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1、工程数学 线性代数 周勇 朱砾 答案习题三 1、2、3、略 4、a1-a2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1) 3a1+2a2-a3=3(1,1,0)+2(0,1,1)-(3,4,0)=(0,1,2) 5、 3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)1a=(3a1+2a2-5a3)66、设存在一组数k1,k2,L,kr使得 k1b1+k2b2+L+krbr=0=k1a1+k2(a1+a2)+L+kr(a1+a2+L+ar)=(k1+k2+L+kr)a1+(k2+L+kr)a2+L+krar=0因a1,a2,Lar线性无关， k1+k2+L+kr=0k+L+k=02r有即k1=
2、k2=L=kr=0， Lkr=0所以b1,b2,Lbr线性无关。 7、设存在一组数k1,k2,k3,k4使得k1b1+k2b2+k3b3+k4b4=0 有(k1+k4)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3+(k3+k4)a4=0 k1k1因000k2k2000k3k3k40=0，且不全为0，所以b1,b2,b3,b4线性相关。 0k48、讨论向量组相关性。 a1111111a2=025=025=0，相关 a3136025a1110a2=020=20，无关 a3001a11111112 9、由向量组组成的行列式为 a2=123=01a313t02t-1如果t-1=4,t=5,行列式等于0
3、，向量组线性相关， 如果t-14,t5,行列式不等于0，向量组线性无关， 当t=5时，向量组相关，设a3=k1a1+k2a2 111即3=k11+k22513k1=-1 k2=210、用矩阵的秩判别向量组的相关性 1311-13A=(a1a2a3)=02-42-1410010c1-3c24-144-1c3-c2-62-6-625-155-1所以 R(A)=2，相关。 0000120A=(a1a2a3)=0231031201000230230-23006所以 R(A)=3，无关。 R(A)=3，无关。 11、由向量组构成的矩阵为 121012-1a11A=a2=10021002 a-1-4-8k
4、0-4-8k+23当1-1=时，k=2相关 -4k+212、设存在一组数l1,l2,l3,l4使得 l1a1+l2a2+l3a3+l4a4=0 不妨设a1,a2,a3线性无关，且l1a1+l2a2+l3a3=-l4a4 如果l4=0，则l1=l2=l3=0，与题意矛盾， 所以l1,l2,l3,l4不全为0. 13、略 101-114、A=00001000001000 0115、证明 ：设有一组不全为0的数k1,k2,L,km+1使得 k1a1+L+kmam+km+1(lb1+b2)=0 因a1,a2,L,am线性无关，所以km+10； 又b1可由a1,a2,L,am线性表示， 设b1=h1a1
5、+h2a2+L+hmam代入得 k1a1+L+kmam+km+1(l(h1a1+h2a2+L+hmam)+b2)=0 即k1a1+L+kmam+km+1l(h1a1+h2a2+L+hmam)=-km+1b2 b2=-1km+1(k1+km+1lh1)a1+L+(km+km+1lhm)am 即b2可由a1,a2,L,am线性表示，和已知条件矛盾。 16、设存在一组不全为0的数k1,k2,L,km-1使得 k1a1+L+km-1am-1=0， 又a2,a3,L,am线性无关，由a2,a3,L,am-1也线性无关， 所以k10，有-k1a1=k2a2+L+km-1am-1 即a1=-11k2a2-L
6、-km-1am-1，a1可由a2,a3,L,am-1线性表示。 k1k1(2)(反证法)设am能由a1,a3,L,am-1线性表示， 即存在一组数h1,h2,L,hm-1使得 am=h1a1+h2a2+L+hm-1am-1 由得a1=-11k2a2-L-km-1am-1代入上式， k1k1am=h1(-=(h2-11k2a2-L-km-1am-1)+h2a2+L+hm-1am-1k1k1kk2h1)a2+L+(hm-1-m-1h1)am-1k1k1即a2,a3,L,am线性相关，和已知条件矛盾。 17、已知n维向量组E：e1,e2,L,en可由n维向量组A：a1,a2,L,an线性表示， 即存
7、在一矩阵K使E=KA，从而E=KA=KA=10 即A0，有n维向量组A：a1,a2,L,an线性无关。 18、证明：任意n维向量bR可由a1,a2,L,an线性表示， 即b=k1a1+k2a2+L+knan;其中k1,k2,L,kn为任意实数， 即a1,a2,L,an为R空间的一组基，所以a1,a2,L,an线性无关。 R空间的维数为n，a1,a2,L,an是R空间中n个线性无关的向量组， 所以a1,a2,L,an为R空间的一组基，即对任意n维向量bR有 nnnnnnb=k1a1+k2a2+L+knan;其中k1,k2,L,kn为任意实数。 19、20略 21、求向量组的秩和极大无关组，其余向
8、量由极大无关组表示； 21313a1112r2-4r1r3+r1a4-1-5-60-9-9-18r4-2r1A=2=0-1-3-4a3-1-3-4-7a21200-30-64113312121-r29r+r132-r401120112r4-r2300-2-20-1-3-4010200-10R(A)=4，极大无关组为本身。 a113201a701432r2-7r1,r3-2r104-5r1,r5-2r1A=a3=2-101r0a45162002-141a5201313000000r2-3r5,r3-r554-2r5r00-400000-40000-7010-7R(A)=3，a1,a3,a5为极大
9、无关组 0-2103-7-41-14-42-701000-400001232a2=a1+3a5 a4=a1+a3+a5 1a1123a210A=a3=2-10a421-24a522211r-r,r-2r021314-2r1,r5-2r101r20032-20-1-5-2-3-3-4-2-22-12112120000r2-r53-r4-r5r00000-3-4-20-22-1极大无关组为a1,a4,a5， R(A)=3a2=a5-a1 a3=-2a1+a4+a5 22、略 1-15-11-15-11-15-111-2302-7402-7423、A= 02003-181740013-97041480000秩R(A)=2，极大无关组为a1,a2或a1,a3或a1,a4。 24、25、26略 27、设有x1,x2,x3使得x1a1+x2a2+x3a3=b 3251即求A=2463的秩 57l551-1-23251321-2A=24632463246357l501l-11101l-111-1-2-1-21-21-208870117/8 01l-11101l-111-1-21-20117/800l-121/8当l=12时，R(A)=2R(A)=3，即b不能由a1,a2,a3表示。 28、29、略。
