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1、年级奥数专题资料八年级奥数专题资料 第一讲：如何做几何证明题 1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2、掌握分析、证明几何问题的常用方法： 综合法，从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； 分析法从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； 两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析
2、法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 已知：如图所示，D
3、中，C=90，AC=BC，AD=DB，AE=CF。 ABC 求证：DEDF CFBAED如图所示，已知D为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AEABCBD，连结CE、DE。 求证：ECED 已知：如图所示，ABCD，ADBC，AECF。 求证：EF 证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。 FBCAEDBCDAEABC如图所示，设BP、CQ是D的内角平分线，AH、
4、AK分别为A到BP、CQ的垂线。 求证：KHBC QKBAPHC已知：如图所示，ABAC，。 A=90，AE=BF，BD=DC 求证：FDED 证明线段和的问题 在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。 如图，四边形ABCD中，ADBC，点E是AB上一个动点，若B60，ABBC， 且DEC60； 求证：BCADAE BFDCAEADEBCABCB=60已知：如图，在D中，BAC、BCA的角平分线AD、CE相交于O。 求证：ACAECD ACEODB延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。 已知：如图7所示，正方形A
5、BCD中，F在DC上，E在BC上，。 EAF=45 求证：EFBEDF 证明几何不等式： 已知：如图所示，在D中，AD平分BAC，ABAC。 ABC 求证：B DDCBDCAADFBECD0，则方程有两个不相等的实数根：-b+b2-4ac-b-b2-4ac； x1=，x2=2a2a2、若D=0，则方程有两个相等的实数根：x1=x2=-3、若D0，证明在方程 12x212x212x212x2+2a+bx+cd=0；+2b+cx+ad=0；+2c+dx+ab=0；+2d+ax+bc=0，中，至少有两个方程有不相等的实数根。 第八讲：一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程ax+bx+c=0(a0)
6、的根与系数的关系 2设方程的两个根x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=bac。 a韦达定理用途比较广泛，运用时，常需要作下列变形： x1+x2=(x1+x2)-2x1x2； 222(x+x2)-2x1x2； xxx+x22+1=1=1x1x2x1x2x1x2222x1+x2=(x1+x2)(x1+x2)-3x1x2； 332(x1-x2)=(x1+x2)-4x1x2； 22x1-x2 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2。 求下列方程的两根之和，两根之积。 x22x10； x29x100； 解：x1+x2=_，x1x2=_ 解：x1+x2=_，x1x2=_ 2x29x50； 4x
7、27x10； 解：x1+x2=_，x1x2=_ 解：x1+x2=_，x1x2=_ 2x25x0； x210 解：x1+x2=_，x1x2=_ 解：x1+x2=_，x1x2=_ 设x1，x2是方程2x2+4x3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： =_； x12x2+x1x22=_； x2x1+=_ x1x22=_； 2=_； x13+x23=_ 解答下列问题： 设关于x的一元二次方程x-4x-2(k-1)=0有两个实数根x1、x2，问是否存在 2x1+x20)；若a=1，则an=1； aaaana+12(a0)。 a3、分式的运算 分式的运算法则有：ababacadbc=，=；
8、cccbdbdnacacacadaan=，=，=n。 bdbdbdbcbb4、分式的变形 分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法，拆项法，因式分解法，分组通分法和换元法等。 三、二次根式： 1、当a0时，称a为二次根式，显然a0。 2、二次根式具有如下性质： (a)2a，当a0时，=a(a0)； a=a= -a，当a0)。 =bb3、二次根式的运算法则如下： acbc=(ab)c(c0)； (a)n=an(a0)。 4、设a，b，c，d，mQ，且m不是完全平方数，则当且仅当a=c，b=d时， a+bm=c+dm。 分解因式：x+xy-6y+x+13y-6 分解因式
9、： 221、x2-xy-2y2-x+5y-2； 2、3x2+5xy-2y2+x+9y-4； 已知a、b、c是一个三角形的三边，则a+b+c-2ab-2bc-2ca的值是 A.恒正 B.恒负 C.可正可负 D.非负 3、k为何值时，多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积？ 已知a、b是实数，且请推导。 1、已知ab+a+b+1=13，求a+b的值为_； 444222222(1+a+a)(1+b+b)=1，问a、b之间有怎样的关系？222、多项式x2+axy+by2-5x+y+6的一个因式是x+y-2，试确定a+b的值为_； 3、设3b=a+2c，求a-9b+4c+4a
10、c的值。 4、若abc0，且设 5、已知1= 2226、已知a+x=1991，b+x=1992，c+x=1993，且abc=24，则 222(a+b)(b+c)(c+a)=_ a+bb+cc+a=，则cababczxxyyz，2=，3=，则x=_； z+xx+yy+zabc111+-=_ bccaababc3x2+6x+57、当x变化时，分式的最小值为_ 12x+x+12xx3=1，则6=_； 8、设2x-mx+1x-m3x3+129、已知实数a满足1992-a+a-1993=a，则a-1992=_； 10、化简 11、已知x= 12、设39- 262+3+5=_； 1a-a，则4x+x2=_ 432的整数部分为a，小数部分为b，则1111+=_； a+ba+4-b13、设等式a(x-a)+a(y-a)=其中a，x，y两x-a-a-y在实数范围内成立，
