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1、导数典型例题讲解典型例题讲解： 1导数的概念 例1已知曲线y=3x上的一点P(0, 0)，求过点P的切线方程 解析：如图，按切线的定义，当x0时，割线PQ的极限位置是y轴，因此过P点的切线方程是x=0. 例2求曲线yx2在点(2，4)处的切线方程 解析： y=x2, Dy=(x0Dx)2x022x0Dx(Dx)2 =4Dx(Dx)2 klimDyDxDx0=lim(4+Dx)=4. Dx0 曲线yx2在点(2，4)处切线方程为y44(x2)即4xy40. 例3物体的运动方程是 S1tt2，其中 S的单位是米，t的单位是秒，求物体在t5秒时的瞬时速度及物体在一段时间5，5Dt内相应的平均速度 2
2、Dt+Dt+(Dt), 解析： S=1+t+t2, DS=1+(t+Dt)+(t+Dt)2(1+t+t2)=2tDSDt=2t+1+Dt, 即v(t)=2t+1+Dt, v(5)=Dt+11, 即在5，5Dt的一段时间内平均速度为(Dt11)米秒 v(t)=SlimDSDtDt0=lim(2t+1+Dt)=2t+1 Dt0 即v(5)25111. 物体在t5秒时的瞬时速度是11米秒 例4利用导数的定义求函数y=1x11+Dx1-1+Dx1+Dx-11+Dx(1+1+Dx)DyDx在x=1处的导数。 解析：Dy=DyDx-1=, 12=-11+Dx(1+1+Dx), limDx0=limDx0=
3、-. 例5已知函数12xsinf(x)=x0x0x=0, 求函数f(x)在点x0处的导数 1Dx2Dy=f(0+Dx)f(0)=(Dx)sin解析：由已知f(x)=0，即f(x)在x=0处有定义，, DyDx=Dxsin1Dx, limDyDxDx0=limDxsinDx01Dx=0, 即 f (0)0. 函数f(x)在x0处导数为0. 例6已知函数12(x+1)2f(x)=1(x+1)2x1, 判断f(x)在x1处是否可导？ x11解析：f(1)=1, limDx0Dy-Dx=lim-2Dx0(1+Dx)+1-1Dx12=lim-(1+Dx0212Dx)=1, 1Dx0lim+DyDx=li
4、m+2Dx0(1+Dx+1)-1Dx=, limDx0Dy-Dxlim+Dx0DyDx, 函数y=f(x)在x1处不可导 例7已知函数 y2x33，求 y. Dx+6x解析： y=2x3+3, Dy=2(x+Dx)3+3(2x3+3)=6x2(Dx)2+2(Dx)3, DyDx2Dx+2(Dx), y=lim=6x2+6xDyDxDx0=6x2. 例8已知曲线y2x33上一点P，P点横坐标为x1，求点P处的切线方程和法线方程 解析： x=1, y=5, P点的坐标为(1, 5), 利用例7的结论知函数的导数为y=6x2, y|x=16, 曲线在P点处的切线方程为y56(x1) 即6xy10,
5、又曲线在P点处法线的斜率为 曲线在P点处法线方程为y5216， 16( x1)，即 6yx310. 例9抛物线yx在哪一点处切线平行于直线y4x5？ 解析： y=limDyDxDx0=lim(x+Dx)-xDx22Dx0=2x, 令2x4 x=2, y4, 即在点P(2，4)处切线平行于直线y4x5. 例10设mt0，f(x)在x0处可导，求下列极限值 (1) limf(x0-mDx)-f(x0)DxDx0； (2) limf(x0+DxDx0tDx)-f(x0). 解析：要将所求极限值转化为导数f (x0)定义中的极限形式。 (1) limf(x0-mDx)-f(x0)DxDx0=limf(
6、x0-mDx)-f(x0)-mDxDx0(-m)=-mf(x0), Dx0） t1例11设函数f(x)在x1处连续，且limf(x)x-1x1=2，求f (1). 解析： f(x)在x1处连续， limf(x)=f(1). x1 而又limf(x)=lim(x-1)x1x1f(x)x-1=lim(x-1)limx1f(x)x-1x1=02=0. f(1)=0. f (1)=limf(1+Dx)-f(1)DxDx0=limf(x)-f(1)x-1x1=2 即f (1)2. 例12已知抛物线yax2+bx+c (a0)，通过点(1，1)，且在点(2，1)处与直线yx3相切，求a，b，c的值 解析：
7、由ylimDyDxDx0=lima(x+Dx)+b(x+Dx)+c-(ax+bx+c)Dx22Dx0=2ax+b, 由函数在点(2，1)处与直线yx3相切, 2a2b1， 又函数过点(1，1)，(2，1), abc=1， 4a2bc1， 由三式解得a3，b11，c=9. 例13设曲线ysinx在点A(，6p12)处切线倾斜角为，求tan()的值. Dx2p解析： y=sinx， DyDxDy=sin(x+Dx)sinx=2cos(x+Dx2Dx)sinDx)sin4Dx2, Dx2cos(x+ y=limDx0=limDx02=limcos(x+Dx)limDx0Dx02sin2=cosxDx
