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1、平面向量解答题平面向量解答题精选 1. 设x , y R，i、j为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量，若a=xi+j，b=xi+(y2) j且a2+b2=16. 求点M的轨迹C 的方程；过定点作直线l与曲线C交于A、B两点，设OP=OA+OB，是否存在直线l使四边形OAPB为正方形？若存在，求出l的方程，若不存在说明理由. 解：由a2+b2=16得x2+y2=44分假设直线l存在，显然l的斜率存在设A B(x2, y2) 由y=kx+3-6k1+k222得(1+k)x+6kx+5=06分 22x+y=4x1+x2=x1x2=5 Q|OA|=|OB| 21+k若OAPB为正方形只有O

2、AOB|即x1x2+y1y2=0 y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+98分 556k2+k+3k(-)+9=01+k21+k21+k2k=71410分 =22存在l且l的方程为y= 14x+312分 2- 1 - 2. 已知|a|=4，|b|=3，=61，求a与b的夹角；设OA=，OB=，OC=，在OC上是否存在点M，使 MAMB，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由. 解：=61，4a-4ab-3b=61. 又|a|=4，|b|=3，ab=6. 22q= cos1=-, 2|a|b|ab =120. 设存在点M，且OM=lOC=(6l,3l)

3、(0l1) MA=(2-6l,5-3l),MB=(3-6l,1-3l). (2-6l)(3-6l)+(5-3l)(1-3l)=0, 11145l2-48l+11=0,解得:l=或l=,KKKKK(10分)3152211OM=(2,1)或OM=(,).55存在M或M( 3. 设a、b是两个不共线的非零向量记OA=a,OB=tb,OC=2211,)满足题意. 551(a+b),那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？ 3若|a|=|b|=1且a与b夹角为120o，那么实数x为何值时|a-xb|的值最小？解：A、B、C三点共线知存在实数l,使OC=lOA+(1-l)OB 即(a+b)=la+(

4、1-l)tb，4分则l=1311,实数t=6分 32- 2 - ab=|a|b|cos120=-22o1, 2|a-xb|2=a+x2b-2xab=x2+x+1,9分当x=-时,|a-xb|取最小值12312分 24. 设平面内的向量OA=(1,7), OB=(5,1), OM=(2,1)，点P是直线OM上的一个动点，求当PAPB取最小值时，OP的坐标及APB的余弦值解设OP=(x,y) 点P在直线OM上， OP与OM共线，而OM=(2,1)， x2y=0即x=2y，有OP=(2y,y) 4分 PA=OA-OP=(1-2y,7-y)，PB=OB-OP=(5-2y,1-y)， PAPB=

5、(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y) = 5y220y+12 = 5(y2)28 8分从而，当且仅当y=2，x=4时，PAPB取得最小值8，此时OP=(4,2)，PA=(-3,5)，PB=(1,-1) 于是|PA|=34，|PB|=2，PAPB=(-3)1+5(-1)=-8， cosAPB=PAPB|PA|PB|=-8342=-417 12分 175. 已知向量m=(1,1),向量n与向量m夹角为求向量n；若向量n与向量q=的夹角为的值. 3p，且mn=-1. 4p2,向量p=(2sinA,4cos2A)，求|2n+p|2解：设n=(x,y),由mn=-1，有x+y=-1 2分

6、由m与n夹角为33p，有mn=|m|n|cosp. 44|n|=1,则x2+y2=1.4分由解得x=-1,x=0, 即|n|=(-1,0)或n=(0,-1).6分或y=0.y=-1.- 3 - 由n与q垂直知n=(0,-1).7分 2n+p=(2sinA,4cos2|2n+p|=A-2)=(2sinA,2cosA),10分 24sin2A+4cos2A=212分 6. 已知定点A(0,1)B(0,-1),C(1,0).动点P满足:APBP=k|PC|2. 求动点P的轨迹方程。当k=0时,求|2AP+BP|的最大值和最小值. 解：设动点的坐标为P(x,y),则 AP=(x,y-1),BP

