小学数学教师招聘考试专业知识归纳.docx

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1、小学数学教师招聘考试专业知识归纳 数学第一章-集合 榆林教学资源网 考试内容： 集合、子集、补集、交集、并集 逻辑联结词四种命题充分条件和必要条件 考试要求： 榆林教学资源网 理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义 01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： 集合 1 1. 基本概念：集合、元素；有限

2、集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： 任何一个集合是它本身的子集，记为AA； 空集是任何集合的子集，记为fA； 空集是任何非空集合的真子集； 如果AB，同时BA，那么A = B. 如果AB，BC，那么AC. 注：Z= 整数 Z =全体整数 已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集. 空集的补集是全集. 若集合A=集合B，则CBA = ， CAB = CS= D . 3. |xy =0，xR，yR坐标轴上的点集. |xy0，xR，yR二、四象限的点集. |xy0，xR，yR 一

3、、三象限的点集. 注：对方程组解的集合应是点集. 例： x+y=3 2x-3y=1 解的集合(2，1). 2 点集与数集的交集是f. 4. n个元素的子集有2n个. n个元素的真子集有2n 1个. n个元素的非空真子集有2n2个. 5. 一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题. 一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题. 例：若a+b5，则a2或b3应是真命题. 解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. x1且y2， x+y3. 解：逆否：x + y =3x1且y2x = 1或y = 2. 又不是必要条x+y3,故x+y3是x

4、1且y2的既不是充分，件. 小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若xf5，xf5或xp2. 4. 集合运算：交、并、补. 交：ABx|xA,且xB并：ABx|xA或xB 补：CUAxU,且xA5. 主要性质和运算律 包含关系：AA,FA,AU,CUAU,AB,BCAC;ABA,ABB;ABA,ABB.B=U 等价关系：ABAB=AAB=BCUA3 集合的运算律： 交换律：AIB=BIA;AUB=BUA. 结合律:(AIB)IC=AI(BIC);(AUB)UC=AU(BUC) 分配律:.AI(BUC)=(AIB)U(AIC);AU(BIC)=(AUB)I(AUC) 0-1律：FA=

5、F,FA=A,UA=A,UA=U 等幂律：AIA=A,AUA=A. 求补律：ACUA= ACUA=U CUU= CU=U 反演律：CU(AB)= (CUA)(CUB) CU(AB)= (CUA)(CUB) 6. 有限集的元素个数 定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card() =0. 基本公式： (1)card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)(2)card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(BC)-card(C+card(ABC)A)(3) card(UA)= card(U)- c

6、ard(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法 将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)0(0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“0(0)的解可以根据各区间的符号确定. 特例 一元一次不等式axb解的讨论； 一元二次不等式ax2+box0(a0)解的讨论. 二次函数 y=ax2+bx+c D0 D=0 D0 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0有两相异实根 有两相等实根 x1,x2(x10)的根ax2+bx+c0(a0)的解集x1=x2=-b 2a 无实根 R bxxx2 xx- 2aax2+bx+c0)的解集xx1x0(

7、或0f(x)g(x)0;0g(x)0g(x)g(x)3.含绝对值不等式的解法 公式法：ax+bc(c0)型的不等式的解法. 定义法：用“零点分区间法”分类讨论. 几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) 根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之. 根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. 简易逻辑 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”

8、、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 6 构成复合命题的形式：p或q(记作“pq” )；p且q(记作“pq” )；非p(记作“q” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 “非p”形式复合命题的真假与F的真假相反； “p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假； “p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真 4、四种命题的形式： 原命题：若P则q； 逆命题：若q则p； 否命题：若P则q；逆否命题：若q则p。 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否

9、定，所得的命题是逆否命题 5、四种命题之间的相互关系： 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题) 、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 7 原命题若p则q互否否命题若p则q互逆互为为互否逆命题若q则p互否逆否命题若q则p逆逆否互逆 、原命题为真，它的否命题不一定为真。 、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。 若pq且qp,则称p是q的充要条件，记为pq. 7、反证法：从命题结论的反面出发，引出(与已知、公理、定理)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 8 数学第二章-函数 考试内

10、容： 映射、函数、函数的单调性、奇偶性 反函数互为反函数的函数图像间的关系 指数概念的扩充有理指数幂的运算性质指数函数 对数对数的运算性质对数函数 函数的应用 考试要求： 了解映射的概念，理解函数的概念 了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法 了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数 理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和性质 理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质 能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题 02. 函数 知识要点 9 一

11、、本章知识网络结构： 定义F:AB反函数映射函数具体函数一般研究图像 性质 二次函数指数指数函数对数对数函数二、知识回顾： 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数 反函数的定义 设函数y=f(x)(xA)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=j(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=j(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=j(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数

12、，这样的函数x=j(y) (yC)叫-1做函数y=f(x)(xA)的反函数，记作x=f(y),习惯上改写成y=f-1(x) 10 函数的性质 函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2, 若当x1x2时，都有f(x1)f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数； 若当x1f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性 正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题

13、：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件；f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是定义域上的恒等式。 2奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。 3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增减性相反. 4如果f(x)是偶函数，则f(x)=f(|x|)，反之亦成立。若奇函数在x=0时有意义，则f(0)=0。 11 7. 奇函数，偶函数： 偶函数：f(-x)=f(x) 设为偶函数上一点，则也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足 定义域一定要关于y轴对称，