8、2. 即y(sinx)cosx, 令在A点处切线斜率为k=cosp6=32, tan=32, (0, ), tan(p4)1-tanq1+tanq1-=1+32=7-4332 H， 例14设f(x)是定义在R上的函数，且对任何x1、x2R，都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)，若f(0)0，f (0)1，证明：对任何xR，都有f(x)=f (x) 解析：由f(x1x0)=f(x1)f(x2)，令x1x20得f(0)f(0)f(0), 又f(0)0 f(0)=1 由f (0)=1即lim f (x) f(Dx)-f(0)DxDx0=limf(Dx)-1DxDx0=1, Dx0limf(x+D
9、x)-f(x)Dx=limf(x)f(Dx)-f(x)DxDx0=f(x)limf(Dx)-1DxDx0=f(x). 即f (x)=f(x)成立 2几种常见函数的导数 例1已知f(x)=x3，求f (x) ，f (1)，(f(1)，f ( 0.5) 解析：f(x)=x3, f (x)3x2, f (1)=3, f ( 0.5)3(0.5)2= 0.75，(f(1)=(1)=0. 说明：导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系后者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再直接求导函数值 例2已知曲线y=x2上有两点A(1, 1), B(2, 4)，求 割线AB的斜率；在1，
10、 1Dx内的平均变化率； 过点A处的切线斜率kAT； 点A处的切线方程 解析： kAB 平均变化率4-12-13； f(1+Dx)-f(1)Dx=(1+Dx)-1Dx2DyDx=2+Dx, y2x , y|x12. 即点A处的切线斜率为KAT2. 点A处的切线方程为y12(x1)即2xy10. 说明：通过本例搞清割线斜率，区间上平均变化率，某点处切线斜率与某点处的导数之间的区别与联系，再次验证了导数与平均变化率之间的关系 y=limDyDxDx0. 1x11+Dx例3利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y=角及该点处的法线方程 解析：解法一：f(x)= y|x=1=limDyDx1x在点P(1
11、，1)处的切线倾斜-Dx1+Dx, Dy=f(1+Dx)f(1)=-1. -1=, Dx0=lim-11+DxDx0即在点P处斜率为k1， 倾斜角为135， 法线方程y1x1即xy0. 解法(二)：y=f(x)1x，y=f (x)=-1x2, y|x=11. 即在点P处切线斜率为k=1，以下同法(一) 说明：求导致方法有两种，一种是利用导致定义法求导数，第二种用导数公式，要注意题目要求，若无声明，用最简单的方法即可 例4已知曲线y=3x上的一点P(0，0)，求过点P的切线方程. 解析：由y=3x, y=(3x)=13x32, 在x=0处导数不存在，由图形知 过P点的切线方程是x=0. 例5设曲
12、线ycosx在A(，6p32p6)点处的切线倾斜角为，求cot()的值 4p6p解析：y=cosx, y=sinx, x=p4时, k=sin1-=1+=12, tan=12， 12=1132 cot()=tan(31p4=-q)1+tanq1-tanq. 例6求曲线yx在点(3，27)处的切线与坐标轴所围成的三角形面积 解析： y=x3, y=3x2, y|x=3=27, 曲线 y=x3在点(3，27)处的切线方程为y2727(x3), 即y27x54. 其与x轴，y轴交点分别为(2，0)，(0，54) 切线与坐标轴围成的三角形面积为 S=25454. 21例7在抛物线yx2上取横坐标为x1
13、1及x23的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线？ 解析：已知两点A(1，1)B(3，9)，割线斜率为kAB=4, y2x，令y=2x4得x2, 即在点(2，4)处切线平行于这一割线 3函数和、差、积、商的导数 例1求下列函数的导数： y=3x2xcosx； y=tanxx； y=xtanx2cosx； y=11+1x. 解析： y=6x+cosxxsinx； y= y=(tanx)x-tanx(x)x2=xsecx-tanxx22； xsinx-2cosx, y=(xcosx+sinx)cosx-(xsinx-2)(-sinx)cosxcosx22 = y=x1+x
