导数2单调性.docx

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1、导数2单调性导数单调性 例1、函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1时有极值10，求实数a、b。 简析：答案是a=-4,b=11，而学生往往会多出一解a=3,b=-3。f(x)0不是函数单调递增的充要条件。 用导数法确定函数的单调性的步骤是： 先求出定义域，再求出函数的导函数f(x)； 求解不等式f(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间； 求解不等式f(x)0，即f(x)在(-1,1)上是增函数 故t的取值范围是t5 例3、已知函数f(x)=(x3+3x2+ax+b)e-x， 如a=b=-3，求f(x)的单调区间； 若f(x)在(-,a),(2,b)单调增加，在(a,2),(

2、b,+)单调减少，证明b-a6. 分析：第问函数f(x)在a、2、b的左右两侧单调性相反，因此可以由f(2)=0得到参数a,b的关系，从而进行消元；再由f(a)=f(b)=0得到a,b是方程f(x)=0的根，求出b-a的代数式，证明结论 解：当a=b=-3时，f(x)=(x3+3x2-3x-3)e-x， 故f(x)=-(x3+3x2-3x-3)e-x+(3x2+6x-3)e-x =-e-x(x3-9x) =-x(x-3)(x+3)e-x. 当x-3或0x0； 当-3x3时，f(x)0 从而f(x)在(-,-3),(0,3)上单调递增，在(-3,0),(3,+)单调递减 (2)f(x)=-(x+

3、3x+ax+b)e332-x+(3x2+6x+a)e-x=-e-xx3+(a-6)x+b-a. 由条件得：f(2)=0，即2+2(a-6)+b-a=0，故b=4-a，从而 f(x)=-e-xx3+(a-6)x+4-2a. 因为f(a)=f(b)=0， 所以x+(a-6)x+4-2a=(x-2)(x-a)(x-b)=(x-2)(x-(a+b)x+ab). 将右边展开，与左边比较系数得，a+b=-2,ab=a-2 32故b-a=(b+a)2-4ab=12-4a 又(b-2)(a-2)0，即ab-2(a+b)+40由此可得a6. x2例4、已知函数f(x)=ln(1+x)- 1+x2求函数f(x)的

4、单调区间； n+ae对任意的nN*都成立若不等式(1+)，求1na的最大值 分析：第求单调区间可以利用解不等式f(x)0或f(x)0解决第问是恒成立问题中的参数范围问题，通过分离参数，转化为最值问题求解 解：函数f(x)的定义域是(-1,+)， 2ln(1+x)x2+2x2(1+x)ln(1+x)-x2-2x. f(x)=-=1+x(1+x)2(1+x)2设g(x)=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x，则g(x)=2ln(1+x)-2x 令h(x)=2ln(1+x)-2x，则h(x)=2-2x-2= 1+x1+x当-1x0，h(x)在(-1,0)上为增函数， 当x0时，h(x)0，h(x)

5、在(0,+)上为减函数 所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0，所以g(x)0(x0)， 函数g(x)在(-1,+)上为减函数 于是当-1xg(0)=0，当x0时，g(x)g(0)=0 所以，当-1x0,f(x)在(-1,0)上为增函数. 当x0时，f(x)1知，n11ln(1+)n0，a11ln(1+)n-n. 不妨令111=x，x(0,1，则设G(x)=-,x(0,1 nln(1+x)x11(1+x)ln2(1+x)-x2则G(x)=- +=2(1+x)ln2(1+x)x2x(1+x)ln2(1+x)x20,即(1+x)ln2(1+x)-x20. 由知，ln(1+x)-1+x2所

6、以G(x)0,x(0,1,于是G(x)在(0,1上为减函数. 故函数G(x)在(0,1上的最小值为G(1)=所以a的最大值为1-1 ln21-1 ln2例5、已知函数f(x)=x3+bx2+ax+d的图象过点P,且在点M(-1,f(-1)处的切线方程为6x-y+7=0. 求函数y=f(x)的解析式；求函数y=f(x)的单调区间. 解：由f(x)的图象经过P，知d=2， 所以f(x)=x+bx+cx+2, 32f(x)=3x2+2bx+c. 由在M(-1,f(-1)处的切线方程是6x-y+7=0，知 -6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1,f(-1)=6. 3-2b+c=6,2b-c=3,即

7、解得b=c=-3. -1+b-c+2=1.b-c=0,故所求的解析式是 f(x)=x-3x-3x+2. f(x)=3x-6x-3.232令3x2-6x-3=0,即x2-2x-1=0. 解得 x1=1-2,x2=1+2. 当x1+2时,f(x)0; 当1-2x1+2时,f(x)0，f(x)0对x(-,+)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾 若a=0，f(x)=10 x(-,+)，f(x)也只有一个单调区间，矛盾 若a0 f(x)=3a(x+13|a|)(x-13|a|13|a|)和()，此时f(x)恰有三个单调区间 13|a| a0时，f(x)是增函数；当f(x)0或f(x)0对应的解集

