电磁场矢量分析课件.ppt

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1、1.1 矢量及其代数运算 1.2 圆柱坐标与球坐标 1.3 矢量场*1.4 标量场*1.5亥姆霍兹定理,1.1 矢量及其代数运算,1.1.1.标量（Scalar）与矢量(Vector)1.标量：实数域内任一代数量，只表示该代数量大小。矢量：既表示大小（模），又表示方向。物理学中，赋予单位，具有物理意义，称为物理量。例如：标量有电压、电流、温度、时间、质量、电荷等；矢量有电场、磁场、力、速度、力矩等。2.矢量的表示：矢量 可以表示为 其中，A是矢量 的大小;代表矢量 的单位矢量。,零矢(Zero Vector)：大小为零的矢量，又称空矢(Null Vector)。单位矢量（Unit Vector

2、)：大小为1的矢量。3.位置矢量：从原点指向点P的矢量，用 表示。即空间中点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线上的投 影唯一地被确定。4.直角坐标系中，矢量 可以表示为,1.1.2 矢量的代数运算 设两个矢量为，则,1.标量积(Scalar Product)：,标量,标量积服从交换律和分配律，即,（右手螺旋）,2.矢量积(Vector Product)：又称矢量的叉积(Cross Product)。,矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律，即,3.矢量和：,4.矢量差：,5.直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：,1.3 矢量场,本节要点：考察矢量场在空间的分布及变化规律。矢量线 通量和

3、散度 环量与旋度,1.3.1 矢量场的矢量线(Vector Line),例如：静电场的电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线。,图 1-10 力线图,所谓矢量线就是这样一些曲线：在曲线的每一点处，场的矢量都位于该点处的切线上。,矢量线方程：,定义式,直角坐标系中，,结论：矢量线可以使我们直观、形象地了解矢量场在空间的分布状况。,例1-1 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。解：矢量线应满足的微分方程为,从而有,解之即得矢量方程,c1和c2是积分常数。,例1-2 设点电荷q位于坐标原点，它在空间任一点P（x,y,z)处所产生的电场强度矢量为求 的矢量线方程画出矢量线图。解：

4、,由式（135）得矢量线方程为,c1和c2是积分常数。,此方程解为,由图可见，电力线是一簇从点电荷出发向空间发散的径向辐射线，它形象地描述点电荷的电场在空间的分布状况。,1.3.2 矢量场的通量及散度,1.矢量场的通量(Flux),面元矢量：,单位矢量 是面元外法线方向。,标量积称为矢量 穿过 的通量。,矢量场 穿过整个曲面 的通量为：,如果 是一个闭合曲面，则其通量为：,通量的物理意义：（假设矢量场 为流体的速度）通量表示在单位时间内流体从闭合曲面内流出曲面 的正流量与流入闭合曲面 内部的负流量代数和，即净流量。,结论：矢量场在闭合面上的通量是由面内的源决定的，它是一个积分量。它描绘闭合面内

5、较大范围内的源的分布情况。描述场中每一个点上源的性质，必须引入新的矢量，故引入矢量场的散度的概念。,称此极限为矢量场 在点P处的散度。,设有矢量场，在场中任一点P处作一个包含P点在内的任一闭合曲面，设 所限定的体积为V，当体积V以任意方式缩向P点（）时，取下列极限:,2.矢量场的散度（divergence）,1)散度定义,记作,定义式,2)哈密尔顿（Hamilton)算子 哈密顿算子是一个矢性微分算子，在直角坐标系中有：,故在直角坐标系中，散度的表达式可写为,计算式,即,在圆柱坐标系和球坐标系中，散度的表达式分别为,结论：散度表示场中一点处的通量对体积的变化率。也就是说在该点处对一个单位体积来

6、说所穿出的通量，称为该点处源的强度。散度是一个标量，它描述的是场分量沿各自方向上的变化规律。故散度用于研究矢量场标量源在空间的分布状况。在P点处，表明 在该点有散发通量之正源，称为源点；，表明 在该点有吸收通量之负源，称为汇点；，表明 在该点无通量源，称为连续或无散的。,3)高斯散度定理（Divergence Theorem）,即矢量场 散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总通量,【例1-3】在矢量场 中，有一个边长为1的立方体，它的一个顶点在坐标原点上，如图示。试求：(1)矢量场 的散度；(2)从六面体内穿出的通量，并验证高斯散度定理。解：(1)根据散度计算公式得，(2)从单位立

7、方体穿出的通量：,故从单位立方体内穿出的通量为2，且高斯散度定理成立，即,1.3.3 矢量场的环量和旋度,1.环量定义(Circulation)设有矢量场，为场中的一条封闭的有向曲线，则定义矢量场 环绕闭合路径 的线积分为该矢量的环量，记作,图 1-14矢量场的环量,环量是矢量 在大范围闭合曲线上的线积分，反映了闭合曲线内旋涡场的分布情况。要分析每个点附近旋涡源的分布情况，引入旋度。,矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，都是描绘矢量场 性质的重要物理量，同样都是积分量。,矢量的环量也是一标量，如果，则表示闭合曲线 内有产生这种场的旋涡源；如果，则表示该封闭曲线内无涡旋源。,1)环量密度,2.

