实变函数第二章 点集.docx

《实变函数第二章 点集.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实变函数第二章 点集.docx（27页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、实变函数第二章 点 集第二章 点 集 1. 度量空间， n维欧氏空间 def.设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x,y都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，满足： 1 d(x,y)0.d(x,y)=0x=y 2 对任意的zX,d(x,y)d(x,z)+d(y,z) 则称d(x,y)是x,y之间的距离，称(X,d)为度量空间，X中的元素称为点. 注：(1)由1，2可以推出距离具有对称性：d(x,y)=d(y,x),x,yX (2)子空间：若(X,d)为度量空间，YX,Y.则(Y,d)也是一个度量 空间，称为(X,d)的子空间. (3)度量空间的例子及其性质见第七章. n维欧氏空间定义为Rn

2、=x:x=(x1,x2,xn),xiR1,i=1,2,n，Rn中两点x=(x1,x2,xn),y=(y1,y2,yn)的距离定义为 n122d(x,y)=(xi-yi) i=1易证，对任何x,y,zRn,d(,)满足： d(x,y)0,d(x,y)=0x=y d(x,y)=d(y,x) d(x,y)d(x,z)+d(z,y) 注1.从三点不等式可以推出，d(x,y)是(x,y)的二元连续函数，即当d(xn,x)0,d(yn,y)0时，d(xn,yn)d(x,y) 注2.对任何x=(x1,x2,xn)Rn,x的模定义为 - 1 - 122x=d(X,q)=xi， i=1n q=(0,0,L,0)

3、是Rn的原点. 注3.在Rn中也可以定义其它的距离，例如： d1(x,y)=maxxi-yi,d2(x,y)=xi-yi， ii=1n其中x=(x1,x2,xn),y=(y1,y2,yn) n122 但以后所说的Rn中的距离一般是指d(x,y)=(xi-yi). i=1n def1.设PR,d0,记U(P00,d)=P:d(P,P0)N 时，有PnU(P0). def3.两个非空的点集A,B的距离定义为 d(A，B)=infd(P，Q). PAQB def4.一个非空的点集E的直径定义为 - 2 - d(E)=supd(P，Q). PEQE def5.设ERn,如果d(E)+,称E是有界集.

4、注1.Rn中点集E是有界集等价于：存在U(P0,d),使EU(P0,d). 注2.Rn中点集E是有界集等价于：存在常数K,对所有x=(x1,x2,L,xn)E 都有|xi|K(i=1,2,L,n). 注3.Rn中点集E是有界集等价于：存在常数K,对所有xE,有 d(x,0)K,0=(0,0,L,0). def6.Rn中的开区间定义为点集(x1,x2,区间定义为点集(x1,x2,xn):aixi0,U(P0,d)E,U(P0,d)E，则称P0为E的界点. 注：E的界点不一定属于E. n def2. 设ERn,P0R.若对任何d0,(U(P0,d)-P0)E，则称P0 - 3 - 为E的聚点. 注

5、1：E的聚点不一定属于E. 注2：有限点集没有聚点. 注3：E的内点一定是E的聚点. E的聚点不一定是E的内点.E的聚点有 可能是E的界点. Th1.T.F.A.E. (1)P0为E的聚点. (2)对任何d0,U(P0,d)内含有E中无穷多个点. limd(Pn,P0)=0. (3)存在各项互异的点列PnE,PnP0(n).即：nn def3. ERn,P0R.若P0E,且$d0,使(U(P0,d)-P0)E=,则称P0为E的孤立点. 这时P0E,但是P0不是E的聚点. 若集合E的每一点都是孤立点，则称E是孤立点集. 注1：E是孤立点集EE=.E表示E的聚点全体. 注2：E的界点不是聚点就是孤

6、立点 注3：若一个点集E没有聚点，即E=，则称它是离散集.离散集是孤立 点集，反之不一定.如例1. 注4：空集没有聚点，也没有孤立点. def4.设ERn，有 (1)E的内点全体称为E的开核，记为E； (2)E的界点全体称为E的边界，记为E； (3)E的聚点全体称为E的导集，记为E； (4)EUE称为E的闭包，记为E。 eg2.正整数集N,每个n都是N的孤立点，N是孤立点集.且 N=N=,N=N=N. eg3.设Q为(0,1)中的有理数集，则Q=,Q=0,1=Q,Q=0,1. eg4.设I=(a,b)R,则I=I,I=I=a,b,I=a,b. 100 eg5.设E=(x,0):ax0,U(P0

