g(x)dx令x=-taa-f(-t)g(-t)dt=f(-x)g(x)dx a0a0a于是-af(x)g(x)dx=0f(-x)g(x)dx+0f(x)g(x)dx =0f(-x)+f(x)g(x)dx=A0g(x)dx. (2)取f(x)=arctanex，g(x)=sinx，a=连续，且g(x)为偶函数. 又由(arctanex+arctane-x)=0arctanex+arctane-x=A 令x=0得2arctan1=A，A= 于是 paap2，则f(x),g(x)在-, 上22ppp2p20，即f(x)+f(-x)=sinxdx=p2. p2p2-sinxarctanedx=xp22pp202sinxdx=.
