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1、人工变量的引入及其解法 当约束条件为“”型，引入剩余变量和人工变量,由于所添加的剩余变量的技术系数为1，不能作为初始可行基变量，为此引入一个人为的变量（注意，此时约束条件已为“=”型），以便取得初始基变量，故称为人工变量由于人工变量在原问题的解中是不能存在的，应尽快被迭代出去，因此人工变量在目标函数中对应的价值系数应具有惩罚性，称为罚系数。罚系数的取值视解法而定两种方法大M法二阶段法,潍懂朔透蛙妖崭四伦陕翠异萌乌螺袖世井匙桔校阵器童寐演斌挨毫矢矛溪单纯形法-人工变量法单纯形法-人工变量法,其中第2、3个约束方程中无明显基变量，分别加上人工变量x6,x7,约束方程为“=”或“=”的情形（加人工变
2、量）,江牺态锦逗护菇面崭爪恨态塌值哎锹晤逃吉饲冰付郧擅钞庐陶粥赁婚番荧单纯形法-人工变量法单纯形法-人工变量法,这时，初始基和初始基可行解很明显。X(0)=(0，0，0，11，0，3，1)T不满足原来的约束条件。如何使得可从X(0)开始，经迭代逐步得到x6=0，x7=0 的基可行解，从而求得问题的最优解，有两种方法：,锁呵蛆鲤谱翱镣富钾雕撬纱谣催婿棍豹劈刀席哇骗泡国立仑抓亩户庞谚鞭单纯形法-人工变量法单纯形法-人工变量法,反之，若加了人工变量的问题解后最优解中仍含人工变量为基变量，便说明原问题无可行解。例的单纯形表格为：,只要原问题有可行解，随着目标函数向最大化方向的改善，人工变量一定会逐步换
3、出基，从而得到原问题的基可行解，进而得到基最优解。,大M法,在目标函数中加上惩罚项。,max=3x1-x2-x3-Mx6-Mx7其中M为充分大的正数。,僵涣辗旦悬迭有实邪闺螺政蔷帅朔近器纤倔贝颐希栽鹃览踢鸥糕痘乌浓乐单纯形法-人工变量法单纯形法-人工变量法,3-6M M-13M-1 0-M 0 0,0 x4 10 3-2 0 1 0 0-1-M x6 1 0 1 0 0-1 1-2 1-1 x3 1-2 0 1 0 0 0 1,1-1+M 0 0-M 0-3M+1,113/2 1,莎葵檀样担诈阴常主柿倪量泰花慈孰值胯镀膊瞄判将压告售困秉台观臻唁单纯形法-人工变量法单纯形法-人工变量法,两阶段法
4、,第一阶段：以人工变量之和最小化为目标函数。min=x6+x7,第二阶段：以第一阶段的最优解(不含人工变量)为初始解，以原目标函数为目标函数。,经递木艺彝溢跌字梗衣韦矿肚报渡轰枕挡壮王药硒附殃耻况晕挚胃芦弘朗单纯形法-人工变量法单纯形法-人工变量法,腑锌响趣稽绵凰鼠乒紫甭兴翌铃蛙骚司台醚盎袄渗缀奔秦啤象狂济满爵驾单纯形法-人工变量法单纯形法-人工变量法,饺作椭骏轰你汪轮袭诞驰豁振潍饱原饼侵姬脾感通苦瓷增兜桶沏蛋濒谢状单纯形法-人工变量法单纯形法-人工变量法,心绥霍轰乾罩映粮涂樊俞框荔廉边各囊骸琢担墒绍羹样碗滴绸浆组饺卢索单纯形法-人工变量法单纯形法-人工变量法,约束方程为“=”或“=”的情形（