7、,d)E (3)存在E中的点列PnE,limPn=P0 n 闭包与开核的对偶关系：CE=CE,CE=(CE). 证明：前一个式子. xCExEx不是E的内点对x的任何邻域U(x),U(x)中 含有不属于E的点xE,或xE但U0(x)中含有不属于E的点 xCE,或xCEx(CE)(CE)xCE.CE=CE Th2.设AB,则AB,AB,AB. Th3.(AB)=AB. 证明AAB,BAB.A(AB),B(AB),AB(AB). 另一方面，设P(AB),要证PAB.0000000由P(AB),根据定理1，存在一列互异的点d(Pn,P)=0.若PA,则PAB;若PA,则Pn中至多有有限多PnAB,l

8、imn个属于A,其余无穷多个都是属于B的. 根据定理1，PBAB.(AB)AB.所以，(AB)=AB. eg.(1)Rn中的孤立点集是至多可数集合. (2)设A是Rn中的非空集合，则A-Aa. (3)设A是Rn中的非空集合，若Aa,则Aa. Th4. 设ERn，E是一个有界的无穷集合，则E. Th5. 设ERn,E,ERn.则E. Th6. Rn中的有界点列必有收敛子列. - 5 - 3.开集，闭集，完备集 定义1. 若ER,EE即E的每一点都是E的内点，称E是开集. 注1. QEE,E是开集E=E. 注2. ,Rn是开集. 例1. 在R1中，开区间(a,b)是开集. 例2. (0,1不是开集

9、. 例3. 在R2中，(x,y):x2+y2a是开集. 证明：设x0E,即f(x0)a.Qf(x)在x0R1连续，有limf(x)=f(x0)a,$d0, xx0oono|x-x0|a.即存在U(x0,d)=(x0-d,x0+d),当xU(x0,d),有xE.即$U(x0,d)E,x0是E的内点.由x0E的任意性知,E是开集. 注:例4中的R1可以换成开区间(a,b). 定义2. 设ERn,若EE.即E的每一个聚点都属于E,称E是闭集. 注1:E是闭集E=E. 注2:E是闭集E包含了其所有的聚点. 注3:E是闭集若P0是E中收敛点列Pn的极限，则P0必属于E. 注4:,Rn是闭集. 有限集合是

10、闭集. 例5.在R1中，a,b是闭集.(a,b不是闭集,有理数集合不是闭集,无理数集合不是闭集. 例6.在R2中，(x,y):x2+y21是闭集，(x,0):axb是闭集. 注5:E是闭集EE. - 6 - 定理1. 对任何ER,E是开集，E和E是闭集. 证明：证E是开集，要证EE.设E非空.PE，存在邻域U(P)E.下证U(P)E.对任意的QU(P)，存在U(Q)使U(Q)U(P)E.Q是E的内点 QE U(P)E.PE.E是开集. onoooooooooooo 再证E是闭集. 要证(E)E.设(E)非空.P0(E).P0是E的聚点，在P0的任一个邻域U(P0)内，至少含有一个属于E而异于P

11、0的点P1.因为1U(P0),所以又有属于E的P2U(P0)且P2P0.所以在P0的任一个邻域 P1E,PU(P0)内，至少含有一个属于E而异于P0的点P2.即P0E.所以E是闭集. 最后证E是闭集.QE=EUE,(E)=EU(E)EUE=EE.E是闭集. 定理2 (1)设E是开集，则Ec是闭集；(2)设E是闭集，则Ec是开集. (1)要证(Ec)Ec.设E是开集，证明：P0(Ec).在P0的任一邻域都有属于Ec的点，即在P0的任一邻域都有不属于E的点，所以P0不是E的内点.P0E=E. oP0Ec,(Ec)Ec. (2)要证EE.设E是闭集,P0E,如果P0Ec.则在P0的任一邻域内ccoc

12、o至少有一个不属于Ec的点，即在P0的任一邻域内至少有一个属于E的点，而且这个点又异于P0(因为P0E).P0EE,矛盾. 所以EEc. cco 注1: 开集与闭集有对偶关系. 注2: 开集减闭集，差是开集；闭集减开集, 差是闭集. 定理3 (1)任意多个开集的并是开集；(2)有限多个开集的交是开集. 证明: (1)设Gi:iI是一个开集族，G=UGi.设G,PG.则存在某一个iIi0I使PGi0.QGi0是开集，$d00,使U(P,d0)Gi0G.所以G的每一点都是G的内点，所以G是开集. 注: 任意多个开集的交不一定是开集. - 7 - 11例.In=-,n=1,2,L是直线上一列开集，但

