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1、信号与系统实验报告姓名：资灵薇 学号：20112323班级：通信3班实验一 连续时间信号的采样一、 实验目的进一步加深对采样定理和连续信号傅立叶变换的理解。二、 实验原理1. 采样定理如果采样频率大于有限带宽信号带宽的两倍，即 （1）则该信号可以由它的采样值重构。否则就会在中产生混叠。该有限带宽模拟信号的被称为Nyquist（奈奎斯特）频率。必须注意的是，在被采样以后，表示的最高模拟频率为Hz（或）。2. 用MATLAB语言实现模拟信号表示严格地说，除了用符号处理工具箱(Symbolics)外，不可能用MATLAB来分析模拟信号。然而如果用时间增量足够小的很密的网格对采样，就可得到一根平滑的曲
2、线和足够长的最大时间来显示所有的模态。这样就可以进行近似分析。令是栅网的间隔且，则 （2）可以用一个数组来仿真一个模拟信号。不要混淆采样周期和栅网间隔，因为后者是MATLAB中严格地用来表示模拟信号的。类似地，付利叶变换关系也可根据（2）近似为： （3）现在，如果（也就是）是有限长度的，则公式（3）与离散付利叶变换关系相似，因而可以用同样的方式以MATLAB来实现，以便分析采样现象。三、 实验内容 1.对于a.以样本/秒采样得到。求并画出。% 模拟信号Dt=0.00005;t=-0.0025:Dt:0.0025; %t在-0.0025到0.0025之间,以0.00005的间隔增加;xa=exp
3、(-1000*abs(2*t); %即为%离散时间信号Ts=0.0001;n=-25:1:25;x=exp(-1000*abs(2*n*Ts)%离散时间傅立叶变换K=500;k=0:1:K; %k从0，以间隔1增加到500w=pi*k/K;X=x*exp(-j*n*w); X=real(X); %取实部w=-fliplr(w),w(2:K+1);X=fliplr(X),X(2:K+1);%下面开始画图部分subplot(1,1,1);subplot(2,1,1); %将图像区分为21上下两个部分，这里在上面部分作 plot(t*1000,xa); %作图函数，plot(x,y) 以x 元素为横
4、坐标值xlabel(t millisecond); %横轴标注为t 毫秒ylabel(x1(n); %纵轴标注为x1(n)title(discrete signal);hold on %图像名为离散信号stem(n*Ts*1000,x); %离散图像作图，类似于plot函数gtext(Ts=0.2ms);hold off %gtext函数在图像区域标注Ts=0.2毫秒subplot(2,1,2); %在图像区下面部分（看最后的一个2）plot(w/pi,X); %同上xlabel(the frequency of the pi units);ylabel(X1(w);title(discret
5、e-time Fourier transform);hold on b.以样本/秒采样得到。求并画出。% 模拟信号Dt=0.00005;t=-0.0025:Dt:0.0025; %t在-0.0025到0.0025之间; xa=exp(-1000*abs(2*t);%离散时间信号Ts=0.0002;n=-25/2:1:25/2;x=exp(-1000*abs(2*n*Ts);%离散时间傅立叶变换K=500;k=0:1:K;w=pi*k/K;X=x*exp(-j*n*w);X=real(X);w=-fliplr(w),w(2:K+1);X=fliplr(X),X(2:K+1);subplot(1,
6、1,1)subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);xlabel(t millisecond);ylabel(x1(n);title(discrete signal);hold on stem(n*Ts*1000,x);gtext(Ts=0.2ms);hold offsubplot(2,1,2);plot(w/pi,X);xlabel(the frequency of the pi units);ylabel(X1(w);title(discrete-time Fourier transform);2.对于a.以样本/秒采样得到。求并画出。% 模拟信号Dt=0.00005;t
7、=-0.01:Dt:0.01; %t在-0.01到0.01之间; xa=exp(-1000*abs(0.5*t);%离散时间信号Ts=0.00025;n=-40:1:40;x=exp(-1000*abs(0.5*n*Ts);%离散时间傅立叶变换K=500;k=0:1:K;w=pi*k/K;X=x*exp(-j*n*w);X=real(X);w=-fliplr(w),w(2:K+1);X=fliplr(X),X(2:K+1);subplot(1,1,1)subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);xlabel(t millisecond);ylabel(x1(n);title(