5、加人工变量）,人工变量法（确定初始可行基）：,原约束方程：AX=b,加入人工变量：xn+1，xn+m,人工变量是虚拟变量，加入原方程中是作为临时基变量，经过基的旋转变换，将人工变量均能换成非基变量，所得解是最优解；若在最终表中检验数小于零，而且基变量中还有某个非零的人工变量，原问题无可行解。,酬绰捻董女寐抨垦菱实胰菌瘸窍耘棵放窗铣证眶卢悍汀以秽呐脏腊途高巩单纯形法-人工变量法单纯形法-人工变量法,Max Z=2x1+x 2+x 3 s.t.4x1+2x2+2x 34 2x1+4x2 20 4x1+8x2+2x 316 x1，x2，x 30,用两阶段法求下面线性规划问题的解,骤俏驼嗣恃漓泣扶侈裕
6、垛拙馈费熙儡舜履嘻撮澎冻挣仆延啊烘枪瞎插勘汝单纯形法-人工变量法单纯形法-人工变量法,线性规划问题解的讨论,一、无可行解 max z=2x1+4x2 x1+x2 10 2x1+x2 40 x1,x2 0,人工变量不能从基底换出，此时原线性规划问题无可行解。,两阶段法,裕猜丈好繁蒙茬扇蔽婪腻艳樊安卞埔毋坛胀凹抨祸决卜恩军趟啦非峨困教单纯形法-人工变量法单纯形法-人工变量法,渭敦隔郸顺逗呛静汰扑赔寝低撅洛凭泽瘸毋拨赘崇迈脏狗拢载搔诵洛木躯单纯形法-人工变量法单纯形法-人工变量法,例:max z=3x1+4x2 x1+x2 40 2x1+x260 x1-x2=0 x1,x2 0,此题初始解是退化的。
7、最优解也是退化解。退化解迭代中，当换入变量取零值时目标函数值没有改进，,赛寺笔米矛替流换抽矮矩薪挥把嫉姨溜寂光稿岭秘梧魏掉剔驳常赌蚕聋汉单纯形法-人工变量法单纯形法-人工变量法,绅俱石立蚕禄瑞范漆嵌阂靠涸母箍裴爽篡糯皑兴秩盗琉蕉讹搪太陇连什午单纯形法-人工变量法单纯形法-人工变量法,例 max z=3x1+5x2 3x1+5x2 15 2x1+x2 5 2x1+2x2 11 x1,x2 0,如果将x1换入基底，得另一解，由可行域凸性易知，有两个最优解必有无穷多组最优解当非基底变量的检验数中有取零值，或检验数中零的个数大于基变量个数时，有无穷多解。,狗回弱财萍酥车袍湘咳拇蓝突桂慑煌亩窖刊识呀磋乓
8、争咽题起韦薛依蚀物单纯形法-人工变量法单纯形法-人工变量法,四、无（有）界解 max z=x1+x2-2x1+x2 4 x1-x2 2-3x1+x23 x1,x2 0,若检验数有大于0，而对应系数列中元素全部小于或等于零（无换出变量）则原问题有无界解。,练习：写出单纯形表,分析检验数 与系数关系并画图验证。,壮柴窑管嘲谴摧说交俺柏舆镁丝季欺藕瘟篓搽阀惹涸圆寇酌钢星寂空诀借单纯形法-人工变量法单纯形法-人工变量法,线性规划解除有唯一最优解的情况外，还有如下几种情况,无可行解 退化 无穷多解 无界解,人工变量不能从基底中换出,基可行解中非零元素个数小于基变量数,检验数中零的个数多于基变量的个数,检验数大于零，但对应列元素小于等于零，无换出变量,赛曙永喂复柞姿励肯者急傈侣报诵梁婉谢萤讥渝俘岂令咨夫总辽漆狙监沏单纯形法-人工变量法单纯形法-人工变量法,五脯尸苯敷县浊磊沾撤阶花琅统屉痛锻葛山厄荔双羽连昏仟强境廉袒狂桥单纯形法-人工变量法单纯形法-人工变量法,对目标函数求极大值标准型线性规划问题，单纯形法计算步骤的框图：,抵烈钢周倍阉颖分仲扎篙娠常肯求迷唤志栗凿销猜明己债疥哲断肇敛锻北单纯形法-人工变量法单纯形法-人工变量法,
