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1、第二章 场 论,工程数学-矢量分析与场论,第一节 场,与时间无关的场称为稳定场，否则为不稳定场.,1.场:,如果在空间或其部分空间的每一点，都对应着,某个物理量的一个确定的值，,该物理量的一个场.,如果该物理量是数量，称它为数量,场；,如果该物理量是矢量，称它为矢量场或向量场.,分别用,表示.,及,则称在该空间定义了关于,工程数学-矢量分析与场论,数量场的等值面,在数量场 中，,称曲面 为该,数量场的等值面.,在平面场 中，称曲线,为它的等值线,如等温线、等高线等.,一个等值面通过；,等值面族充满了数量场所在的空间，,而且互不相交.,由于数量场是单值的，所以场中的每一点有且仅有,工程数学-矢量
2、分析与场论,3.矢量场的矢量线,设 C 为矢量场 中的曲线，如果C,矢量线:,上每一点对应的矢量 都与 C 相切,则称之为矢量线.,设 为曲线上一点，,所以矢量线满足,工程数学-矢量分析与场论,解：,矢量线所满足的微分方程为,由,得,又由合比定理,例1.,求矢量场,的矢量线方程.,过点,工程数学-矢量分析与场论,可得,有,将点 代入,得,所以所求矢量线方程为：,工程数学-矢量分析与场论,第二节 数量场的方向导数与梯度,定义1：,1.方向导数,中的一点，,存在，,则称此极限为 在点,处沿 l 方向的方向导数，,记作,若沿方向 l,工程数学-矢量分析与场论,定理1:,则函数在该点沿任意方向 l 的
3、方向导数存在,证明:,且有,得,故,工程数学-矢量分析与场论,定义2：,中的一点，,存在，,记作,若沿曲线C 之正向,方向导数，,定理2:,曲线C光滑，,l 为 C 在 处 的切线方向（正向），,则,工程数学-矢量分析与场论,例1.,的法向量，,解:,方向余弦为,而,法向量为,所以,所以,工程数学-矢量分析与场论,例2.,朝 x 增大方向的方向导数.,解:将已知曲线用矢量形式表示为,它在点 P 的切向量为,工程数学-矢量分析与场论,梯度,记作 gradu,即,定义：,称向量,为数量场 u(M)在,设有矢量场,点 M 处的梯度,引入哈密顿算子：,有,工程数学-矢量分析与场论,性质：,方向：u 变
4、化率最大的方向,模:u 的最大变化率之值,1),2),3),为等值面,在点 M 处的法向量，,u(M)增大的一方.,指向数量场,注：,工程数学-矢量分析与场论,运算公式,工程数学-矢量分析与场论,例3.,证:,试证,工程数学-矢量分析与场论,例4.,解:,其矢量线满足微分方程,所以矢量线方程为：,的梯度场为,工程数学-矢量分析与场论,第三节 矢量场的通量与散度,定义：,1.通量,简单曲线:,没有重点的连续曲线；,简单曲面:,没有重点的连续曲面；,设有矢量场，,中有向曲面S某一侧的曲面积分,穿过曲面S的通量.,沿其,工程数学-矢量分析与场论,设,又,所以通量为,当 0 时,当 0 时,当=0 时
5、,不能判定S内有无源.,表明S 内有正源;,表明S 内有负源;,通量的物理意义,通量的表示,工程数学-矢量分析与场论,例1.,解:,设由矢径,构成的矢量场中，,有一由圆锥面,及平面,所围成的封闭曲面S,试求 从S内,穿出S的通量.,由奥-高公式,工程数学-矢量分析与场论,2.散度,定义：,存在，,记作,若,设有矢量场，,表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.,说明:,散度是通量对体积的变化率,且,工程数学-矢量分析与场论,定理:,在任一点M(x,y,z)的散度为,在直角坐标系中，矢量场,证明：,由奥-高公式,工程数学-矢量分析与场论,又由中值定理得
6、,所以,其中 为 中的某一点,工程数学-矢量分析与场论,推论1：,奥-高公式的矢量形式,推论2：,若在封闭曲面 S 内处处有，,则,推论3：,或,这些点的任一封闭曲面的通量都相等.,若在矢量场 内某些点上有，,不存在，,而在其他点上，,则穿出包围,工程数学-矢量分析与场论,例2.,解:,求矢量场,所产生的散度场,并求此散度场通过点 M(2,-1,1),的梯度。,令,工程数学-矢量分析与场论,散度的运算公式,工程数学-矢量分析与场论,例3.,解:,已知,求,由基本公式得,由于,故,工程数学-矢量分析与场论,第四节 矢量场的环量及旋度,定义：,1.环量,设有矢量场，,封闭有向曲线 l,沿其中,通量
