线性代数学习指导讲稿.doc

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1、第一篇 内容提要与典型例题分析第一章 行列式1.1 教学目的要求1会求n元排列的逆序数；2. 熟练掌握计算2阶和3阶行列式的对角线法则；3深入领会行列式的定义；4掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式；5灵活掌握行列式按（列）展开；6理解代数余字式的定义及性质；7会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解.1.2 重要公式与结论1.2.1 n阶行列式的定义n阶行列式.其中是n个数12n的一个排列，t是此排列的逆序数，表示对所有n元排列求和，故共有n！项.1.2.2 行列式的性质1. 行列式和它的转置行列式相等.2. 行列式的两行（列）互换，行列式改

2、变符号.3. 行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一个数乘行列式等于用该数乘此行列式的任意一行（列）.4. 行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零.5. 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和，即 +6. 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变.1.2.3 行列式按行（列）展开。设D为n阶行列式，则有 其中是的代数余子式.1.2. 克拉默法则. 如果线性非齐次方程组的系数行列式，则方程组有唯一解（ i=1，2，n），其中是D中第i列元素（即的系数）换成方程中右端常数项所构成的行列式.2.

3、 如果线性齐次方程组的系数行列式，则方程组只有唯一零解.若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式.1.2.5 一些常用的行列式1. 上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的积.2. 设 ，则.3. 范德蒙行列式.1.2.6. 计算行列式的常用方法： 1. 利用对角线法则计算行列式，它只适用于2、3阶行列式； 2. 利用n阶行列式定义计算行列式； 3. 利用行列式的性质化三角形法计算行列式； 4. 利用行列式按某一行（列）展开定理计算行列式； 5. 利用数学归纳法计算行列式； 6. 利用递推公式计算行列式； 7. 利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式； 8. 利用加边法计算行列式； 9. 综合

4、运用上述方法计算行列式.1.3 典型例题分析例1.1 下列排列中（ ）是偶排列. (A) 54312 (B)51432 (C) 45312 (D) 654321解 按照例1的方法计算知： 排列54312的逆序数为9；排列51432的逆序数为7；排列45312的逆序数为8；排列654321的逆序数为15；故正确答案为（C）.例1.2 下列各项中，为某五阶行列式中带正号的项是（ ）.(A) (B) (C)(D) 解 由行列式的定义知，每一项应取自不同行不同列的五个元素之积，因此(A)、(B)不是五阶行列式的项，但(C)应取负号，故正确答案为（D）.例1.3 行列式, 若，则的取值为（ ）.(A)

5、2, 1 (B) 1, 1 (C)0, 2 (D)0,1解 按三阶行列式的对角线法则得.若，则，于是，故正确答案为（B）.例1.4 方程组有唯一解，则（ ）.(A) 且 (B) 且 (C) 且 (D) 且.解 由克拉默法则知，当所给非齐次线性方程组的系数行列式不等于0时，该方程组有唯一解，于是令行列式即且，故正确答案为（B）.例1.5 （ ）.分析：对于2、3阶行列式的计算，元素的数值较小时，可以直接采用对角线法则进行计算；但元素的数值较大时，一般不宜直接采用对角线法则进行计算，而是用行列式的性质进行计算.解 此题是一个2阶行列式，虽然可以直接用对角线法则计算，但因数值较大，计算较繁，因此要仔

6、细观察分析，用行列式的性质求解.，故答案为4.例1.6 （ ）.分析：如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加法).解 这个行列式的特点是各列4个数的和为10 ，于是，各行加到第一行，得10.例1.7设，则的系数为（ ），的系数为（ ）.分析：此类确定系数的题目，首先是利用行列式的定义进行计算。如果用定义比较麻烦时，再考虑用行列式的计算方法进行计算.解 从的表达式和行列式的定义可知，当且仅当的主对角线的4个元素的积才能得出，其系数显然是2. 当第一行取或，则含或的行列式的项中是不出现，含的行列式的项中是不出现，于