8、；但如果问题是已知函数在区间(a,b)上单调递增时，问题的实质是解决不等式f(x)0恒成立问题 练习 1、已知函数f(x)=x3+ax2-x+c，且a=f 求a的值； 求函数f(x)的单调区间； 设函数g(x)=f(x)-x3ex，若函数g(x)在x-3,2上单调递增，求实数c的取值范围 解：由f(x)=x3+ax2-x+c，得f(x)=3x2+2ax-1 当x=23222222时，得a=f=3+2f-1， 33333解之，得a=-1 4分 因为f(x)=x3-x2-x+c 从而f(x)=3x-2x-1=3(x+)(x-1)，列表如下： 213x f (x) f(x) 1(- , -) 3 1

9、- 30 有极大值 1(- , 1) 3 1 0 有极小值 (1 , +) 所以f(x)的单调递增区间是(-,-)和(1,+)； 131f(x)的单调递减区间是(-,1) 9分 3函数g(x)=(f(x)-x)e=(-x-x+c)e， 有g若曲线y=f(x)在点P(1,f(1)处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f(x)的单调区间； 若对于x(0,+)都有f(x)2(a-1)成立，试求a的取值范围； 记g(x)=f(x)+x-b (bR).当a=1时，函数g(x)在区间e-1, e上有两个零点，求实数b的取值范围. 解: (I) 直线y=x+2的斜率为1. 函数f(x)的定义域为(0,+)

10、， 2a2a+f(1)=-+=-1，所以a=1. 所以，22xx112x-2所以f(x)=+lnx-2. f(x)=. xx2因为f(x)=-由f(x)0解得x2；由f(x)0解得0x0解得x；由f(x)0解得0x2(a-1)成立， 所以f2(a-1)即可. 2a2222+aln-22(a-1). 由alna解得0a0解得x1；由g(x)0解得0x1. 所以函数g(x)在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, +)为增函数. g(e-1)0,-1又因为函数g(x)在区间e, e上有两个零点，所以g(e)0, g(1)0. 解得10时，令g(x)=0，得x=0或x=当2-a 10分 a2-a0，

11、即0a2时， ax g(x) g(x) (-,0) - 0 2-a2(0,) a+ 2-a2 a0 极大值 2-a2(,+) a- 0 极小值 2-a22-a2)，单调递减区间为(-,0)，(,+)； g(x)的单调递增区间为(0,aa当2-a=0，即a=2时，g(x)=-2x2e-2x0， a 故g(x)在(-,+)单调递减； 12分 当x g(x) g(x) 2-a2时， a22(-,-a) -a aa- 0 极小值 2(-a,0) a+ 0 0 极大值 (0,+) - 2-a22-a2)上单调递 13,0)上单调递增，在(0,+)，(-,g(x)在(aa分 综上所述，当a=0时，g(x)

12、的单调递增区间为(0,+)，单调递减区间为(-,0)； 2-a2)，单调递减区间为(-,0)，当0a2时，g(x)的单调递增区间为(a2-a2(-,) a4、已知函数f(x)=x-alnx，g(x)=-若a=1，求函数f(x)的极值； 1+a, (aR). x设函数h(x)=f(x)-g(x)，求函数h(x)的单调区间； ()若在1,e上存在一点x0，使得f(x0)0时，即a-1时，在(0,1+a)上h(x)0， 所以h(x)在(0,1+a)上单调递减，在(1+a,+)上单调递增； 7分 当1+a0，即a-1时，在(0,+)上h(x)0， 所以，函数h(x)在(0,+)上单调递增. 8分 在1

13、,e上存在一点x0，使得f(x0)g(x0)成立，即 在1,e上存在一点x0，使得h(x0)0，即 1+a-alnx在1,e上的最小值小于零. 9分 x由可知 函数h(x)=x+即1+ae，即ae-1时， h(x)在1,e上单调递减， 1+ae2+1所以h(x)的最小值为h(e)，由h(e)=e+， -aee-1e2+1e2+1因为； 10分 e-1，所以ae-1e-1当1+a1，即a0时， h(x)在1,e上单调递增， 所以h(x)最小值为h(1)，由h(1)=1+1+a0可得a-2； 11分 当11+ae，即0ae-1时， 可得h(x)最小值为h(1+a)， 因为0ln(1+a)1，所以，

14、0aln(1+a)2 此时，h(1+a)或a0) 2求函数y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程； 求函数y=f(x)的单调区间和极值 解：f(0)=1, f/(x)=ax(x-a+1)+x-a=, 2分 x+1x+1f/(0)=0 所以函数y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=14分 函数的定义域为(-1,+) 令f(x)=0,得解得：x=0,当a1时, 列表： x(x-a+1)=0 x+1x=a-1 5分 x f/(x) f(x) (-1,0) + 0 0 极大 (0,a-1) - a-1 0 极小 (a-1,+) + 可知f(x)的单调减区间是(0,a-1)，增区间是(-1

