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1、2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),1,热力学(thermodynamics),二、本章的基本要求,1.了解金属导体电结构的基本特点，理解静电感应现象，了 解静电平衡建立的过程；2.掌握导体的静电性质，能从静电平衡条件出发，根据静电场的基本规律分析论证导体在静电平衡时的电位分布、电荷分布、场强分布等特点；3.理解并初步掌握用电力线的性质讨论导体静电平衡问题的基本方法；4.掌握空腔导体静电平衡时腔内表面电荷分布的特点及其论证方法，理解静电屏蔽的原理，了解静电屏蔽的应用；,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),2,三、本章思考题及作业题,1.思
2、考题：76页78页；2.练习题：2.1.1；2.1.3；2.2.3；2.3.2；2.3.8.,5.掌握电容的概念及电容器的串、并联公式，会求几种典型电容器（平行板、球形、圆柱形）的电容；6.掌握点电荷组电容器的能量表示式。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),3,1.静电场中的导体(conductor in electrostatic field),一、静电平衡（electrostatic equilibrium）,静电平衡状态：带电体系中的电荷静止不动，电场的分 布不随时间而改变的状态。必要条件：就是其体内的场强处处为零。反证法说明：如果导体内的电场不是处处为零，
3、则在E 不为零的地方自由电荷就要受到电场力的 作用发生移动，这样就不是静电平衡。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),4,注意“场强”是所有电荷共同激发的总场强，是一个合贡献。“内部处处场强为零”中的“处处”，也即“点点”，这个点指的是导体内宏观的点，即物理无限小体元。过程：,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),5,静电平衡时,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),6,从导体静电平衡条件出发，可导出如下性质：1、导体是个等位体，导体表面是个等位面。证明：在导体内任取两点A、B,由此可见导体是个等位体，导体表面是个
4、等位面。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),7,2、导体内部没有净电荷，电荷只能分布在导体表 面。证明：设有一带电导体，在导体内任取一点P，围绕P 点作一很小的闭合曲面，运用Gauss 定理，,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),8,3、在导体外，紧靠导体表面的点的场强方向与导体表面垂直，场强大小与导体表面对应点的电荷面密度成正比。证明：1 导体表面附近点电力线处处与等位面正交（？）导体外的场强必与它的表面垂直；2 场强大小与面电荷密度成正比，可由Gauss定 理求得：,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),9
5、,导体表面,在导体外紧靠表面任取一点P，在P点附近的导体表面上取一面元S，这面元取得充分小使得其上的电荷面密度可认为是均匀的，以 为轴，S为底作一Gauss面，使园柱侧面与S垂直，园柱的上底通过 P，下底在导体内部，两底都与S平行，并无限靠近。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),10,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),11,二、带电导体所受的静电力,设S是导体表面包含P点的小面元，是P点的电荷面密度，求S所受的静电力。,设 在导体表面两侧产生的场强为 和，其余电荷产生的场强为。,2023/3/13,电磁学(Electromagneti
6、sm),12,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),13,三、孤立导体形状对电荷分布的影响,1、在一个孤立导体上面电荷密度的大小与表面曲率有关，对于形状比较简单的孤立导体，在表面向外突的地方（曲率为正）电荷较密；表面较平坦的地方，电荷较疏；表面向内凹的地方（曲率为负）电荷更疏。如图：,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),14,3、尖端放电：孤立带电导体表面凸出的地方 大，附近的场强大，当达到一定程度时产生尖端放电现象。在尖端附近的强大电场作用下，空气中的离子（由于大气电现象，宇宙射线和辐射源的辐照等原因引起的）会发生激烈的运动，在激烈运动过