7、=(x,y+1),(x,y-1)(x,y+1) APBP=k|PC|2(x,y-1)(x,y+1)=k(x-1)2+y2 (1-k)x2+(1-k)y2+2kx-k-1-=0 若k=1，则方程为x=1，表示过点是平行于y轴的直线. 若k1，则方程化为：(x+k)2+y2=(1)2,表示以(k,0)为圆心,以1为1-k1-kk-1|1-k|半径的圆. 当k=0时，方程化为x2+y2=1 . 2AP+BP=2(x,y-1)+(x,y+1)=(2x,2y-2)+(x,y+1)=(3x,3y-1)(8分)|2AP+BP|=9x2+(3y-1)2=9-9y2-6y+1=-6y+10(10分)由x2=1-

9、与BD交于点P. 若AD=(3,5)，求点C的坐标；当|AB|=|AD|时，求点P的轨迹. 解：设点C坐标为5分解一：设P(x,y)，则 BP=AP-AB=(x-1,y-1)-(6,0)=(x-7,y-1)6分 AC=AM+MC=111AB+3MP=AB+3(AP-AB)222=3AP-AB=(3(x-1),3(y-1)-(6,0)=(3x-9,3y-3)8分 ABCD为菱形9分 Q|AB|=|AD|ACAD即(x-7,y-1)(3x-9,3y-3)=0.(x-7)(3x-9)+(y-1)(3y-3)=0 x2+y2-10x-2y+22=0(y1)11分故点P的轨迹是以为圆心，2为半圆去

10、掉与直线y=1的两个交点12分解法二：Q|AB|=|AD| D的轨迹方程为(x-1)+(y-1)=3622(y1)7分 1QM为AB中点 P分BD的比为 2设P(x,y)B(7,1)D(3x-14,3y-2)9分 P的轨迹方程 (3x-15)2+(3y-3)2=36 整理得(x-5)+(y-1)=422(y1)11分故点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆去掉与直线y=1的两个交点12分 - 5 - 3pb=2， 8. 已知向量a=，向量b与向量a的夹角为，且a4 求向量b；若t=(1,0)且bt,c=(cosA,2cos2C)，其中A、C是ABC的内角，若三2角形的三内角A、B、C依次成等

11、差数列，试求|b+c|的取值范围. 解：设b=，则2x+2y=-2,且|b|=ab|a|cos3p4=1=x2+y2. x=-1x=0解得或,b=(-1,0)或b=(0,-1) y=0y=-1 B=p,Qbt,且t=(1,0),b=(0,-1). b+c=(cosA,2cos2C-1)=(cosA,cosC), 23|b+c|=cosA+cosC=1+=1+cos(A+C)cos(A-C)=1-2221(cos2A+cos2C) 2Q-2p2pA-C, 331cos(A-C),2-125cos(A-C)1, |b+c|. 222228.设两个向量a=(l+2，l-cosa)和b=m，+sina

12、，其中m2l，m，a为实数若a=2b，则-6,1 l的取值范围是 m-1,1 -1,6 8 4，解答：由题意知+2=2m， l2-cos2a=m+2sina, 由得l2=2-. mm由得4m2-9m=2sina+cos2a-4=-sin2a+2sina-3, -64m2-9m-2. 1m2. 4- 6 - l2=2-6,1 mm答案为A. 两个参数的比值转化为只含一个参数，再求其范围. 9.如题图，在四边形ABCD中， uuuruuuruuurAB+BD+DC=4， D C |AB|BD|+|BD|DC|=4,ABBD=BDDC=0，则(AB+DC)AC的值为 2 22 4 42 A B

13、题图解答：由|BD|+(|AB|+|DC|)=4,以及|BD|(|AB|+|DC|)=4, 得|BD|=|AB|+|DC|=2. (AB+DC)AC=(AB+DC)(AB+BD+DC)=AB2+ABBD+ABDC+DCAB+DCBD+DC2=AB2+2ABDC+DC2=(|AB|+|DC|)2=22=4.答案为C. 向量积的简单运用. 10.若向量a与b不共线，ab0，且c=a-夹角为 A0 Babb，则向量a与c的abppp C D 263解答： ac=aa-abaab=aa-ab=aa-aa=0. abab则a与c的夹角为p. 2答案为D. 12.对于向量a，b，c和实数l，下列命题中真命题是 A若ab=0，则a=0或b=0 B若la=0，则l=0或a=0 22C若a=b，则a=b或a=-b D若ab=ac，则b=c - 7 - 解答：对于A，可举反例：当ab时，ab=0，对于C，a2=b2只能推得|a|=|b|，而不能推出a=b. 对于D，ab= ac可以移项整理推得a(b - c). 答案为B. - 8 -

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