8、discrete signal);hold on stem(n*Ts*1000,x);gtext(Ts=0.2ms);hold offsubplot(2,1,2);plot(w/pi,X);xlabel(the frequency of the pi units);ylabel(X1(w);title(discrete-time Fourier transform);b.以样本/秒采样得到。求并画出。% 模拟信号Dt=0.00005;t=-0.01:Dt:0.01; %t在-0.01到0.01之间;xa=exp(-1000*abs(0.5*t);%离散时间信号Ts=0.002;n=-5:1:5
9、;x=exp(-1000*abs(0.5*n*Ts);%离散时间傅立叶变换K=500;k=0:1:K;w=pi*k/K;X=x*exp(-j*n*w);X=real(X);w=-fliplr(w),w(2:K+1);X=fliplr(X),X(2:K+1);subplot(1,1,1)subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);xlabel(t millisecond);ylabel(x1(n);title(discrete signal);hold on stem(n*Ts*1000,x);gtext(Ts=0.2ms);hold offsubplot(2,1,2);plo
10、t(w/pi,X);xlabel(the frequency of the pi units);ylabel(X1(w);title(discrete-time Fourier transform);四、实验结果与分析1. 为在MATLAB语言环境中验证例1的结果，在 MATLAB中建立M文件，输入源代码，保存运行后得到如下图像：图1结果分析：从图中可以看出，所画出的的图与公式（3）相符。但是，严格地说，除了用符号处理工具箱(Symbolics)外，不可能用MATLAB来分析模拟信号，尽管栅网间隔很小，MATLAB仍只是近似表示，不过误差很小，可以忽略。2.对信号进行采样首先对信号进行傅里叶变
11、换，理论上，为了研究采样对频域各量的影响，这里用两个不同的采样频率对进行采样。a. 以样本/秒采样得到。求并画出。源程序：% 模拟信号Dt=0.00005;t=-0.0025:Dt:0.0025;xa=exp(-1000*abs(2*t);%离散时间信号Ts=0.0002;n=-12.5:0.5:12.5;x=exp(-1000*abs(2*n*Ts);%奈奎斯特频率8000Hz,以5000样本/秒采样 %离散时间傅立叶变换K=500;k=0:1:K;w=pi*k/K;X=x*exp(-j*n*w);X=real(X);w=-fliplr(w),w(2:K+1);X=fliplr(X),X(2
12、:K+1);subplot(1,1,1)subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);xlabel(t 毫秒);ylabel(x1(n);title(离散信号);hold on stem(n*Ts*1000,x);gtext(Ts=0.2毫秒);hold offsubplot(2,1,2);plot(w/pi,X);xlabel(以pi为单位的频率);ylabel(X1(w);title(离散时间傅立叶变换);运行结果截图如下：图2结果分析：信号经傅里叶变换后，Nyquist（奈奎斯特）频率为8000Hz, 图2是以5000样本/秒采样的结果，从图中结果与理论值进行比较，可看出
13、，频谱发生混叠，这意味着信号丢掉了原信号中的部分信息，产生了较大误差。b. 以0样本/秒采样得到。求并画出。源程序：% 模拟信号Dt=0.00005;t=-0.0025:Dt:0.0025;xa=exp(-1000*abs(2*t);%离散时间信号Ts=0.0001;n=-25:1:25;x=exp(-1000*abs(2*n*Ts); %奈奎斯特频率8000Hz,以10000样本/秒采样 %离散时间傅立叶变换K=500;k=0:1:K;w=pi*k/K;X=x*exp(-j*n*w);X=real(X);w=-fliplr(w),w(2:K+1);X=fliplr(X),X(2:K+1);s
14、ubplot(1,1,1)subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);xlabel(t 毫秒);ylabel(x1(n);title(离散信号);hold on stem(n*Ts*1000,x);gtext(Ts=0.1毫秒);hold offsubplot(2,1,2);plot(w/pi,X);xlabel(以pi为单位的频率);ylabel(X1(w);title(离散时间傅立叶变换);运行结果截图如下：图3结果分析：图3是以0样本/秒进行采样，大于Nyquist（奈奎斯特）频率8000Hz，因此，与理论值比较后可知，频谱未发生混叠，且误差很小可以忽略。3.对信号进行
