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1、已知数列递推公式求通项公式的几种方法求数列通项公式的方法 一、公式法 例1 已知数列an满足an+1=2an+32n，a1=2，求数列an的通项公式。 an+1an3an+1an3an=+-=是，则，故数列n+1nn+1nn2222222an3a23=1=1+(n-1)以1为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，21222n231n所以数列an的通项公式为an=(n-)2。 22解：an+1=2an+32n两边除以2n+1，得评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=2an+32n转化为an+1an3-n=，说明数列n+1222aan3n=1+(n-1)是等差数列，再直接利用等
2、差数列的通项公式求出，进而求出数列nn222an的通项公式。 二、累加法 例2 已知数列an满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列an的通项公式。 解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1则 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+L+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=2(n-1)+1+2(n-2)+1+L+(22+1)+(21+1)+1=2(n-1)+(n-2)+L+2+1+(n-1)+1(n-1)n=2+(n-1)+12=(n-1)(n+1)+1=n2所以数列an的通项公式为an=n。 评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=an+2n+1转化为a
3、n+1-an=2n+1，进而求出(an-an-1)+(an-1-an-2)+L+(a3-a2)+(a2-a1)+a1，即得数列an的通项公式。 2例3 已知数列an满足an+1=an+23n+1，a1=3，求数列an的通项公式。 解：由an+1=an+23n+1得an+1-an=23n+1则 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+L+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=(23n-1+1)+(23n-2+1)+L+(232+1)+(231+1)+3=2(3n-1+3n-2+L+32+31)+(n-1)+33(1-3n-1)=2+(n-1)+31-3=3n-3+n-1+3=3n+n-
4、1所以an=3n+n-1. 评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=an+23n+1转化为an+1-an=23n+1，进而求出an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+L+(a3-a2)+(a2-a1)+a1，即得数列an的通项公式。 例4 已知数列an满足an+1=3an+23n+1，a1=3，求数列an的通项公式。 解：an+1=3an+23n+1两边除以3则n+1，得an+1an21=+， 3n+13n33n+1an+1an21-=+，故 3n+13n33n+1ananan-1an-1an-2an-2an-3a2a1a1=(-)+(-)+(-)+L+(-1)+nnn-2n-2
5、n-3233an-1an-1333333212121213=(+n)+(+n-1)+(+n-2)+L+(+2)+3333333332(n-1)11111=+(n+n+n-1+n-2+L+2)+13333331n-1(1-3)an2(n-1)3n2n11因此n=， +1=+-331-33223n则an=211n3n+3n-. 322评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=3an+23n+1转化为进而求出(an+1an21-=+，3n+13n33n+1anan-1an-1an-2an-2an-3a2a1a1an-)+(-)+(-)+L+(-)+，即得数列n3n3n-13n-13n-23n-23
6、n-3323133的通项公式，最后再求数列an的通项公式。 三、累乘法 例5 已知数列an满足an+1=2(n+1)5nan，a1=3，求数列an的通项公式。 解：因为an+1=2(n+1)5nan，a1=3，所以an0，则an+1=2(n+1)5n，故anan=anan-1aaL32a1an-1an-2a2a1=2(n-1+1)5n-12(n-2+1)5n-2L2(2+1)522(1+1)513 =2n-1n(n-1)L325(n-1)+(n-2)+L+2+13=32n-1n(n-1)25n!n-1所以数列an的通项公式为an=325n(n-1)2n!. an+1进而求=2(n+1)5n，a
7、n评注：本题解题的关键是把递推关系an+1=2(n+1)5nan转化为出anan-1aaL32a1，即得数列an的通项公式。 an-1an-2a2a1例6已知数列an满足a1=1求an的通项，an=a1+2a2+3a3+L+(n-1)an-1(n2)，公式。 解：因为an=a1+2a2+3a3+L+(n-1)an-1(n2) 所以an+1=a1+2a2+3a3+L+(n-1)an-1+nan 用式式得an+1-an=nan. 则an+1=(n+1)an(n2) 故an+1=n+1(n2) ananan-1an!L3a2=n(n-1)L43a2=a2. an-1an-2a22所以an= 由an=