15、,0)和(a-1,+)； 极大值为f(0)=1,极小值为13f(a-1)=alna-a2+ 8分 22当0a1时, 列表： x f/(x) f(x) (-1,a-1) + a-1 0 极大 (a-1,0) - 0 0 极小 (0,+) + 可知f(x)的单调减区间是(a-1,0)，增区间是(-1,a-1)和(0,+)； 极大值为f(a-1)=alna-当a=1时, f(x)0 可知函数f(x)在(-1,+)上单增, 无极值 13分 6、已知函数f(x)=kx-123a+,极小值为f(0)=1 11分 22k-2lnx. x若f(2)=0，求函数y=f(x)的解析式； 若函数f(x)在其定义域内

16、为增函数，求实数k的取值范围. k2kx2-2x+k解： f(x)=k+2-=， 2分 2xxx由f(2)=0，得k=函数f(x)=4. 544x-2lnx. 4分 55x函数y=f(x)的定义域为函数(0,+) 5分 要使函数函数y=f(x)在其定义域内为单调增函数，只需函数f(x)0在区间(0,+)恒成立.即kx2-2x+k0在区间(0,+)恒成立. 2x在区间(0,+)恒成立. 9分 x2+12x令g(x)=2，x(0,+)， x+1即kg(x)=2x=2x+121x+xax1，当且仅当x=1时取等号， k1.13分 ax7、已知函数f(x)=e(+a+1)，其中a-1. 当a=1时，求

17、曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程； 求f(x)的单调区间. xx解：当a=1时，f(x)=e(+2)，f(x)=e(+2-1x1x1)2分 2x由于f(1)=3e，f(1)=2e， 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是2ex-y+e=0 4分 解：f(x)=aeax(x+1)(a+1)x-1，x0 6分 2x 当a=-1时，令f(x)=0，解得 x=-1 f(x)的单调递减区间为(-,-1)；单调递增区间为(-1,0)，(0,+)8分 当a-1时，令f(x)=0，解得 x=-1，或x=1 a+11,+)；单调递增区a+1 当-1a0时，f(x)的单调递减区间为(-

18、1,0)，(0,1)；单调递增区间为a+11,+) 13分 a+11-kx28、已知函数f(x)=e(x+x-)(k0). k(-,-1)，(求f(x)的单调区间； 是否存在实数k，使得函数f(x)的极大值等于3e？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 解：f(x)的定义域为R. -2 f(x)=-ke-kx1(x2+x-)+e-kx(2x+1)=e-kx-kx2+(2-k)x+2， k即 f(x)=-e-kx(kx-2)(x+1)(k0). 2分 令f(x)=0，解得：x=-1或x=2. k当k=-2时，f(x)=2e2x(x+1)20，故f(x)的单调递增区间是(-?, ). 3分

19、当-2k0时， f(x)，f(x)随x的变化情况如下： x f(x) f(x) 2(-,) k2 k0 极大值 2(,-1) k- -1 0 极小值 (-1,+) + + 2k 2k所以，函数f(x)的单调递增区间是(-,)和(-1,+)，单调递减区间是(,-1). 5分 当k-2时， f(x)，f(x)随x的变化情况如下： x f(x) f(x) (-,-1) -1 0 极大值 2(-1,) k- 2 k0 极小值 2(,+) k+ + 2k 2k所以，函数f(x)的单调递增区间是(-,-1)和(,+)，单调递减区间是(-1,). 7分 -2当k=-1时，f(x)的极大值等于3e. 理由如下

20、： 当k=-2时，f(x)无极大值. 当-2k0时，f(x)的极大值为f=e(2k-241+)， k2k8分 令e(-241414-2+)=3e+=3,k=k=-1，即 解得 或. 22kk3kk 9分 ek 当k-2时，f(x)的极大值为f(-1)=-. k10分 因为 ee，0-k-211， k2ek1-2e. 所以 -k2因为 1-2e0得x0；由f(x)0. 所以函数f(x)在区间(-,0)单调递增, 在区间(0,+)单调递减. 6分 22 当a0时, 设g(x)=ax-2x+a，方程g(x)=ax-2x+a=0的判别式 D=4-4a2=4(1-a)(1+a), 7分 当0a0. 1-

21、1-a21+1-a2 由f(x)0得x； aa1-1-a21+1-a2x 由f(x)0得. aa1-1-a21+1-a2)和(,+), 所以函数f(x)单调递增区间是(-,aa 1-1-a21+1-a2,). 9分 单调递减区间(aa 当a1时，此时D0.所以f(x)0， 所以函数f(x)单调递增区间是(-,+). 10分 当-1a0. 1+1-a21-1-a2x0得； aa1+1-a21-1-a2 由f(x)0得x. aa1+1-a21-1-a2)和(,+), 所以当-1a0时,函数f(x)单调递减区间是(-,aa 1+1-a21-1-a2,). 12分 单调递增区间(aa 当a-1时, 此时D0，f(x)0，所以函数f(x)单调递减区间是(-,+). 13分