7、,表示,的曲线积分,工程数学-矢量分析与场论,例1.,解:,设有平面矢量场,l 为场中的星形线,工程数学-矢量分析与场论,2.环量面密度,定义：,存在，,记作,一点，,若沿方向,即,工程数学-矢量分析与场论,定理:,在直角坐标系中，矢量场,证明：,由斯托克斯公式,在任一点M(x,y,z)的处沿方向 的环量面密度为,工程数学-矢量分析与场论,又由中值定理得,所以,其中 为 中的某一点,工程数学-矢量分析与场论,例2.,解:,的方向余弦为,工程数学-矢量分析与场论,3.旋度,定义：,称向量,设矢量场,记作，,即,工程数学-矢量分析与场论,性质：,方向：,模:,1),2),的最大环量面密度的方向,的
8、最大环量面密度之值,斯托克斯公式的矢量形式,工程数学-矢量分析与场论,设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一,点,建立坐标系如图,则,点 M 的线速度为,(此即“旋度”一词的来源),旋度的力学意义:,工程数学-矢量分析与场论,旋度的运算公式,工程数学-矢量分析与场论,A的雅可比矩阵,工程数学-矢量分析与场论,例3.,解:,已知,求,由于,又,及,所以,故,工程数学-矢量分析与场论,第五节 几种重要的矢量场,线单连域:,如果空间区域G内的任何一条简单闭曲线 l，,都存在一个以l为边界且全部位于 G的曲面S，,否则称G为线复连域.,则称区域,G为线单连域，,面单连域:,如果空间区域G内的任何一个
9、简单闭曲面S所,包围的点皆在G内(即S 没有洞),否则称G为面复连域.,则称区域G为面单连域，,工程数学-矢量分析与场论,1.有势场,定义:,若存在单值函数,使得,称为该矢量场的势函数,即,设矢量场,势函数的全体可表示为,定理:,在线单连域内，,为有势场,工程数学-矢量分析与场论,证明：,设,为有势场,则存在单值函数,使得,那么,由于场所在区域为线单连域，,所以,l 为区域内任一闭曲线；,与路径无关()；,场保守,工程数学-矢量分析与场论,存在函数 u,即,为有势场.,注：,1),场有势,场保守,场无旋,2),势函数,工程数学-矢量分析与场论,例1.,解:,则存在函数 u(M),使,因 是保守
10、场，,则曲线积分 与路径无关，,于是,其中 为场中任一点.,若 是保守场，,令,则,注：,工程数学-矢量分析与场论,例2.,解:,证明矢量场,为保守场，,并计算曲线积分,其中l 是从 A(1,4,1)到 B(2,3,1),取,于是,的任一路径.,工程数学-矢量分析与场论,例3.,解:,是有势场，并求其势函数 v.,证明矢量场,由 的雅可比矩阵,得,工程数学-矢量分析与场论,取,于是得势函数,势函数的全体为,工程数学-矢量分析与场论,那么有,第一个方程对x积分，得,上式对y 求导，得,所以有,于是,也就有,不定积分法求势函数,工程数学-矢量分析与场论,即有,于是,所以有,从而势函数,上式对 z
11、求导，得,工程数学-矢量分析与场论,若,2.管形场,定义：,设矢量场，,称 为管形场(无源场).,定理2:,是矢量管上的任意两个横断面，,定理3:,在面单连域内，,为管形场充要条件是存在一个,矢量场,使得.,此时称 为 的势矢量.,为面单连域，,任取一矢量管.,其,则,设管形场 所在空间区域,工程数学-矢量分析与场论,若,3.调和场,定义：,设矢量场，,则称 为调和场.,(1),调和函数,定义：,如果函数 u 满足拉普拉斯方程,则称函数 u 为调和函数.,其中,叫做拉普拉斯算子.,工程数学-矢量分析与场论,平面调和场,设平面调和场,1),即,势函数,所以,工程数学-矢量分析与场论,2),即,所以,令,则,的势函数,的力函数,工程数学-矢量分析与场论,3),比较 u 和 v 可得,且,即 u 和 v 均为调和函数.,称 v 为 u 的共轭调和函数.,4),等值线,分别称为 的力线与等势线,力线与等势线互相正交.,工程数学-矢量分析与场论,例4.,解:,因为,所以,上式对x 求导，得,即有,于是,所以有,