8、矢量场的旋度(curl),图1-15 闭合曲线方向与 面元方向示意图,此极限值就是环量的面密度（即环量对面积的变化率）。,环量面密度与 所围成的面元 的方向有关：如果 围成的面元矢量与旋涡面的方向重合，则环量面密度最大；如果所取面元矢量与旋涡面的方向之间有一夹角，则环量面密度总小于最大值；如果面元矢量与旋涡面的方向相垂直，则环量面密度为零。即在给定点上，不同路径，环量面密度不同。故引入旋度来限制给定点上的环量面密度。,2）旋度的定义,矢量场 的旋度描述了矢量 在该点的旋涡源强度，若在某区域中各点 则称矢量场无无旋场或者保守场。,旋度的一个重要性质是任意矢量的旋度的散度恒等于零。即,旋度是一个矢

9、量，模值等于矢量 在给定点处的最大环量面密度；方向就是当面元的取向使环量面密度最大时，该面元的方向,它描述的是场分量沿着与它相垂直方向上的变化规律。,直角坐标系中，旋度的表达式为,注：矢量 在圆柱坐标系和球坐标系中的旋度表达式见附录1（P237）。,3)斯托克斯定理（Stokes Theorem）,斯托克斯定理完成矢量旋度的面积分与该矢量的线积分之间的互换。式中 的方向与 的方向成右手螺旋关系（证明略）。,矢量场在闭合曲线 上的环量等于闭合曲线 所包围曲面 上旋度的总和。,【例1-4】已知一矢量场 试求：(1)该矢量场的旋度；(2)该矢量场沿半径为3的四分之一圆盘边界的线积分，如图示，验证斯托

10、克斯定理。解：(1),(2)矢量沿四分之一圆盘边界的线积分：,由极坐标与直角坐标的关系得：,可见，斯托克斯定理 成立。,例1-5 在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电位移矢量为,求：1)穿过原点为球心、R为半径的球面的电通量(见下图)。2)电位移矢量 的散度。,解：1),由于球面的法线方向与 的方向一致，所以,1.4 标量场,本节要点：考察标量场在空间的分布及变化规律。等值面 方向导数 梯度,1.4.1 标量场的等值面 指在标量场u(x,y,z)中，使其函数取相同数值的所有点组成的曲面，称等值面。等值面方程表示为 c为任意常数,等值线（面）,标量场的等值面可以直观地帮助我们了解标

11、量场在空间的分布情况。,1.4.2 方向导数(Directional Derivative),1.方向导数的定义 设P0是标量场=(M)中的一个已知点，从M0出发沿某一方向引一条射线l,在l上P0的邻近取一点P，如图1-19所示。,图 1-19 u沿不同方向的变化率,如果当P趋于P0时，的极限存在，则称此极限为函数u(P)在点P0处沿l方向的方向导数，记为,方向导数是函数 在点P0处沿l方向对距离的变化率。当 时表示在点p0处沿l方向是增加的，反之就减小。,2.方向导数的 计算公式 在直角坐标系中，若函数u=u(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)处可微，则有,式中，cos、cos、cos

12、为l方向的方向余弦。,1.4.3 标量场的梯度（Gradient）变化率最大的方向,1.梯度的定义,矢量 的方向为函数u在点P处变化率为最大的方向其大小就是这个最大变化率的值。,在直角坐标系中，梯度用哈密顿微分算子又可以表示为,注：拉普拉斯算子，即 直角系、圆柱坐标系、球坐标系中的梯度和拉普拉斯表达式见附录1（P237）。,2.梯度的性质(1)方向导数等于梯度在该方向上的投影，即,(2)标量场u中每一点P处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数u(P)增大的方向，也就是说，梯度就是该等值面的法向矢量。(3),梯度的旋度为零。,表明：如果一个矢量场 满足，即 是一个无旋场，则矢量场 可以用一个

13、标量函数u的梯度来表示，即,该标量函数称为势函数，对应的矢量场称有势场。,例如，静电场中的电场强度就可以用一个标量函数的梯度来表示。,3.梯度的积分,标量场的梯度是一个无旋场，有斯托克斯定理知，无旋场沿闭合路径的积分必然为零。,积分与路径无关，仅与始点P1和终点P2的位置有关。,如果一直一个无旋场，选定一个参考点(P1)，可求出标量场u。,总之，一个标量场，其梯度矢量一定为无旋场，无旋场沿闭合路径的积分一定为零，故称无旋场为保守场。,例1 求数量场=(x+y)2-z通过点M(1,0,1)的等值面方程。解：点M的坐标是x0=1,y0=0,z0=1，则该点的数量场值为=(x0+y0)2-z0=0。

14、其等值面方程为,或,例2 求数量场 在点M(1,1,2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。解：l方向的方向余弦为,而,数量场在l方向的方向导数为,在点M处沿l方向的方向导数,证：,因为,例3 设标量函数r是动点M(x,y,z)的矢量 的 模，证明：,所以,例4 已知位于原点处的点电荷q在点M(x,y,z)处产生的电位为，其中矢径 为，且已知电场强度与电位的关系是，求电场强度。,解：,根据 的运算法则，,由例3知，所以得,1.5 亥姆霍兹定理,1)一个矢量场的性质，完全可以由它的散度和旋度来表明；一个标量场的性质则完全可由它的梯度来表明。2)旋度为零的矢量场称为无旋场；散度为零的矢量场

15、称为无散场。3)从整体上说，无旋场的散度不能处处为零；无散场的旋度不能 处处为零，否则矢量场不存在。原因：任何矢量场都必须有源存在，矢量场的散度对应发散源(Divergence Source)；矢量场的旋度对应旋涡源(Rotational Source)。,例如：任何一个矢量场 都可以分解为一个无旋场分量 和无散场分量 之和，即,可见，矢量场的散度代表着形成矢量场的一种源标量源；矢量场的旋度代表着形成矢量场的另一种源矢量源。结论：当一个矢量场的两类源 在空间的分布确定，该矢 量场就唯一地确定了。亥姆霍兹定理。,研究任意一个矢量场时，都应从它的散度和旋度两个方面去进行。旋度方程和散度方程构成了矢量场的基本方程。,微分方程,积分方程,(连续区域),(不连续区域),作业：1.3 1.4 1.10 1.6 1.9 1.12 1.13,