8、a1+2a2+3a3+L+(n-1)an-1(n2)，取n=2得a2=a1+2a2，则a2=a1，又知a1=1，则a2=1，代入得an=1345Ln=所以，an的通项公式为an=n!。 2n!. 2评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=(n+1)an(n2)转化为an+1=n+1(n2)，an进而求出anan-1a从而可得当n2时，an的表达式，最后再求出数列an的L3a2，an-1an-2a2通项公式。 四、待定系数法 例7 已知数列an满足an+1=2an+35n，a1=6，求数列an的通项公式。 解：设an+1+x5n+1=2(an+x5n) n将an+1=2an+35n代入式，得
9、2an+35n+x5n+1=2，等式两边消去an+2x5nnx5，两边除以5，得3+5x=2x则代入式得,x=-1,2an，得35n+x5n+1=2an+1-5n+1=2(an-5n) 1 an+1-5n+1n由a1-5=6-5=10及式得an-50，则，则数列=2a-5是以nnan-5na1-51=1为首项，以2为公比的等比数列，则an-5n=2n-1，故an=2n-1+5n。 评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=2an+35转化为an+1-5nnnn+1=2(an-5n)，从而可知数列an-5是等比数列，进而求出数列an-5的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。 例8 已知数列
10、an满足an+1=3an+52n+4，a1=1，求数列an的通项公式。 解：设an+1+x2n+1+y=3(an+x2n+y) 将an+1=3an+52n+4代入式，得 3an+52n+4+x2n+1+y=3(an+x2n+y) 整理得(5+2x)2n+4+y=3x2n+3y。 令5+2x=3xx=5，则，代入式得 4+y=3yy=2 an+1+52n+1+2=3(an+52n+2) 由a1+521+2=1+12=130及式， an+1+52n+1+2得an+52+20，则=3， nan+52+2n故数列an+52n+2是以a1+521+2=1+12=13为首项，以3为公比的等比数列，因此an
11、+52n+2=133n-1，则an=133n-1-52n-2。 评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=3an+52n+4转化为an+1+52n+1+2=3(an+52n+2)，从而可知数列an+52n+2是等比数列，进而求出数列an+52+2的通项公式，最后再求数列an的通项公式。 例9 已知数列an满足an+1=2an+3n+4n+5，a1=1，求数列an的通项公式。 解：设an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z=2(an+xn2+yn+z) 将an+1=2an+3n+4n+5代入式，得 22n2an+3n2+4n+5+x(n+1)2+y(n+1)+z=2(an+xn2+yn+z)
12、，则 2an+(3+x)n2+(2x+y+4)n+(x+y+z+5)=2an+2xn2+2yn+2z 等式两边消去2an，得(3+x)n2+(2x+y+4)n+(x+y+z+5)=2xn2+2yn+2z， 3+x=2xx=3解方程组2x+y+4=2y，则y=10，代入式，得 x+y+z+5=2zz=18an+1+3(n+1)2+10(n+1)+18=2(an+3n2+10n+18) 由a1+312+101+18=1+31=320及式，得an+3n2+10n+180 an+1+3(n+1)2+10(n+1)+18则=2，故数列an+3n2+10n+18为以2an+3n+10n+18a1+312+
13、101+18=1+31=32为首项，以2为公比的等比数列，因此an+3n2+10n+18=322n-1，则an=2n+4-3n2-10n-18。 评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=2an+3n2+4n+5转化为an+1+3(n+1)2+10(n+1)+18=2(an+3n2+10n+18)，从而可知数列进而求出数列an+3n2+10n+18的通项公式，最后再an+3n2+10n+18是等比数列，求出数列an的通项公式。 五、对数变换法 例10 已知数列an满足an+1=23an，a1=7，求数列an的通项公式。 解：因为an+1=23an，a1=7，所以an0，an+10。在an+1
14、=23an式两边取常用对数得lgan+1=5lgan+nlg3+lg2 设lgan+1+x(n+1)+y=5(lgan+xn+y) 11 n5n5n5将式代入11式，得5lgan+nlg3+lg+2xn(+1)y=5(lgan+xn+y，两边消去5lgan并整理，得(lg3+x)n+x+y+lg2=5xn+5y，则 lg3x=lg3+x=5x4，故 lg3lg2x+y+lg2=5yy=+164代入11式，得lgan+1+由lga1+得lgan+lg3lg3lg2lg3lg3lg2(n+1)+=5(lgan+n+) 12 41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg21+=lg7+1+0及