14、=1-1x+1sinx(cosx-2)+x. . , y=-1(x+1)2=1(x+1)2例2已知函数f(x)=x37x+1，求f (x)，f (1)，f (1.5). 解析：f(x)=x37x+1, y= f (x)=3x27, f (1)=4，f (1.5)=14. 注意：导函数与导数的区别与联系，函数在某一点的导数是导函数在这一点处的函数值 例3已知函数yx3ax2值 解析：y=3x2+2ax, 令y=0, 则3x2+2ax=0, x1=0, x2=当x=0时，y=0= 当x=23432343a的导数为0的x值也都使y值为0，求常数a的a, a， a=0，即a0满足条件, 827a+3a
15、时y0=-49a-243a 得a0或a3 检验知a3不满足条件， 常数的值为0. 例4曲线yx24x上有两点A(4，0)，B(2，4)，求 割线AB的斜率kAB； 过点A处的切线斜率kA； 点A处的切线方程。 解析： 割线AB的斜率kAB=4-02-4=2； y=2x+4， y|x=4=4，即kA=4； 过A点的切线方程为y04(x4)，即 y4x16. 例5已知F(x)=f(x)g(x)，就下列两种情形判断F(x)在xx0处是否可导？ f(x)在xx0处可导，g(x)在xx0处不可导 f(x)，g(x)在xx0处均不可导 解析： F(k)在xx0处不可导 假设F(x)在xx0处可导， 由F(
16、x)=f(x)g(x), g(x)F(x)f(x). f(x)在xx0处可导， g(x)在x=x0处可导，与条件g(x)在xx0处不可导矛盾， F(x)在xx0处不可导 F(x)在xx0处不一定可导 如设 f(x)=sinx+1x, g(x)=cosx, 则f(x)，g(x)在x0处均不可导， x11 但F(x)=f(x)+g(x)sinxcosx在x0处可导 另：若g(x)=tanx+上，在x0处不可导， x F(x)=f(x)+g(x)=sinx+tanx+2x在x0处也不可导 例6曲线yx3x1上求一点P，使过P点切线与直线y=4x7平行 解析： y=(x3x1)3x21， 由过P点切线
17、与直线y4x7平行， 令3x214得x1， 当x=1时，y=1，此时切线为y14(x1)，即y4x3与直线y4x7平行， P点坐标为(1，1)。 当x1时，y3，此时切线为y3=3(x1)，即y4x1也满足条件， P点坐标为(1，3). 综上得P点坐标为(1，1)或(1，3). 例7证明：过抛物线ya(xx1)(xx2), (a0，x1x2)上两点A(x1，0)，B(x2，0)的切线倾斜角互补 解析： y=2axa(x1+ x2). y|x=x=a(x1-x2), 即k1=a(x1x2), y|x=x=a(x2-x1), 即k2=a(x2x1), 11 k1=k2， 两切线倾斜角互补 例8已知
18、曲线y=f(x)及y=f(x)sinax，(a0)，其中f(x)0，且为可导函数，求证：两曲线在公共点处彼此相切 解析：由f(x)=f(x)sinax, f(x)0， sinax=1，ax=2k+2kp+p2 (kZ), p22kp+p2 x=a，设曲线交点(x0, y0)， 即x0=p2a. p2又两曲线y1=f(x)，y1=f (x)，y1=f(x)sinax，y2=f (x)sinax+acosxf(x) y1|x=x0=f(x0), y2|x=x=f(x0)sin(2kp+0)+af(x0)cos(2kp+)=f(x0), k1=k2，即两曲线在公共点处相切. 例9已知直线ykx与曲线
19、yx33x22x相切，求k的值 解析：由y=3x26x+2=k, 又由kx=x33x2+2x， 3x36x2+2x=x33x2+2x, 即2x33x20得x10或x2= k2或2314 4复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数 2例1函数y(sinx)3是由函数y ，u ，v= 三个函数复合而成 22解析：答案分别为：y=u3, u=sinv. v=x2. 例2求下列函数的导数： y=(x+2x)； y=e235+4x2； y=ax+bx+c； y(sinx)3； cos5xsin2x3221 yln(x1+x2)； yx3lig3x； y=； y=xn, (xR+, nR). 解析： y=
