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1、山东大学高等数学期末复习参考题 山东大学数学分析III期末复习参考题 题 号 得 分 一 二 三 四 总 分 一 选择题 1.函数x2+y2,xy=0在点处。 f(x,y)=xy01,A）存在函数极限； B）连续； C）存在偏导数； D）不存在偏导数。 y2.函数z=x(x0)，而x=sint,y=cost,则dz=。 dtA）yxC）yxy-1cost-xysintlnx； B）yxy-1cost+xysintlnx； sint-xycostlnx； D）yxy-1sint-xysintlnx。 y-1x=arsinjcosq(x,y,z)3.变换y=brsinjsinq，,=. (r,j,
2、q)z=crcosjA）r； B） abcr； C）r4.无穷积分2sinj； D）abcr2sinj。 +0e-xdx,+0。 xe-xdx的值分别为2A）1,0.5； B）0.5,1; C） 1,1; D） 0.5,0.1. 5. 下列描述错误的是。 A)a0,G(a+1)=aG(a)； B)nN,G(n)=n!； +C)G=p； D)p0,q0,B(p,q)=101-x012G(p)G(q). G(p+q)6、dxf(x,y)dy=( ) A) C)1-x010dyf(x,y)dx； B)dy0011000111-x0f(x,y)dx； dyf(x,y)dx； D)dy1-yf(x,y)
3、dx. 7、设W是由三个坐标面与平面x+2y-z=1所围成的空间区域,则xdxdydz=( ). W A) 1111 ； B) - ； C) ； D) - . 244848243,则4ds的值为( ). L28、设L为x=x0,0y A)4x0; B)6, C)6x0, D)4 . 9.无穷积分+0e-xsin2xdx=( ). A)1234; B) ; C) ; D) . 55552210、若为z=2-(x+y)在xoy面上方部分曲面,则dS=( ). A) C)2p0dqr021+4rrdr; B)dq022p2021+4r2rdr; 1+4r2dr. 2p0dq01+4r2rdr; D)
4、2p0dq0二、填空题 1 积分I=x+y1ln(x2+y2)ds的正负号为。(I0或I0) 2. 若函数f(x,y)=2x+ax+xy+by在点(1,-1)处取得极值，则 22a，b。 3. 广义积分+1dx当_时收敛；当_时发散. xp4.dx+dy,其中ABCDA是以A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1),为顶点的正方形正x+yABCDA向边界线 . 5.积分lnx0x-1dx的瑕点是. 1三 计算题(共 4小题,共20分) 1、判别下列广义积分的敛散性：(写出判别过程)1).+0x2dx42x+x+12)21dx(lnx)32.计算I1=(z2+5xy2sinx2+
5、y2)dxdydz,其中W由z=(x2+y2),z=4围成. 2W3.求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者. 4.验证曲线积分G(y+z)dx+(z+x)dy+(x+y)dz与路径无关, 并求函数 (x,y,z)(0,0,0)u(x,y,z)=+0(y+z)dx+(z+x)dy+(x+y)dz 四 证明题(共 2小题,共20分) 1. 已知ue-uxdx, 证明: 1)在a,b(a0)一致收敛; 2)在0,+)非一致收敛。 2.设空间闭区域W由曲面z=a-x-y与平面z=0所围成，S为W的表面外侧，V 为W的体积。证明： 2222xyzdydz-xyzdzdx+z(1+xyz)dxdy=V
6、.(a0) S222数学分析III期末试卷19答案与评分标准 一.选择题 CADAB DABBC 二.填空题 1. I0; 2.a=-5，b=2 ; 3. p1,p1; 4. 0 ; 5. x=0; 三计算题(共4小题,共20分) 1. 1)、+x20x4+x2+1dx xlimx22+x4+x2+1x=1收敛； 2)、2dx1(lnx)32lim13(x-1)x6(x-1+(lnx)3(x-1)3=lim1)xx1+3(lnx)2=limx1+6(lnx)=1发散；x2.I=(z2+5xy2sinx2+y2)dxdydz (对称性) W=z2dxdydz (截面法) W=40z2p2zdx
7、=128p 3. 解: 设内接三角形各边所对的圆心角为x , y , z ,则 x+y+z=2p,x0,y0,z0 它们所对应的三个三角形面积分别为 S=122R(sinx+siny+sinz) 设拉氏函数 F=(sinx+siny+sinz)+l(x+y+z-2p) 5分） 234 4.解:令P=y+z,Q=z+x,R=x+y QPQQRRP =1=,=1=,=1=yxzyxy积分与路径无关,因此 xyzu(x,y,z)=0dx+xdy+(x+y)dz 000=xy+(x+y)z=xy+yz+zx 四证明题(共2小题,共20分) 1. 1）先证在a,b(a0)一致收敛 e0,$A0a,AA0
8、,ua,b, |ue-uxdx|=e-uAe-aAA+11ln ae即A0=11ln ae2）再证在0,+)非一致收敛 $e00,A0,$A0A,$u0-u0x0,+), |u0eA0+dx|=e-u0A0令u0=1A0=e-1e0=e-2 2 证明： 由高斯公式，有 左边积分=22(2xyz-2xyz+1+2xyz)dxdydz=V+2xyzdxdydz WW2paa2-r2Qxyzdxdydz=sinqcosqdqr3drW00012pzdz=sin2q|0r3dr20aa2-r2 zdz=00由于W关于xoz面对称，又f(x,y,z)=xyz是W上关于y的奇函数，故 原积分=0 即等式成立。 xyzdxdydz=0W