13、是IIn=0是闭集. nnn=1定理4 (1)任意多个闭集的交是闭集；(2)有限多个闭集的并是闭集. 证明：(1)设F=IFi,Fi是闭集.QFFi,FFiFIFi.QFiFi. iiF=FFIFi=F.所以F是闭集. IIiiiii (2)设F=F1UF2ULUFn,Fi(i=1,2,L,n)都是闭集.F=(F1UF2ULUFn) =F1UF2ULUFnF1UF2ULUFn=F，所以F是闭集. 注: 任意多个闭集的并不一定是闭集. 1例. Fn=0,1-,n=2,3,L是直线上一列闭集，但是UFn=0,1)不是闭集. nn=2下面考虑点集间的距离. 两个非空的点集A,B的距离是d(A,B)=

14、infd(P,Q):PA,QB如果A=P,则d(P,B)=d(P,B)=infd(P,Q):QB. 注:两个非空的点集A,B的距离是非负的.AIBd(A,B)=0.反之不一定对. 例. 设A=(-1,0),B=(0,1)则AIB=,d(A,B)=0. 结论1 设A,B是两个非空的闭集，且其中至少有一个有界.则必有 P*A,Q*B,使d(P*,Q*)=d(A,B). 证明见，江泽坚，实函，P.46-47 结论2 设FRn,F是闭集，xRn.则有yF,使d(x,y)=d(x,F).于是当xF时, d(x,F)0. 证明：若xF,则取y=x即可,此时d(x,y)=d(x,F). 若xF,则由定义存在

15、ykF,使d(x,yk)d(x,F)(k).此时d(x,yk)k1是有界数列，ykk1是有界点列，所以存在子列ykp收敛于某个yRn(p). - 8 - 但是F是闭集，故yF,再由dx,ykpd(x,y)知d(x,y)=d(x,F). 结论3 设A,B是两个非空的闭集，且其中至少有一个有界.若 d(A,B)=0,则 AIB. ()证明：由结论1，dP*,Q*=0P*=Q*A,BAIB. 结论4 设E是Rn中一个点集，d0,U=P:d(P,E)d.则U是一个开集，且UE. 证明略.、 ()P.40例 设F1,F2R1.F1,F2是闭集,F1IF2=.则存在开集G1,G2:G1G2=,G1F1,G

16、2F2. 证明：令G1=x:d(x,F1)-d(x,F2)0.则G1,G2即为所求的两个开集.事实上，由G1,G2的作法知G1IG2=由d(x,F1),d(x,F2)为连续函数知d(x,F1)-d(x,F2)为连续函数.且G1,G2是开集. 再证G1F1,G2F2:若xF1,则d(x,F1)-d(x,F2)=-d(x,F2)0(见结论2)xG2. 注1: 在Rn中，设F1,F2是两个非空有界闭集，F1IF2=,则有开集G1,G2，使 G1F1,G2F2,G1IG2=. 证明见，江泽坚，实函，P.47-48. 注2: 两个闭集F1,F2不相交，推不出d(F1,F2)0. 111例. 在R1中,A

17、=1,2,L,n,L,B=1+,2+2,L,n+n,L.则A=,B=. 222A,B是闭集，AIB=,d(A,B)=0. 注3: 上述结论1中的A,B不能都是无界集，否则结论1不对. UiiL，定理5.设FRn,F是有界闭集，它覆盖了F.即FUUiW是一族开集iL则W中一定存在有限个开集U1,U2,L,Um它们同样覆盖了F.即FUUi. i=1m - 9 - 定义3. 设M是度量空间X中的一个集合，W是X中任意一族覆盖了M的开集.如果必定可以从W中选出有限个开集覆盖M，则称M是X中的紧集.简称M是紧集. 注1.R中的有界闭集是紧集.这由定理5得出. 注2.反之，有 定理6 设MRn,M是紧集,

18、则M是有界闭集. 证明：要证：MM或证:QM或证:QMcQM.设点QMc,对任何nU(P,dp):PM覆盖 PM,QPQ,$dp0,使U(P,dp)IU(Q,dp)=.开集族了M,由于M是紧集,因此存在有限个邻域UPi,dpi,i=1,2,L,m,使MUUPi,dpi.i=1()m()所以M是有界集合.令d=mindp1,dp2,L,dpm,则d0且U(Q,d)IUPi,dpi=, i=1,2,L,mU(Q,d)IM=QMMMM是闭集. ()注3: 在Rn中，M是紧集M有界闭集. 注4: 在一般的度量空间中，紧集是有界闭集.反之不一定. 例. 设AR1为非空集合,GaaL为A的一个开覆盖，则从