7、是含的项只能是含，的积，故的系数为.故答案为2 ，.例1.8 设，则（1）（ ）.（2）（ ）, （3）（ ）.分析： 此类题目一般不宜算出表达式里每一项的值，而是注意观察要求的表达式的结构，充分利用按行（列）展开的计算方法来进行技巧计算.解 （第2，3行相同）即 =0.同理 =0于是0， 0.故答案为0，0，0.例1.9 .分析:当行列式中有较多零元素时，一般可以采用行列式的定义或按行(列)展开来计算.解 此行列式刚好只有n个非零元素，故非零项只有一项：，其中，因此 .此题也可以按行(列)展开来计算.例1.10 计算n阶行列式解法1 （行（列）加法）因为这个行列式的每一行的n个元素的和都为n

8、+1, 所以将第2,3,n列都加到第一列上，得解法2 （加边法）.解法3 （利用行列式的性质）.例 1.11 计算.解 当n=2时， 当n3时，.例1.12 计 算其中.解 因，归纳推得 .用数学归纳法证明上式, 假设当k=n-1时结论成立，即.则当k=n时，将按第n列展开，得即当k=n时结论也成立，故对一切自然数结论都成立.例1.13 计算解 （利用范德蒙行列式计算） .例 1.14 计算 .解 按第一列把Dn分成两个行列式的和 (1) (2)(a) 当时 ，由（1）（2）得 =, 则.于是 . (b) 当时，由（1）得 .例1.15 设, 证明： .证明 将行列式的第1行，第2行，然后加到

9、第3行，得于是，不等式的左边=.由于,从而，因此，当时,.例 1.16 设在上连续,在内可导，试证：至少存在一个，使得.其中 .证明 由题设知在上连续,在内可导，又由行列式的性质可知，于是由洛尔中值定理可知，至少存在一个，使得.1.4 独立作业 1.4.1 基 础 训 练 一、选 择 题 1. 设为阶行列式,则在行列式中的符号为( ). (A) 正 (B) 负 (C) (D) 2. 行列式为0的充分条件是（ ）. (A)零元素的个数大于n; (B) 中各行元素的和为零； (C) 次对角线上元素全为零; (D) 主对角线上元素全为零. 3. 行列式不为零，利用行列式的性质对进行变换后，行列式的值

10、 （ ）. (A) 保持不变； (B) 可以变成任何值； (C) 保持不为零； (D)保持相同的正负号.4. 方程的根为 （ ）.(A) 1，2， (B)1，2，3 (C)1，2 (D)0，1，25. 如果，则 （ ）. (A)-12 (B)12 (C)48 (D)-48二 、填 空 题6. 行列式（ ）. 7. = ( ).8. 行列式, 则（ ）.9. 函数中,的系数为（ ）.10. = ( ).三、计算题11. . 12. 13. 14. 15. 16. 17. ,（其中）18. (19. 20. 21. . 四、综合题22. 当取何值时，齐次线性方程组有非零解？23. 证明(其中).1

11、.4.2 提高练习一、选择题1. 设为n阶方阵，为的伴随矩阵，则为（ ）. (A) (B) (C) (D) 2. 设为n阶方阵，为m阶方阵， ( ).(A) (B) (C) (D) 3. 若，则的系数为（ ）.(A) 29 (B) 38 (C) 22 (D) 344. ，则方程0的根的个数为（ ）.(A)1 (B)2 (C)3 (D)45. 当（ ）时，方程组只有零解.(A)-1 (B) 0 (C) -2 (D) 2二、填空题6. 排列可经过（ ）次对换后变为排列.7. 四阶行列式中带负号且含有因子和的项为（ ）.8. 设为实数，则当（ ），( )时，.9. 设为4阶方阵，为5阶方阵，且则 (