7、程中，离子和空气分子相碰撞，使空气分子电离，从而产生大量的新离子，使空气变得易于导电。与尖端上电荷异号的离子受到吸引，,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),15,最后与尖端上的电荷中和；与尖端上电荷同号的离子受到排斥而飞离导体，形成“电风”。在我们生活实际中，上述现象应用比较广泛避雷针利用了导体尖端放电效应；而高压线表面则应该光滑，半径也不宜过小，高压设备中的电极都是球面状的，都是为了避免尖端放电带来有害的后果。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),16,2、对于形状比较复杂的孤立导体，上述“曲率大的地方电荷面密度大，曲率小的地方电荷面密
8、度小”的结论就不一定正确，如图所示。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),17,源电荷 电场 电荷,四、导体静电平衡时的讨论方法,电场,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),18,困难在于一般情况下难以确定导体上的电荷分布及导体外电场的分布。解决这类问题原则上是可能的，在电动力学中把它归结为：已知导体的形状相对位置及导体所带的电荷或导体的电位，根据静电场方程求解。将采用电力线的性质去定性地讨论,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),19,例1 如图所示的带电系统，我们可以得到以下一些结论。,1、电力线能不能由导体B
9、的一端正电荷发出而终止于另一端的负电荷？2、带正电的导体A接近不带电的导体B，则在B上离A的远端必有电力线发出而终止于无穷远？,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),20,3、带正电的导体A接近不带电的导体B，B的电位将如何变化？带负电的导体A接近不带电的导体B，B的电位又将如何变化？4、施感电荷的电量必大于或等于感应电荷的电量。5、不带电导体B左端接地，B上电荷情况怎样？若将B右端接地呢？,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),21,例2 如图所示，求感应电荷。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),22,上述结果
10、说明感应电荷的绝对值小于施感电荷的绝对值，与前面定性讨论结果一致。当 这相当于点电荷置于无限大导体平面前的情况。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),23,例3 如图所示，求无穷大导体板表面各点的感应电荷面密度。,在导体板面上找一点A，取包含A点的面元 在板内靠近A点取一点B（A、B两点靠得近）。B点的场强 可以看作是由如下三部分场强迭加而成：,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),24,点电荷q 的场,面元 上的电荷的场,板面上除 外的全部电荷激发的场,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),25,由面电荷密度的分
11、布函数，不难求出导体面上感应的总电荷量。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),26,五、平行板导体组例题,例1 空间有两块平行放置的金属平板A和B，两板长宽相等且都比板间距离大得多，板外无带电体及导体，分别令每板带上qA及qB的电量，求每板表面的电荷密度。,分析：由于板的长宽比板间的距离大得多，所以近似地把板看成无限大，由对称性可知两板四壁的电荷均匀分布。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),27,在绿色板内取一点p1，设 是向右的单位矢，根据无限大带电平面所产生的场强公式，得到四个无限大带电平面在p1点的合场强为：,2023/3/13,
12、电磁学(Electromagnetism),28,同理得到：,联立（1）、（2）两式，求得：,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),29,讨论：（1）设（用电池给平行板电容器充电就是这种情况），则有：,这说明电荷只分布在两板内壁。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),30,（3）如果，此时四壁都有电荷分布。,（2）设，则有：,这说明电荷只分布在两板外壁。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),31,导体的静电平衡可以由于外部条件的变化而变化，在不同外部条件下，电荷分布和导体外的电场分布是不同的，但静电平衡条件始终不
13、变。分析导体静电平衡的各种具体问题，归根结底是以导体内部场强处处为零这个不变的条件去分析电荷分布和导体外电场分布如何随具体条件不同而变化的问题。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),32,2.封闭金属壳内外的静电场,我们已知把导体（那怕是中性导体）引进静电场中，就会因电荷重新分布而使电场发生改变。利用这个事实，可以根据需要人为地选择导体的形状来改造电场。这种改造应用很广，本节讨论空腔导体的性质。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),33,分两类情况：一类空腔内无带电体，另一类空腔内有带电体，它们的静电性质有所不同。1、空腔内无带电体基本性