20、(x2+2x)3， y=3(x2+2x)2(2x+2)=6(x+1)(x2+2x)2. 5+4x y=e5+4x, y= e5+4x(8x)=8x. e222 y=ax+bx+c, y=213213(ax+bx+x)232-23(2ax+b). 2xcosx3222 y=(sinx)3, y=13(sinx)2-cosx2x=12. 11+x23(sinx)(1+2x21+x2 yln(x1+x2), y=x+1+x2)=. yx3lig3x, y=3x2lig3x+x3lig3e=3x2lig3x+x2lig3e=x2lig3(ex3). x1 y=y=cos5xsin2x, =1x(cos
21、5x)(sin2x)-cos5x(sin2x)(sin2x)2-5sin5xsin2x-2cos5xcos2x(sin2x)2. y=xn=(elnx)n=enlnx, y=enlnxn=nxn=nxn-1. x1 说明：本例集中训练常见函数求导公式，导数的四则运算法则，复合函数的求导法则等，这些要反复熟记 例3求函数(x-a)2(x-b)2f(x)=0axbxb的导数。 axbxb解析：f (x)= 2(x-a)(x-b)(x-b)+(x-a)0, f (x)= 2(x-a)(x-b)(2x-a-b)0axbxb例4若f(x)=xln(x5)，g(x)ln(x1),解不等式f (x)g(x)
22、. 解析：f (x)=1+1+1x-51x-5, g(x)=(x-3)21x-1, 由f (x)g(x)，有 x5或x1x-1, 即(x-5)(x-1)0, 又两函数定义域为x5, 所以，不等式f (x)g(x)的解集为(5，). 说明：求导数有关问题时还要注意原函数定义域 例5证明：可导奇函数的导数是偶函数。 解析： 法一：定义法： 设f(x)为可导奇函数，则f(x)f(x), f (x)=limf(-x+Dx)-f(-x)Dxf(x-Dx)-f(x)-DxDx0=lim-f(x-Dx)-f(x)DxDx0=limDx0=f (x). 即f (x)=f (x)导函数为偶函数. 法二：复合函数
23、求导法： 设f(x)为可导奇函数，则f(x)f(x)，两边对x求导 得：f (x)=f (x) 即 f (x)f ( x), f (x)f (x) f (x)为偶函数，即命题成立 同理可证：可导偶函数的导数是奇函数 例6石头落在平静水面上，产生同心波纹，若最外一圈波半径增大速度总是am/s，问在b秒末波扰动水面积的增大速度是多少？ 解析：设b秒末最外一圈波纹的半径为R，则R=ab, SR2，又 Ra， S|R=ab=2RR(t)|R=ab=2a2b. 即b秒末波扰动水面积的增大率为2a2b m2/s. 例7将水注入锥形容器中，其速度为4米3/分，设锥形容器的高为8米，顶口直径为6米，求当水深为
24、5米时，水面上升的速度(如图) 解析：设注入水t分钟后，水深为h米， 由相似三角形对应过之比可得水面直径为这时水的体积温V=(h)2h=383p64133p64h334h米， ，由于水面高9p64度h随时间t而变化，因此h是t的函数hh(t)，由此可得水的体积关于时间t的导数为VtVhht， Vt=(9p64h)ht=3hht2， 由假设，注水的速度为 4米3分 Vt=hht2=4, 即ht=4649ph2, 256225p 当h5米时，水面上升的速度为h|h=5=5函数的单调性和极值 (米/分). 1求函数yexx1的单调区间 解析：y=(exx+1)=ex1, 由ex10得x0，即函数在(
25、0, +)上为增函数； 由ex10得x0， f(x)在(0，1)上递增； 当x(1，2)时，y0，得单调递增；同理，由y0，得0x y=f(x) 在(0, p3p3p3x5p3, 即y=f(x)在(p5p3,3)内是或5p3x2， )和(5p3, 2)内都是单调递减。 例4设f(x)x2+1-ax (a0)，求a的范围，使函数f(x)在(0，)上是单调函数 解析：f (x)=xx+12-a，当x(0, +)时，0xx+121, a0，且f(x)在(0，)上是单调函数， 则必有f (x)0, x0y0，得或2x-0alga0a2a若 0a1, 则 lga0，则x2a2a2与定义域x(0, 1)矛
26、盾， 2a 只有a1，此时lga0, x-例6当x0时，证明不等式解析：设f(x)= 则f (x)=1(1+x)20, x2, 1a2. x1+xln(1+x)0时，f (x) =-x(1+x)20, 即f(x)在(0，)上是递减函数， 又当x0时，f(0)0 f(x)f(0), 即x1+x-ln(1+x)0, x1+x0时，g(x)O， g(x)也为减函数， 又当x0时，g(x)0， g(x)g(0). ln( 1x)x0即ln(1x)x. x1+xln(1+x)x例7右图是函数yx3x25x5的图象，试结合图形说明函数的极值情况： 解析：f (x)=3x2+2x5=(3x+5)(x1),