12、 ),（ ）.10. 设,为n阶方阵，且则 ( ).11. 设为3阶正交矩阵，若，则（ ）.12. 设，则（ ）.三、综合题13. 解方程组，其中为各不相同的常数.14.证明:=.15. 设，求. 16. 设，试证：存在，使得. 17. 证明：奇数阶反对称矩阵的行列式为零. 18. 设是互异的实数，证明：的充要条件是.19. 设，计算的值，其中是的代数余子式.20. 利用克莱默法则求解方程组.21. 求极限.第二章 矩 阵2.1 教学目的要求: 1. 理解矩阵的概念; 2. 了解单位矩阵, 对角矩阵, 三角矩阵, 对称矩阵以及它们的基本性质; 3. 掌握矩阵的线性运算, 乘法, 转置及其运算规

13、则; 4. 理解逆矩阵的概念; 掌握可逆矩阵的性质; 会用伴随矩阵求矩阵的逆; 5. 了解分块矩阵的概念, 了解分块矩阵的运算法则.2.2 重要公式与结论1. 对于任意方阵, 总有 ;如果, 即为可逆矩阵, 则有 或;2. 数乘以方阵的关系 :设为阶方阵, 为实数, 则, , ; 3. 矩阵乘法的关系, , ; ， 4. 若、均为可逆矩阵, 则; ；5. 已知为一个阶可逆矩阵, 则有;6. 已知为一个阶矩阵，为实数, 则 ，；7. 已知为一个阶可逆矩阵, 则有.2.3 典型例题分析例2.1 计算:(1) (2) .解: (1) =; (2) .例2.2 设 为三阶矩阵, 且已知, 为的伴随矩阵

14、又 , 求解: 由于其中 ， 故.例2.3 设, , 求的关系, 使与是可交换的.解: 故要使, 可交换, 即的充要条件是 即 .例2.4 设, , ,计算.解: 故 .例2.5 设. , 求解: 由于, 故是可逆的又 ， 故例2.6 设, 为的伴随矩阵, 求解: 由于 , 故是可逆的, 是可逆的;根据, 有 方程左右两边同时左乘以，得 即 ， 又 , 是4阶矩阵故 例2.7 设, 是阶方阵, 若可逆, 试证 也可逆 证明: 由于移项得到 即 于是 可逆, 并且. 例2.8 设, 求解: 对矩阵分块, , 其中 ， 故, 根据分块矩阵的逆矩阵公式.例2.9 设阶方阵 , , 求, 使解: 由于

15、, 故是可逆的; 并且 ;方程左右两边同时左乘以得到.例2.10 设,求, 使解: 对方程移项得 根据矩阵乘法分配律得 由于 , 故可逆.方程左右两边同时左乘以, 得例2.11 设, 求. 其中 , 解: 根据乘法转置公式得 又 , 故可逆对方程右乘以得到 例2.12 设的伴随矩阵, 求, 使解: 根据, 得到 故 皆是可逆的, 并且又由, , , 故 .例2.13 设阶矩阵的伴随矩阵为, 试证(1) 若, 则; (2) ; (3) .证明: (1 ) 根据得到与两种情况 当时, 则, 显然 当时, 利用反证法, 不妨反设则可逆, 即存在, 又由于,得到, 这与矛盾.假设不成立.故由知若, 则

16、. (2 ) 分和两种情况: 当时, 由(1)得到, 显然有. 当时, 则可逆, 由得到, 从而.(3 ) 根据(2 )中得到.例2.14 设, 均为阶方阵, , , 求.解: 又根据, 得到, 即, 以及所以例2.15 设5阶矩阵, 且, 求解: 由于, 例2.16 设, 均为3阶矩阵, , , 求解: .例2.17 设阶矩阵, 有, 若中每个元素用其对应的代数余子式代替, 得到矩阵, 求.解: 依题意, 得 , (其中为的伴随矩阵), 由, 得到, 即是可逆的. 故 又由, 得所以 , 故例2.18 设, 且, 求解: 由 , 得, 即, 故.例2.19 设, , 又, 求解: 由又因为故