14、例如：y=x2+1在1,-1)上不是偶函数. 满足f(-x)=f(x)，或f(-x)-f(x)=0，若f(x)0时，奇函数：f(-x)=-f(x) 设为奇函数上一点，则也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足 定义域一定要关于原点对称，例如：y=x3在1,-1)上不是奇函数. 满足f(-x)=-f(x)，或f(-x)+f(x)=0，若f(x)0时，y轴对称y=f8. 对称变换：y = f x轴对称y=-fy =f f(x)=1. f(-x)f(x)=-1. f(-x)y=-fy =f原点对称 9. 判断函数单调性作差法：对带根号的一定要分子有理化，(x+x)222f(x1)-f(x2)

15、=x21+b-x2+b=1212例如： 在进行讨论. 22xx+b2+x1+b210. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数f= 1+BAx的定义域为A，函数ff的定义1-x域是B，则集合A与集合B之间的关系是 . 12 解：f(x)的值域是f(f(x)的定义域B，f(x)的值域R，故BR，而A=x|x1，故BA. 11. 常用变换： f(x+y)=f(x)f(y)f(x-y)=f(x). f(y)证：f(x-y)=yf(y)f(x)=f(x-y)+y=f(x-y)f(y) f(x)f(xy)=f(x)+f(y) f(x)=f(x)-f(y)y证：f(x)=f(xy)=f(x)+

16、f(y) y12. 熟悉常用函数图象： 例：y=2|x|关于y轴对称. |x|1y=2|x+2|1y=2|x|1y=2|x+2|yyy(0,1)x(-2,1)xxy=|2x+2x-1|y|关于x轴对称. 2y熟悉分式图象： 例：y=2x+1=2+x-37x-3x定义域x|x3,xR， 值域y|y2,yR值域x前的系数之比. 指数函数与对数函数 13 y2x3 x指数函数y=a(a0且a1)的图象和性质 图 -4a1 4.540a0时，y1;x0时，0y1;x1. 0y1 0a1图 Ox象 x=1a0 在上是增函在上是减函数 数 注：当a,bp0时，log(ab)=log(-a)+log(-b)

17、. ：当Mf0时，取“+”，当n是偶数时且Mp0时，M故取“”. 例如：logax22logaxQ(2logax中x0而logax2中xR）. y=ax与y=logax互为反函数. 当af1时，y=logax的a值越大，越靠近x轴；当0pap1时，则相反. nx(0,1)时 y0 时 x(1,+)x(1,+)时y0,d0时，满足am0am0的项数m使得sm取最大值. (2)当a10时，满足的a0a0m+1m+1项数m使得sm取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 、数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 26 2.裂项相消法

18、:适用于c其中 an是各项不为0的等差数anan+1列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。 bn是各项不 3.错位相减法:适用于anbn其中 an是等差数列，为0的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法. 5.常用结论 1）: 1+2+3+.+n = n(n+1) 22） 1+3+5+.+(2n-1) =n2 1 3）1+2+L+n=n(n+1)2 3332 4） 12+22+32+L+n2=n(n+1)(2n+1) 5） 6） 1111111=-=(-) n(n+1)nn+1n(n+2)2nn+21111=(-)(pq) pqq-ppq161 数学第四章-三

19、角函数 考试内容： 角的概念的推广弧度制 27 任意角的三角函数单位圆中的三角函数线同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式 两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切 正弦函数、余弦函数的图像和性质周期函数函数y=Asin(x+)的图像正切函数的图像和性质已知三角函数值求角 正弦定理余弦定理斜三角形解法 考试要求： 理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的

20、正弦、余弦、正切公式 能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(x+)的简图，理解A.、的物理意义 会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinxarc-cosxarctanx表示 掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形 28 “同角三角函数基本关系式：sin2+cos2=1，sin/cos=tan,tancos=1” 04. 三角函数 知识要点 1. 与a终边相同的角的集合：b|b=k360o+a,kZ 终边在x轴上的角的集合： y2sinx1cosxcos

21、x3sinxb|b=k180,kZ o4cosxcosx1sinx2sinx3x终边在y轴上的角的集合：b|b=k180o+90o,kZ 终边在坐标轴上的角的集合：b|b=k90o,kZ 4、2、3、4表示第一、二、三、终边在y=x轴上的角的集合：b|b=k180o+45o,kZ1 四象限一半所在区域SINCOS三角函数值大小关系图终边在y=-x轴上的角的集合：b|b=k180o-45o,kZ a=360ok-b 若角a与角b的终边关于x轴对称，则角a与角b的关系：若角a与角b的终边关于y轴对称，则角a与角b的关系：a=360ok+180o-b 若角a与角b的终边在一条直线上，则角a与角b的关系：a=180ok+b 角a与角b的终边互相垂直，则角a与角b的关系：a=360ok+b90o 2. 角度与弧度的互换关系：360=21=57.30=5718 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad18057.30=5718 1pp 180=p 1=0.01745 29 p180 0.01745 12123、弧长公式：l=|a|r. 扇形面积公式：s扇形=lr=|a|r2 4、三角函数：设a是一个任意角，在a