19、GaaL中可以选出至多可数个开集覆盖A.，使xI=(a,b)G.令 ax=infa:x(a,b)G,bx=supb:x(a,b)G (这里ax可以是-，bx可以是+).则xIx=(ax,bx)下证Ix是G的一个构成区间.先证明： IxG. 任取zIx由ax,bx的定义，必存在(a,b),x(a,b)G 且axazb0,使(ax-d,ax+d)G,于是，(ax-d,bx)=(ax-d,ax+d)U(ax,bx)G，但ax-d0,U(x,d)中总含有不属于P的点.事实上,对任何d0,取正整数n满足1n2d，按的作法，在进行第次删去过程后,余下了个长度为nPn31n2的闭区间,故必落入这个闭区间当中

20、的一个,不妨记为D,xD.DU(x,d). xn31QyD,d(x,y)nd.因为接下去还要对D继续三等分并删去中间的开区3间，因此，在D中总含有不属于P的点.故在U(x,d)内更含有不属于P的点.P不包含任何开区间，当然也谈不上填满直线上的任何一小段. 一般地，如果集合E的闭包E不含任何内点，即E=,则称E为疏朗集.P是一个 疏朗完备集(因为P是闭集，P=P,P=).P中的点是由删去的开区间的“端点集”的聚点所构成的.P中的点远非仅仅由“端点集”P1- 13 - o()o组成，而且“非端点”比“端点”要多的多. P的基数是c. P的测度是零,mP=0,见下一章. 注1: 设ERn，若空间任一

21、邻域内至少包含某点的一个邻域，其中不含E的点，则称E是疏朗集合.该定义与前面的定义等价.一般地，有 设ER1，则以下几个陈述等价： (1).E是疏朗集; (2).E没有内点，即E=; (3).E不含任何开区间; (4).在任何开区间(a,b)中存在子区间(a,b)(a,b),在(a,b)中没有E的点. 例. 设AR1,A是孤立点集.则A是疏朗集. 证明: 对于任何的开区间(a,b)，如果(a,b)不含有A的点就不需要讨论. 如果()o(a,b)含有A的点x0,ax00,使得(x0,x0+d)(a,b)而 (x0,x0+d)中不含有A的点.所以A是疏朗集. 但是，疏朗集不一定是孤立点集. 康托尔

22、集就是如此. 注: 当n2时,Rn中的开集一般不能表示成至多可数个互不相交的开区间(n维)的并.P.50-51 注: 当n2时,Rn中的非空开集G都可以表示成可数多个互不相交的左开右闭的区间的并.即 G=UJi,Ji=(x1,x2,L,xn):cijxja是开集,F=x:xR1,f(x)a是闭集. 证明：E是开集已证过. 下证F是闭集. 法1.易证E1=x:xR1,f(x)a,x0F.F是闭集. noo 直线上存在不开不闭的集，如区间(a,b,c,d). 例3. 直线上既开又闭的集合，只有两个：空集，全直线. 证明：设AR1,A,A是既开又闭的集合,则A=R1.事实上,假设A不是全直线,由于A

23、是开集,记A的构成区间是an,bn,则A=U(an,bn),QAR1,所以这些n构成区间的端点an,bn中至少有一个是有限的，不妨设为a1,a1A.Q(a1,b1)A, a1A.QA是闭集,AA,a1A.矛盾. 例4.设FRn,F是紧集,f是定义在F上的连续函数.则f在F上有界并能达到最大值和最小值.f在F上一致连续. 即e0,$d0,当P,QF且d(P,Q)d时,有 f(P)-f(Q)e. 证明：类似于数学分析. - 15 - 例5. 设Fkk1是R中一列单减的非空有界闭集，则IFk. nk=1证明：任取xkFk(k=1,2,L),则xkk1是有界点列.故有子列xmp收敛于xRn (p).对任何k1,由定理条件，当p充分大时都有xm从而xFk(k=1,2,L),IFk. k=1pFk,并且Fk是闭集， 注: 例5中“有界”这个条件不能少.例如k,+)k1是R1中一列单减的非空闭集，但是它们的交集是空集. - 16 -