17、 例2.20 设, 满足,求, .解: 由于, 故是可逆的,且.由题意, 又 .例2.21 设, 求解: 由于 不妨假设成立. 下用归纳法证明. 当时,显然成立.假设时也成立, 即, 则当时. 故结论成立, 即.2.4 独立作业一、选择题1设阶矩阵, 且, 则 （A） ； （B）； （C） ； （D）以上都不对2设、均为阶矩阵，下列命题正确的是 （A）； （B）；（C）； （D）3设阶矩阵满足， 则有 （A） （B） （C） （D）4设，则 （A） （B） （C） （D）5下列命题正确的是 （A）若是阶方阵，且，则可逆；（B）若、是阶可逆方阵，则也可逆；（C）若是不可逆方阵，则必有；（D）若是

18、阶方阵，则可逆可逆二、填空题6已知，则 7设，则 8已知，则 9设矩阵满足，其中为三阶单位矩阵，, 则 10已知，满足，则 三、计算题11设，求矩阵，使成立12设，计算13设，,求矩阵,使成立14设矩阵，试计算和15设（k为正整数），（1） 试证；（2） 求2.5提高练习一、选择题1设为阶矩阵,且有,则结论正确的是_(A) (B) (C) 若不可逆,则 (D) 若可逆,则2已知，且，则 (A) 2； (B) 3; (C) 4; (D) 53设，是两个阶方阵，则的第行是 （A） 的各行的线性组合，组合系数是的第行各元素；（B） 的各行的线性组合，组合系数是的第行各元素；（C） 的各列的线性组合，

19、组合系数是的第行各元素；（D） 的各行的线性组合，组合系数是的第列各元素4设、为可逆矩阵，则 （A） ； （B） ；（C） ( D ) 5设为阶矩阵，为其伴随矩阵，则 （A） （B） （C） （D）二、填空题6设三阶矩阵的行列式，则 7设阶矩阵的行列式，则 8已知 则 9设阶矩阵、，且，则 10设、是四阶矩阵，且，则 三、计算题11设三阶矩阵、满足关系式，求12设 ，求其中，13设、均为阶方阵，若，求14设, 为的伴随矩阵, 求第三章 矩阵的初等变换与线性方程组3.1 教学目的要求1掌握矩阵的初等变换及用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法，了解矩阵等价的概念2理解矩阵秩的概念并掌握其求法3理解齐次线

20、性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件4掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法3.2 重要公式与结论3.2.1 矩阵的秩1若，则.2对于任意矩阵，总可以通过初等行变换将其化为行阶梯形，的行阶梯形中非零行的行数就等于矩阵的秩.3矩阵秩的性质： ； ； 若，则； 若、可逆，则； ； ； ； 若，则.3.2.2 初等矩阵与矩阵求逆1三种初等变换对应着三种初等矩阵，且初等矩阵具有以下性质：， .2设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵；3方阵可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵，使得.4方阵

21、可逆的充分必要条件是.5阵的充分必要条件是存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使6对于方阵，若，则（1）可逆；（2）7设有阶矩阵及阶矩阵，若，则（1）可逆；（2）3.2.3 线性方程组的解1元线性方程组， 无解的充分必要条件是； 有解的充分必要条件是； 有唯一解的充分必要条件是； 有无穷多解的充分必要条件是.2元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是.3.3 典型例题分析例3.1 设，求分析 对于一个具体的矩阵求秩问题，先对矩阵进行初等行变换化为行阶梯形，根据行阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.解 ，故.例3.2 设，则的秩( ) .(A) 必为2 (B) 必为3 (C) 可能为2，也可能为3 (D) 可