14、质：不论壳外带电体情况如何，在静电平衡状态下，导体壳的内表面上处处电荷为零，电荷只能分布在外表面上，空腔内各点场强为零，或者空腔内的电位处处相等。,一、壳内空间的场,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),34,在导体壳的内表面上不仅，而且各处的电荷面密度 也为零。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),35,2、空腔内有带电体基本性质：导体壳腔内有其它带电体时，在静电平衡状态下，导体壳的内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为零，壳外电荷对壳内电场无影响。,壳外电荷和导体壳外表面的电荷对空腔内激发的合场强同样是相抵消的。,2023/3/13,电磁学
15、(Electromagnetism),36,二、壳外空间的场也分两类情况：即壳外空间无带电体和有带体。1、壳外空间无带电体基本性质：壳外空间无带电体时仍然可能有电场存在。证明：设导体壳为中性。壳内有一正点电荷q，,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),37,根据Gauss定理和电荷守恒定律，可得到壳内、外表面的感应电荷分别为-q和+q。显然，外表面的电荷将发出电力线，因此壳外存在电场，这个场是壳内电荷q通过在壳外感应出等量电荷间接引起的。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),38,所谓壳内带电体q只在壳外间接引起电场，并不是说q本身不在壳外
16、激发电场（根据迭加原理，q肯定要在壳外激发电场），而是指q以及由它在壳内表面感应的等量负电荷在壳外空间激发的合场强为零。将导体壳外表面与大地相接，就可消除壳外空间的场。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),39,假若外表面还存在感应正电荷，那么它一定有电力线发出，这电力线不能终止于外表面，也不能终止于无穷远（此时外表面与大地接通，构成了等位体），往哪里去！故可见外表面无电荷存在。2、壳外空间有带电体基本性质：当壳外空间有带电体时，接地壳外表面仍然可能有电荷存在。反证法：假定导体壳外表面各点电荷面密度为零，并且空间除点电荷q外无别的电荷存在，那,2023/3/13,电
17、磁学(Electromagnetism),40,么导体壳体内（指金属内部）场强就不会为零，这与静电平衡条件矛盾。,壳内无电荷,-,-,-,-,q,q,-,-,-,-,q,壳内有电荷,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),41,由此可见，在导体壳接地时，壳外电场由壳外电荷决定，与壳内电荷无关。综上所述，封闭导体壳（不论接地与否）内部电场不受壳外电荷的影响，这称为外屏蔽；接地封闭导体外部电场不受壳内电荷的影响，称之全屏蔽。三、静电加速器静电加速器又名范德格喇夫起电机，其工作原理为：利用导体壳的性质可以将电荷不断地由电位较低的导体一次一次地传递给另一电位较高的导体，使后者电
18、位不断升高。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),42,3 电容器及其电容（capacitor and capacity）一、孤立导体的电容所谓“孤立”导体，就是说在这导体的附近没有其它导体和带电体。设想一个孤立导体带电量为q，它将具有一定的电位U，理论与实验表明：随着q 的增加，U将按比例地增加，关系式,式中C 与导体的形状和尺寸有关，与q 和U 无关，称之为孤立导体的电容。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),43,孤立导体电容的物理意义为：使导体每升高单位电位所需的电量。电容的单位：在国际单位制中，电容的单位为法拉。为了理解电容的意
19、义，可比喻为：我们向几个不同容器灌水时，为了使它们的水面都增加一个单位的高度，需要灌入的水量是不相同的。这是由容器本身的性质（即它的截面积）所决定的。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),44,例题 求一个半径为R 的孤立导体球的电容。,使它带电q,则其电位为：因此，由此可见，电容C决定于导体的几何因素。地球可看成一个导体球，它的半径约6400千米，它的电容C约为,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),45,二、电容器及其电容 孤立导体作为提供电容的器件，是没有实际意义的。首先，它的电容受周围导体的影响:我们已经知道一个中性的导体B接近一个
20、带正电的导体A时，A导体在带电量不变的情况下电位要降低，此时，“电容”就会发生变化，电容的概念也就失去意义；其次，它的电容很小，地球的电容也不过，而目前某些电子线路中要用到几千微法的电容，显然是不行的。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),46,用一个封闭的导体壳B把导体A包围起来，这样一个导体组，壳外的导体C、D 等就不会影响A、B之间的电位差。,因此在实际中，需要设计这样一个导体组，一方面它的电容应不受或基本不受周围导体的影响，另一方面它应有不大的体积而具有较大的电容。我们自然就想到静电屏蔽的方法。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism)