27、令f (x)=0, 得x1=, x2=1， 35 x=和x1是f(x)可能的极值点， 35又由图象可以看出，f()比它临近点的函数值大，f(1)比它临近点的函数35值要小， f()，f(1)分别是函数的极大值和极小值，除此之外，没有其它极值点 35例8设函数f(x)ax3bx2cx，在x1与x1处有极值，且f(1)1，求f(x)表达式. 解析： f(x)ax3bx2cx， f (x)=3ax2+2bx+c, x(, +)， 由已加f(x)在x=一1与x1时有极值 f (1)f (1)0， 又f(1)1， 3a+2b+c=03a-2b+c=0，解得 a+b+c=-112a=, b=0, c=21
28、32. f(x)=x332x. 例9已知f(x)=x2c，且g(x)=ff(x)=f(x21)，设(x)g(x)f(x)，问：是否存在实数，使(x)在(，1)上是减函数，并且在(1，0)上是增函数 解析：由ff(x)f( x21)得 (x2c)2c(x21)21，得c1， (x)g(x)f(x)x4(2)x2(2)是连续函数， (x)2x(2x22) 由(x)在(，1)上是减函数，且在(1，0)上是增函数， (x)|x=1=(1)=0， =4， 即存在实数4，使(x)满足条件 说明：本题若用函数单调性定义太繁！ 6函数的最大值和最小值 例1求函数f(x)5x2x+3-4-x的值域. x+30解
29、析：由得4-x0f(x)的定义域为3x4，原问题转化为求f(x)在区间3, 4上的最值问题。 yf (x)5+1x+3+124-x, 在3，4上f (x)0恒成立, f(x)在3，4上单调递增 当x3时ymin157， 当x=4时ymax=2027， 函数的值域为157，2027. 例2设af(a)，f(1)0， f(x)的最大值为f(0)b1， (a33a2)=3212 又f(1)f(a)=(a+1)2(a)0， 32 f(x)|min=f(1)， a1+b=a=62, a=63，b=1. 例3若函数f(x)在0，a上单调递增且可导，f(x)0， f(x)0，f (x)xf(x)0， f(x
30、)xf(x)x=f(x)x-f(x)x20， f(a)a在(0，a上是增函数。 在(0，a上最大值为 例4设g(y)1x24 xy3y4在y1，0上最大值为f(x)，xR， 求f(x)表达式； 求f(x)最大值。 解析：g(y)=4y2(y3x), y1, 0， 当x0时，g(y)0， g(y)在1, 0上递增, f(x)=g(0)=1x2. 当x0，在1，3x上恒成立，在(3x，0)上恒成立， 31 f(x)=g(3x)=1x2+27x4. 当x时，g(y)，g(y)在1，0上递减, f(x)=g(1)=x24x, 31 21-xf(x)=1-x2+27x42-x-4xx0-13x013.
31、x- 当x0时，f(x)f(0)=1， 当x(，0)时，f(x)=27(x3131191154)21542+1f()=31119, 当x时， f(x)( x2)24f(2)4, 1 4， f(x)|maxf(2)4. ax3例5设函数f( x)3x2+ (x(0，)，求正数a的范围，使对任意的x(0，)，都有不等式f(x)20成立。 解析：f (x)6xa153ax4，令f (x)=0得 x5， 2a1a1当0x5 时f (x)0， 22a1 x5是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点. 2 要使f(x)20恒成立， f(x)|min20, f(5)=35+22a1a2aa523=522a52
32、0, 解得a64. 25例6圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？ 解析：设圆柱的高为h，底面半径为R，则S=2Rh+2R2， h=S-2pR2pR122, V(R)S底面h=S-2pR2pR2pR=212SR-pR2, 由V(R)=0得S3R2=0得S=6R2， 6R2=2Rh+2R2， h=2R， 即当罐的高和底面直径相等时容积最大 例7已知三次函数f(x)=x(xa)(xb)，其中0ab 设f(x)在xs及x=t处取最值，其中st，求证：0satb； 设A(s，f(s)，B(t，f(t)，求证：AB中点C在曲线yf(x)上； 若ab22，求证：过原点且与曲线yf(x)相切的两直线不可能垂直。 解析：f (x)3x22(ab)x+ab， 由f(x)在xs和xt处取最值， s，t分别是方程f (x)0的两实根 f (0)=ab0，f (a)3a22(ab)a+ab=a(ab)0， f (x)0在(0，a)及(a，b)内分别有一个实根， s0，a+b(ab)22ab=(ab1)211 k1k21，即两切线不可能垂直。