22、能为3，也可能为4.分析 先将化成行阶梯形，再确定矩阵的秩.解 因为，可知，当时，否则.例3.3 设4阶方阵的秩为2，其伴随矩阵的秩为( ).(A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 4解 由4阶方阵的秩为2，其伴随矩阵，故的秩为0.例3.4 设阶矩阵，则( ).(A) 1 (B) (C) -1 (D) 解 因为，所以.又，故或.当时，易知，当时，.例3.5 设是3阶矩阵，已知，则= .解 因为，所以为可逆矩阵.又可得.故.例3.6 设是阶矩阵的伴随矩阵，证明(1) ， (2) 分析 联想到矩阵的秩及的定义.证明 (1) 当时，由，知，故.当时，由，得.因为假设，于是是可逆矩阵，由，知，与

23、矛盾.因此，当时也有.(2) 当时，则，由知，两边取行列式得，即，所以；当时，由定义知有阶非零子式，这时，即，而，由性质知，推得，综上可得；当时，知所有阶子式全为零，即，由此可知.例3.7 设,()，求.解 因为，知由题知，故.因为 故 .例3.7已知，求.分析 矩阵的逆矩阵求法有两种方法，一种是利用公式，另一种是利用矩阵的初等变换，且后一种是比较常用的方法，特别是对于阶数高于3阶以上的矩阵.解 故例3.8 设，求，其中.解 由得 所以例3.9方程组的系数矩阵记为，若存在3阶非零矩阵，使，则( ).(A)且 (B) 且(C)且 (D) 且解 因为，又，且故即或，在四个备选答案中只能选择C和D再

24、考虑到时，显然，若，则，所以，故选C.例3.10 求齐次线性方程组的通解.解 系数矩阵经过初等变换得 由知方程组有无穷多组解,得同解方程组移项后得 令， 得 ,例3.11 求解线性方程组.解 对增广矩阵进行初等行变换，所以方程组有无穷多解，令，得例3.12设有线性方程组 问取何值时，此方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解？并在有无穷多解时求其通解.分析 因为方程组的系数矩阵为方阵，所以可以先讨论时的取值，给讨论带来方便.解 因系数矩阵为方阵，故方程有唯一解的充分必要条件是系数行列式.而 当时， 知，故方程组无解.当时，知，故方程组有无穷多个解，且通解为.例3.13 求解，其中，

25、.分析 本题为求解非齐次线性方程组，通常先把增广矩阵通过行变换化成行最简形，然后再求通解.解 当时， 方程的通解为 当时，方程的通解为 3.4 独立作业3.4.1 基础练习1已知，求.2已知，求.3若矩阵满足，则（ ）.(A) (B) (C) (D) 4 设矩阵满足关系，其中，求.5 设矩阵，求.6是矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是 .7若非齐次线性方程组中方程个数少于未知数个数，那么( ).(A) 必有无穷多解； (B) 必有非零解；(C) 仅有零解； (D) 一定无解.8 求解线性方程组（1）， （2）（3）9若方程组 有无穷多解，则 .10若都是线性方程组的解，则( ).(A)

26、(B) (C) (D)3.4.2 提高练习1设为5阶方阵，且，则= .2设矩阵，以下结论正确的是( ).(A)时， (B) 时，(C)时， (D) 时，3设是矩阵，且，而，则 .4设，为3阶非零矩阵，且，则 .5设矩阵，且，则 .6设，试将表示为初等矩阵的乘积.7设阶方阵的各行元素之和均为零，且，则线性方程组的通解为 .8设，其中可逆，则 .9设阶矩阵与等价，则必有（ ）.（A）当时， （B）当时，（C）当时， （D）当时，10设，若，则必有（ ）.（A）或 （B）或（C）或 （D）或11齐次线性方程组的系数矩阵记为，若存在三阶矩阵，使得，则（ ）.（A）且 （B）且（C）且 （D）且12设是