15、采样首先对信号进行傅里叶变换，理论上，为了研究采样对频域各量的影响，这里用两个不同的采样频率对进行采样。a. 以样本/秒采样得到。求并画出。源程序：% 模拟信号Dt=0.00005;t=-0.01:Dt:0.01;xa=exp(-1000*abs(0.5*t);%离散时间信号Ts=0.001;n=-10:1:10;x=exp(-1000*abs(0.5*n*Ts);%奈奎斯特频率2000Hz,以1000样本/秒采样 %离散时间傅立叶变换K=500;k=0:1:K;w=pi*k/K;X=x*exp(-j*n*w);X=real(X);w=-fliplr(w),w(2:K+1);X=fliplr(
16、X),X(2:K+1);subplot(1,1,1)subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);xlabel(t 毫秒);ylabel(x1(n);title(离散信号);hold on stem(n*Ts*1000,x);gtext(Ts=1毫秒);hold offsubplot(2,1,2);plot(w/pi,X);xlabel(以pi为单位的频率);ylabel(X1(w);title(离散时间傅立叶变换);运行结果截图如下：图4结果分析：信号的Nyquist（奈奎斯特）频率为2000Hz, 图4是以1000样本/秒采样的结果，小于奈奎斯特频率，从图中结果与理论值进行
17、比较，可看出，频谱发生混叠，这意味着信号丢掉了原信号中的部分信息，产生了较大误差。b. 以样本/秒采样得到。求并画出。源程序：% 模拟信号Dt=0.00005;t=-0.01:Dt:0.01;xa=exp(-1000*abs(0.5*t);%离散时间信号Ts=0.0002;n=-50:1:50;x=exp(-1000*abs(0.5*n*Ts);%奈奎斯特频率2000Hz,以5000样本/秒采样 %离散时间傅立叶变换K=500;k=0:1:K;w=pi*k/K;X=x*exp(-j*n*w);X=real(X);w=-fliplr(w),w(2:K+1);X=fliplr(X),X(2:K+1
18、);subplot(1,1,1)subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);xlabel(t 毫秒);ylabel(x1(n);title(离散信号);hold on stem(n*Ts*1000,x);gtext(Ts=0.2毫秒);hold offsubplot(2,1,2);plot(w/pi,X);xlabel(以pi为单位的频率);ylabel(X1(w);title(离散时间傅立叶变换);运行结果截图如下：图5图5是以样本/秒进行采样，大于Nyquist（奈奎斯特）频率2000Hz，因此，与理论值比较后可知，频谱未发生混叠，且误差很小可以忽略。五、主要结论与思考题
19、通过本实验可知用MATLAB语言能够绘出连续信号的图形以及实现描绘连续信号的频谱，要注意是栅网的间隔且，是MATLAB中严格地用来表示模拟信号的；并得出时域抽样定理的内容，即：若带限实信号的最高角频率为，则抽样频率满足2。其中，=2是使抽样信号频谱不混叠时的最小抽样频率。思考题：1通过实验说明信号的时域与频域成反比的关系。从实验1得出图形可知：由于题中给出的和的时域分别为和，前者为后者时域的1/2，而的频域却是的频域的2倍。故信号的时域与频域成反比。2分别求出奈奎斯特采样间隔，并与例一的信号的奈奎斯特采样间隔比较。由采样定理可知，而即奈奎斯特采样频率。故代入可得，的奈奎斯特采样频率为8000样
20、本/秒；则奈奎斯特采样间隔为1/8000；是例一的信号的1/2；同理，的奈奎斯特采样频率为2000样本/秒；则奈奎斯特采样间隔为1/2000, 是例一的信号的2倍。实验二 由样本序列重构连续时间信号一、 实验目的进一步加深对采样定理和由样本序列重构连续时间信号的理解。了解如何使用sinc函数并且研究时域中的混叠问题，了解MATLAB提供的在相邻点间内插的几种方法。二、实验原理（1）利用内插由样本重构信号从采样定理和上述的例子可以清楚地看到，如果对有限带宽信号以高于奈魁斯特的频率进行采样，就能从其采样序列重构原模拟信号。重构可以考虑为两个步骤。先把样本集转换成为一个加权脉冲串列。然后再将此脉冲串