15、12式， 41644164lg3lg3lg2n+0， 4164lgan+1+则lg3lg3lg2(n+1)+4164=5， lg3lg3lg2lgan+n+4164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n+是以lg7+为首项，以5为公比的等41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n-1n+=(lg7+)5，因此比数列，则lgan+41644164所以数列lgan+lgan=(lg7+lg3lg3lg2n-1lg3lg3lg2+)5-n-4164464141614n-1n4=(lg7+lg3+lg3+lg2)5=lg(7332)514116141411614n-1-lg3-lg3-lg
16、211614n411614-lg(332)n411614=lg(7332)5n-1-lg(332)=lg(75n-13=lg(75n-13n-15n-1-n435n-1-1162)5n-1-14)5n-4n-11625n-1-14则an=7535n-4n-11625n-1-14。 n5评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an+1=23an转化为lg3lg3lg2lg3lg3lg2(n+1)+=5(lgan+n+)，从而可知数列41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2lgan+n+是等比数列，进而求出数列lgan+n+的通项41644164lgan+1+公式，最后再求出数列
17、an的通项公式。 六、迭代法 3(n+1)2例11 已知数列an满足an+1=an，a1=5，求数列an的通项公式。 n3(n+1)23n2解：因为an+1=an，所以an=an-1nn-1=a3(n-1)2n-23n2n-1n-23(n-1)n2=an-22(n-2)+(n-1)3(n-2)2=an3(n-1)n2-33(n-2)(n-1)n2=an-33n-32(n-2)+(n-1)(n-3)+(n-2)+(n-1)=L=a13=an-123LL(n-2)(n-1)n21+2+LL+(n-3)+(n-2)+(n-1)n(n-1)23n-1n!21又a1=5，所以数列an的通项公式为an=5
18、3n-1n(n-1)n!22。 n3(n+1)2评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an+1=an两边取常用对数得lgan+1=3(n+1)2nlgan，即lgan+1=3(n+1)2n，再由累乘法可推知lgann(n-1)2n-1lganlgan-1lga3lga2lgan=Llga1=lg53n!2lgan-1lgan-2lga2lga1，从而an=53n-1n!2n(n-1)2。 七、数学归纳法 例12 已知数列an满足an+1=an+8(n+1)8，a=，求数列an的通项公式。 1(2n+1)2(2n+3)29解：由an+1=an+88(n+1)a=及，
19、得 1229(2n+1)(2n+3)8(1+1)88224=+=(21+1)2(21+3)29925258(2+1)248348 a3=a2+=+=(22+1)2(22+3)2252549498(3+1)488480a4=a3+=+=(23+1)2(23+3)249498181a2=a1+(2n+1)2-1由此可猜测an=，往下用数学归纳法证明这个结论。 2(2n+1)(21+1)2-18当n=1时，a1=，所以等式成立。 2(21+1)9(2k+1)2-1假设当n=k时等式成立，即ak=，则当n=k+1时， 2(2k+1)8(k+1) 22(2k+1)(2k+3)ak+1=ak+(2k+1)
20、2-18(k+1)=+(2k+1)2(2k+1)2(2k+3)2(2k+1)2-1(2k+3)2+8(k+1)=(2k+1)2(2k+3)2(2k+1)2(2k+3)2-(2k+3)2+8(k+1)=(2k+1)2(2k+3)2=(2k+1)(2k+3)-(2k+1)(2k+1)2(2k+3)2222(2k+3)2-1=(2k+3)22(k+1)+12-1=2(k+1)+12由此可知，当n=k+1时等式也成立。 根据，可知，等式对任何nN都成立。 评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。 八、换元法 *例13 已知数列a
21、n满足an+1=1(1+4an+1+24an)，a1=1，求数列an的通项公式。 1612(bn-1) 24解：令bn=1+24an，则an=故an+1=121(bn+1-1)，代入an+1=(1+4an+1+24an)得 241612112(bn+1-1)=1+4(bn-1)+bn 24162422即4bn+1=(bn+3) 因为bn=1+24an0，故bn+1=1+24an+10 则2bn+1=bn+3，即bn+1=可化为bn+1-3=13bn+， 221(bn-3)， 21为公比的等比数2所以bn-3是以b1-3=1+24a1-3=1+241-3=2为首项，以列，因此bn-3=212n-1111=n-2，则bn=n-2+3，即1+24an=n-2+3，得 222an=21n1n1+。 3423评注：本题解题的关键是通过将1+24an的换元为bn，使得所给递推关系式转化bn+1=13bn+形式，从而可知数列bn-3为等比数列，进而求出数列bn-3的通项公式，22最后再求出数列an的通项公式。