27、三阶方阵，将的第一列与第二列交换得到，再把的第二列加到第三列得到，则满足的可逆矩阵为（ ）.（A） （B） （C） （D）13已知，为三阶非零矩阵，且，则（ ）.（A）时， （B）时，（C）时， （D）时，14若线性方程组有解，则常数应满足条件 .15设方程组有无穷多个解，则 .16设阶矩阵与维列向量，若，则线性方程组（ ）.（A）必有无穷多解 （B）必有唯一解（C）仅有零解 （D）必有非零解.17设为矩阵，为矩阵，则线性方程组（ ）.（A）当时仅有零解 （B）当时必有非零解（C）当时仅有零解 （D）当时必有非零解18求的值，使齐次线性方程组 有非零解，并求出通解.19设 问为何值时，此方程组

28、有唯一解，无解或无穷多解？并在有无穷多解时，求其通解.20问为何值时，线性方程组 有唯一解、无解、有无穷多解？并求出有无穷多解时的通解.21问为何值时，线性方程组有解，并求通解.22已知3阶矩阵的第一行为，不全为零，矩阵，为常数.若，求线性方程组的通解.23设是阶可逆方阵，将的第行和第行对换后得到的矩阵记为.（1）证明可逆；（2）求.第四章 向量组的线性相关性4.1教学目的要求1、 了解维向量的概念，并掌握其线性运算的方法.2、 理解向量线性组合、向量组线性相关性的若干概念，了解与相关性的结论，能够正确判断给定的向量是否可用向量组线性表示，能够正确判断给定的向量组的线性相关性.3、 理解向量组

29、的最大无关组的定义与向量组秩的定义，能够正确求解给定向量组的秩及最大无关组.4、 掌握齐次、非齐次线性方程组的解的性质，解的结构，并会求齐次线性方程组的基础解系.5、 了解维向量空间、子空间、基底、维数的概念.了解过渡矩阵、基变换公式及坐标变换公式.4.2重要公式与结论4.2.1 向量组及其线性组合（1）定义线性组合：给定向量组对于任何一组实数表达式称为向量组A的一个线性组合，称为这个线性组合的系数.线性表示：给定向量组和向量，如果存在一组数，使，则称向量能由向量组线性表示; 若向量组中的每个向量都能由向量组线性表示，则称向量组B能由线性表示。若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量

30、线性等价.（2）定理定理1 向量能由向量组线性表示的充要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩.定理 2 向量组能由向量组线性表示的充要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩，即. 推论1 向量组与向量组等价的充要条件是，其中，A和B是向量组A和B所构成的矩阵.定理3 设向量组能由向量组线性表示，则. 4.2.2向量组的线性相关性（1） 线性相关、线性无关的概念 给定向量组，如果存在不全为零的数，使，则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关.（2） 性质 含有零向量的向量组必线性相关，线性无关的向量组必不含零向量； 两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例； 多于n个向量的n维向量组必线性相关； 如果向量组中一部

31、分向量线性相关，那么整个向量组线性相关；如果整个向量组线性无关，那么由它的部分向量构成的向量组也线性无关.（3） 定理定理1 向量组线性相关的充要条件是它构成的矩阵 的秩小于向量个数；向量组线性无关的充要条件。定理 2若向量组线性相关，则向量组也线性相关，反言之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关； m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关； 设向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量必能由向量组A线性表示，且表达式是唯一的.4.2.3向量组的秩（1） 定义 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量，满足 向量组线性无关； 向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1

32、个向量）都线性相关，则称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组，最大无关组所含有向量个数r称为向量组A的秩，记作RA.（2） 性质 等价的向量组有相同的秩。（3） 定理定理1 矩阵的秩等于它的列向量的秩，也等于它的行向量的秩.推论 设向量组是向量组A的一个部分组，且满足 向量组A0线性无关； 向量组A的任一向量都能由向量组A0线性表示；那么向量组A0便是向量组A的一个最大无关组。定理2 向量组能由向量组线性表示的充要条件是.4.2.4线性方程组的解的结构（1） 齐次线性方程组 对齐次线性方程组 其中, , 若满足方程组，则称为方程组的解. 齐次线性方程组的最大无关组称为该齐次线性方程组的