21、,47,若使导体A带电qA，导体壳B的内表面将带电-qA。随着qA的增加，UA-UB将按比例增加。所以仍可定义它的电容为：,同样，电容C唯一由A、B两导体的几何因素（表面的大小、形状、相对位置）决定。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),48,这种由导体壳B和其腔内的导体A组成的导体组，叫做电容器。组成电容器的两个导体A、B称为电容器的极板。孤立导体也可以看成是一个电容器，不过它的另一极板在无限远处。这两个极板的电位差，就等于孤立导体的电位。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),49,这里讨论经常见到的三种电容器1、平行板电容器A、B 两
22、板的面积均为S，A板带正电（+）B板带负电（-），两板间的距离为d(d 较两板的线度小得多），求电容C。,两板之间电场强度的值为：,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),50,上式表明：平行板电容器的电容与极板面积成正比，与极板间的距离成反比。因此，我们可以用增大面积，减小距离的办法获得大的电容,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),51,2、球形电容器一个半径为RA的金属球与一个和它同心的半径为RB的金属球壳组成一个球形电容器，假设金属球带正电q，求其电容C。,已求出金属球外、金属壳内空间的电场为：,2023/3/13,电磁学(Electr
23、omagnetism),52,讨论：（1）RB RA越小，则电容越大，因此只要外球壳越靠近金属球的表面，就可以得到越大的电容。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),53,（2）假若RA和RB都很大时，且两球壳间的距离d=RBRA很小，因而近似地有，此时球形电容器的电容为以球面积 代入，即：,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),54,（3）假若RARB，则RBRA RB，则：,即为半径为RA的孤立导体球的电容。,3、圆柱形电容器同轴圆柱形导体A、B，其半径分别是RA和RB，长度为L，当L RB-RA时，圆柱两端的边缘效应可忽略不计（即圆柱可
24、近似地看作无限长），求其电容。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),55,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),56,三、电容器的联接 在实际应用中，单个电容器往往不能满足实际要求，因而为了保证电容器的耐压能力和电容量，往往按一定规律将几个电容器联接起来使用，联接的基本方法有串联和并联两种。,1、并联（parallel connection)每个电容器有一个极板接到共同点A，而另一个极板则接到另一个共同点B，这种接法称为并联。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),57,基本特点：结论：并联电容器时，总电容等于每个
25、电容器的电容之和，并联后总电容增大了。其原因是：从公式 来看，假如每个电容器的d是相同，并联后相当于增大了面积S。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),58,2、串联(Series Connection)每个电容器的一个极板只与另一个电容器的一个极板联接，把电源接到这个电容器组合的两端上，这种接法称为串联。,基本特点：,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),59,结论：串联电容器时，总电容的倒数等于每个电容器电容的倒数之和，串联后总电容比电容器的最小电容还要小。其原因是；从公式 来看，如果每个电容器的面积S相等，串联后等于把d增大了。综上所
26、述：为了在实际中应用时增大电容，就将电容器并联；为了增大电容器的耐压能力，就采用电容器串联方法。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),60,思考题：如图所示的电容器组，每个电容器上所标的电压数值是该电容的标定耐压值。（1）将它接在电压为440V的电源上，每个电容器上的电压多大？（2）这个电容器组的耐压多大？,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),61,4 静电演示仪器（自己阅读）,5 带电体系的静电能(charged bodies electrostatic energy),一、带电体系的静电能,我们已知静电能的概念属于带电体系，与同物体的