21、列通过一个带宽为的低通滤波器进行滤波。脉冲串产生低通滤波器这两个步骤可以用一个插值公式19作数学描述： （5）其中是一个内插函数。上述重构式的物理解释参见教科书上377页，从中可以看到，因为整个系统不是因果性的，理想的内插实际上不可能实现。（2）实际的D/A变换器 实际上需要一种不同于式（5）的方法。同样采用上述的两个步骤，但是把理想低通滤波器换成一个实际的模拟低通滤波器。式（5）的另一个解释是：它是一个无限阶滤波器，这里只能有限阶的（实际上是低阶的）内插实现。下面介绍几种具体实现方法。（3）零阶保持器（ZOH）内插：用这个内插器时，每个样本值将在整个采样周期中保持，直到收到下一个样本为止。这
22、可以用一个具有如下形式的内插滤波器对所得脉冲串进行滤波而得。它是一个矩形脉冲。所得信号是一个分段为常数的（阶梯形的）波形，它需要一个设计良好的后接模拟滤波器，以便得到准确的波形重构。ZOH后滤波器（4）一阶保持器（FOH）内插：在用这个方法时，相邻的两个样本间用直线连接。这可通过下列函数：对脉冲串进行滤波而得。同样需要一个周到设计的后接滤波器来获得准确的重构。这些内插也可推广到更高阶。（5）MATLAB实现MATLAB提供了在相邻点间内插的几种方法。函数可以用来在给定有限个样本时实现式（5）。如果给定，这里要在一个很密的间距为的栅格上内插，则由式（5）得， （6）根据式（6）就可以用矩阵-向量
23、的相乘运算来进行内插。程序如下：n=n1:n2;t=t1:t2;Fs=1/Ts;n*Ts;%Ts是采样间隔xa=x*sinc(Fs*(ones(length(n),1)*t-nTs*ones(1,length(t);三、实验内容a. 由样本/秒采样得到重构。用sinc函数进行内插：%离散时间信号x1(n)Ts=0.0002; %Ts=1/5000n=-25/2:1:25/2; %n从-25/2开始以间隔0.0002增加到25/2nTs=n*Ts; Fs=1/Ts; %5000样本/秒采样x=exp(-1000*abs(2*nTs); %即为%模拟信号重构Dt=0.00005;t=-0.005:
24、Dt:0.005;xa=x*sinc(Fs*(ones(length(n),1)*t - nTs * ones(1,length(t); %内插函数%校验，看其误差度error=max(abs(xa - exp(-1000*abs(2*t) subplot(1,1,1);stem(t,xa); xlabel(t 毫秒);ylabel(xa(t);title(用sinc函数由x1(n)重构的信号);error = 0.1264b. 由样本/秒采样得到重构。用sinc函数进行内插：%离散时间信号x1(n)Ts=0.001;n=-5/2:1:5/2;nTs=n*Ts;Fs=1/Ts;x=exp(-1
25、000*abs(2*nTs);%模拟信号重构Dt=0.00005;t=-0.005:Dt:0.005;xa=x*sinc(Fs*(ones(length(n),1)*t - nTs * ones(1,length(t);%校验error=max(abs(xa - exp(-1000*abs(2*t)subplot(1,1,1);stem(t,xa);xlabel(t 毫秒);ylabel(xa(t);title(用sinc函数由x1(n)重构的信号);结论：得到error =0.5510最大误差较大。c由样本/秒采样得到重构用sinc函数进行内插： %离散时间信号x1(n)Ts=0.0001;
26、n=-25:1:25;nTs=n*Ts;Fs=1/Ts;x=exp(-1000*abs(2*nTs);%模拟信号重构Dt=0.00005;t=-0.005:Dt:0.005;xa=x*sinc(Fs*(ones(length(n),1)*t - nTs * ones(1,length(t);%校验error=max(abs(xa - exp(-1000*abs(2*t)stem(t,xa);xlabel(t 毫秒);ylabel(xa(t);title(用sinc函数由x1(n)重构的信号);结论：error = 0.0363误差较小。d由样本/秒采样得到重构。一阶保持与零阶保持：%离散时间信
27、号x1(n):Ts=0.0002Ts=0.0002;n=-25/2:1:25/2;nTs=n*Ts;x=exp(-1000*abs(2*nTs);subplot(2,1,1);stairs(nTs*1000,x); xlabel(t 毫秒);ylabel(xa(t);title(利用零阶保持器重构信号);hold onstem(n*Ts*1000,x); hold offsubplot(2,1,2);plot(nTs*1000,x);xlabel(t 毫秒);ylabel(xa(t); title(利用一阶保持器重构信号);hold onstem(n*Ts*1000,x);hold 四、思考题1为什么说理想的内插是不能物理实现的？理想的内插滤波器是非因果的，无法实现。实际的滤波器（一阶保持）需要对理想滤波器进行因果近似，无法对采样信号的频率进行理想的过滤。而采样频率大于奈奎斯特频率时信号可以重建，当频率小于奈奎斯特频率时发生混叠现象。故采样频率应比奈奎斯特频率高，采样效果才会好。所以无法实现理想的内插。