33、基础解系. 解的性质性质1 若，为的解，则也是它的解；性质2 若为的解，k为实数，则也是它的解.解法 设方程组的的系数矩阵A的秩为r，且不妨设A的前r个列向量线性无关，于是A的行最简形矩阵为于是有方程组 把作为自由未知数，并令它们依次等于可得方程组的通解 其中定理 设 矩阵A的秩，则n元齐次线性方程组的解集S的秩. （2）非齐次线性方程组 解的性质 性质1 设及都是方程的解，则为对应齐次线性方程组的解. 性质2 设是方程的解，是方程的解，则仍是方程的解.解法 非齐次线性方程组可按如下的方法进行求解：对任意非齐次线性方程组，先求出它的一个特解，再用（1）中方法求得它对应的齐次线性方程组的通解，于

34、是即为所求非齐次线性方程组的通解.4.2.5 向量空间定义1 设V为向量空间，如果r个向量，且满足 线性无关； V中任何一向量都可由线性表示，那么，向量组就称为向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间.定义2 如果在向量空间V中取定一个基，那么V中任一向量都可唯一表示为 数组称为向量在基中的坐标.4.2.6 基变换公式与坐标变换公式 设向量组与是V的两组基，且有 其中 称上式为由基到基的基变换，称A为由基到基的过渡矩阵. 对向量，它在基与下的坐标分别为及，即 ，则有 这就是由基到基的坐标变换公式. 实际应用中，直接求得A有时并不容易，这时我们引进一组基，且该基与及之间的

35、过渡矩阵都容易求得，记为B和C ， 于是 ， 即基与之间的过渡矩阵为.4.3 典型例题分析例4.3.1 若都是四维列向量，且四阶行列式， ，试求四阶行列式.解：，故 .例4.3.2 设，矩阵，n为正整数，计算.解： 所以 例4.3.3 已知向量及，试用线性表示.解：设，即 求解上述方程组，方程组的增广矩阵为 解得方程组得解，线性表示式为.例4.3.4 设向量 问取何值时 （1） 不能由线性表示？（2） 可由线性表示，且表示式唯一？并求出这个表达式.解：设有数使 设其系数矩阵，增广矩阵，对作初等变换（1） 不能由线性表示无解所以，当时, 不能由线性表示.（2）可由唯一线性表示有唯一解 且所以当时

36、可由唯一线性表示.求解方程组，即 解得 ，于是可由唯一线性表示式为 例4.3.5 判断向量组是否线性相关.解：（法一）应用向量组线性相关与线性无关的定义设 则有 对应齐次线性方程组得系数矩阵进行行的初等变换，有 由此可得，故线性无关. （法二）应用向量组何矩阵之间的关系来判别考虑由向量组成的矩阵 对其进行初等行变换由此知，从而线性无关.例4.3.6 已知是n阶矩阵，是n维列向量，若，证明线性无关.证： 若 ， 用左乘上式，并把代入得 ，而从而有，于是，再用左乘，类似可知，于是即知，因此线性无关.例4.3.7 设 （1） 问当t为何值时，向量组线性无关；（2） 问当t为何值时，向量组线性相关；（

37、3） 当线性相关时，将表为的线性组合。解：设，由分量方程组写法，即得，系数行列式（1） 当时，方程组只有零解故线性无关；（2） 当时，方程组有非零解，即可取不全为零的值，使，故线性相关;（3） 当时，设，解得于是例4.3.8 已知向量组线性无关，证明线性无关的充要条件是 .证： 充分性 设，要证线性无关，设则将代入有 由于线性无关，则 由于此方程组的系数行列式，故上述方程组只有零解,从而线性无关. 必要性 假设，则的行向量线性相关，于是存在不全为零的数，使 由此可知 ，于是 即线性相关，与题设矛盾，故.例4.3.9 设有向量组 求向量组的秩，并求出它的一个极大线性无关组.解：由此知秩，因为的一个3阶子式 所以与这三列所对应的向量是