27、势能应是物体与地球这个系统的。静电能本身的数值是相对的，要讨论一个带电体系所包含的全部静电能有多少，必须说明相对于何种状态而言。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),62,我们设想，带电体系中的电荷可以无限分割为许多小部分，这些部分最初都分散在彼此相距很远（无限远）的位置上。通常规定，处于这种状态下的静电能为0。与同重力势能的值通常是相对地面为零势面而言的。带电体系由若干个带电体组成，带电体系总的静电能由各带电体之间的相互作用能和每个带电体的自能组成。即：,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),63,（1）把每一个带电体看作一个不可分割的整
28、体，将各带电体从无限远移到现在的位置，外力抵抗静电力所作的功，等于它们之间的相互作用能。（2）把每一个带电体上的各部分电荷从无限分散的状态聚集成现在的状态，外力抵抗静电力所作的功，等于这个带电体的自能。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),64,下面我们讨论点电荷系的相互作用能（1）两个点电荷的情况令q1不动，q2 处于q1 的电场中，使 q2从图中2点移至无限远，场力所作之功为：，式中，为电荷q1 产生的电场在图中2点的电位。,同理，若令 q2 不动，q1处于q2 的电场中，使 q1从图中1点移至无限远，场力所作之功为：,2023/3/13,电磁学(Electro
29、magnetism),65,式中，为电荷q2 产生的电场在图中1点的电位。,显然：所以，两个点电荷系的相互作用能：可见，两个点电荷系之间的相互作用能就是前面讲过的q1在q2的电场中或 q2在q1 的电场中的电位能。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),66,（2）多个点电荷的情况 三个点电荷组成的体系：把这三个点电荷依次由无 限远的地方搬运到它们应 在的位置1、2、3上去。将q1由无限远移到图中1处，外力功为：0将q2由无限远移到图中2处，外力功为：将q3由无限远移到图中3处，外力功为：,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),67,这样，三
30、个点电荷组成体系的相互作用能为：,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),68,如果我们规定：,是除 外所有电荷的电场在 处产生的电位。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),69,不难得到 个点电荷体系的相互作用能为：,二、带电导体组的静电能 首先：讨论由一个带电导体构成的体系把导体表面分成许多（个）小面元，每个面元可看作电量为 的点电荷，各面元之间的相互作用能为：,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),70,若令每个面元面积趋于零并求极限，注意，这时求得的相互作用能也就是整个体系的静电能,积分遍及整个导体表面,其次
31、：当带电体系由 个导体组成时，上述积分还应对各个导体求和，,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),71,下标 代表第 个导体。注意这里的 是所有导体的电荷（包括第 个导体本身所带的电荷）在第 个导体上贡献的电位。因为导体表面是等位面，所以有：,上式说明，带电导体组的静电能等于每个导体的电量乘电位之和的一半。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),72,三、电容器的静电能,电容器储存的能量，是由充电得到的。电容器充电时，是把正电荷从低电位的负极板不断地移到高电位的正极板。因此充电是把其它形式的能量转变为电能的过程。,2023/3/13,电磁学(
32、Electromagnetism),73,设充电开始时，两极板上均不带电，然后不断地把少量正电荷从一极板移到另一极板。假设在某瞬时，极板已经迁移的电量为 q，这时两板之间的电压为u=q/C，如果再移电荷元 dq，外力（电源的化学力）克服电场力作一元功 dA，,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),74,如果继续迁移电荷，直到迁移的总电量达到Q为止。所作的总功为：,注意：这个功是外力克服电场力所作的功。然而外力作功等于体系的静电能的增加量。即,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),75,设未充电时能量为零（相当于该两板电荷为Q无限远离时能量为零），则功A就是电容器充电至电量为Q时的能量W，即W1=0，A=W2-W1=W2。并注意到：,注意：从推导过程不难看出，上式不仅适用于平行板电容器，而且适用于任何电容器。,2023/3/13,电磁学(Electromagnetism),76,四、关于自能和互能的进一步说明,静电能是指某个静电系统所具有的能量。一个系统可以分为若干个更小的系统，我们称之为子系统，自能是相对于每个子系统自身而言的，相互作用能是相对于子系统之间而言的。子系统的划分，原则上是任意的，但是存在怎样划分更有利的问题。如果自能不变化，则仅用相互作用能就够了！,
