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1、,将ksp和sp值代入N的计算公式,得,所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化）。,（2）求归一化系统函数G(p)。由阶数N=5直接查教材第157页表6.2.1,得到五阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数G(p)为,或,当然，也可以先按教材（6.2.13）式计算出极点：,再由教材（6.2.12）式写出G(p)表达式为,最后代入pk值并进行分母展开，便可得到与查表相同的结果。（3）去归一化（即LP-LP频率变换），由归一化系统函数G(p)得到实际滤波器系统函数Ha(s)。,由于本题中ap=3 dB，即c=p=26103 rad/
2、s，因此,对分母因式形式，则有,如上结果中，c的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3 dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。2 设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率fp=3 kHz，通带最大衰减p=0.2 dB，阻带截止频率fs=12 kHz,阻带最小衰减s=50 dB。求出滤波器归一化系统函数G(p)和实际的Ha(s)。解:（1）确定滤波器技术指标。p=0.2 dB,p=2fp=6103 rad/ss=50 dB,s=2fs=24103 rad/s p=1,(4)求阶数N和。,为了满足指标要求，取N=4。,(3)求归一化系统函数G(p),其中，极点pk由教材（6.2.
3、46）式求出如下：,(4)将G(p)去归一化，求得实际滤波器系统函数Ha(s)：,其中，sk=ppk=6103pk,k=1,2,3,4。因为p4=p1*,p3=p2*,所以，s4=s1*,s3=s2*。将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数全为实数。,也可得到分母多项式形式，请读者自己计算。3 设计一个巴特沃斯高通滤波器，要求其通带截止频率fp=20 kHz，阻带截止频率fs=10 kHz，fp处最大衰减为3 dB，阻带最小衰减as=15 dB。求出该高通滤波器的系统函数Ha(s)。,解:(1)确定高通滤波器技术指标要求：p=20 kHz,ap=3 dB fs=10 k
4、Hz,as=15 dB(2)求相应的归一化低通滤波器技术指标要求：套用图5.1.5中高通到低通频率转换公式，p=1,s=p/s，得到 p=1,ap=3 dB,as=15 dB,(3)设计相应的归一化低通G(p)。题目要求采用巴特沃斯类型，故,所以，取N=3，查教材中表6.2.1，得到三阶巴特沃斯归一化低通G(p)为,(4)频率变换。将G(p)变换成实际高通滤波器系统函数H(s)：,式中c=2fc=220103=4104 rad/s,4.已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)如下：,(1),(2),式中a、b为常数，设Ha(s)因果稳定，试采用脉冲响应不变法将其转换成数字滤波器H(z)。,解:该题所
5、给Ha(s)正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，求解该题具有代表性，解该题的过程，就是导出这两种典型形式的Ha(s)的脉冲响应不变法转换公式。设采样周期为T。,(1),Ha(s)的极点为s1=a+jb,s2=ajb将Ha(s)部分分式展开（用待定系数法）：,比较分子各项系数可知，A1、A2应满足方程：,解之得，A1=1/2，A2=1/2，所以,套用教材（6.3.4）式，得到,按照题目要求，上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本节结构来实现。由于两个极点共轭对称，所以将H(z)的两项通分并化简整理，可得,这样，如果遇到将,用脉冲响应不变法转
6、换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。,(2),Ha(s)的极点为 s1=a+jb,s2=ajb将Ha(s)部分分式展开：,套用教材（6.3.4）式，得到,通分并化简整理，得到,5 已知模拟滤波器的系统函数如下：,(1),(2),试采用脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为数字滤波器。设T=2 s。解:.用脉冲响应不变法,(1),方法一 直接按脉冲响应不变法设计公式，Ha(s)的极点为,将T=2代入上式，得,方法二 直接套用4题（2）所得公式。为了套用公式，先对Ha(s)的分母配方，将Ha(s)化成4题中的标准形式：,c为一常数,由于,所以,
7、对比可知，套用公式，得,(2),或通分合并两项得,用双线性变换法（1）,(2),6 设ha(t)表示一模拟滤波器的单位冲激响应，即,用脉冲响应不变法，将此模拟滤波器转换成数字滤波器（用h(n)表示单位脉冲响应，即 h(n)=ha(nT)）。确定系统函数H(z)，并把T作为参数，证明：T为任何值时，数字滤波器是稳定的，并说明数字滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器。,解:模拟滤波器系统函数为,Ha(s)的极点s1=0.9，故数字滤波器的系统函数应为,H(z)的极点为z1=e0.9T,|z1|=e0.9T,题6解图,所以，T0时，|z1|1，H(z)满足因果稳定条件。对T=1和T=0.5，画出H(
8、ej)曲线如题6解图实线和虚线所示。,由图可见，该数字滤波器近似为低通滤波器。且T越小，滤波器频率混叠越小，滤波特性越好（即选择性越好）。反之，T越大，极点离单位圆越远，选择性越差，而且频率混叠越严重，=附近衰减越小，使数字滤波器频响特性不能模拟原模拟滤波器的频响特性。7 假设某模拟滤波器Ha(s)是一个低通滤波器，又知，数字滤波器H(z)的通带中心位于下面哪种情况？并说明原因。（1）=0（低通）。（2）=（高通）。（3）除0或以外的某一频率（带通）。,解：方法一 按题意可写出,故,即,原模拟低通滤波器以=0为通带中心，由上式可知，=0时，对应于=，故答案为(2)。,方法二 找出对应于=0的数
9、字频率的对应值即可。令z=1，对应于ej=1，应有=0，则对应的不是模拟低通中心频率，所以，答案（1）即=0（低通）不对。令z=1，对应于ej=1，应有=，则即将=0映射到=处，所以答案为(2)。,方法三 直接根据双线性变换法设计公式及模拟滤波器由低通到高通频率变换公式求解。双线性变换设计公式为,当T=2时，,则H(z)亦为低通。如果将Ha(s)变换为高通滤波器：,，这时，如果Ha(s)为低通，,则可将Hah(s)用双线性变换法变成数字高通；,这正是题中所给变换关系，所以数字滤波器,通带,中心位于=，故答案（2）正确。8 题8图是由RC组成的模拟滤波器，写出其系统函数Ha(s)，并选用一种合适
10、的转换方法，将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)，最后画出网络结构图。,题 8 图,解:模拟RC滤波网络的频率响应函数为,显然，Ha(j)具有高通特性，用脉冲响应不变法必然会产生严重的频率混叠失真。所以应选用双线性变换法。将Ha(j)中的j用s代替，可得到RC滤波网络的系统函数：,用双线性变换法设计公式,可得,H(z)的结构图如题8解图所示。,题8解图,由图可见，在模拟域由一个R和一个C组成的RC滤波网络，用双线性变换法转换成数字滤波器后，用两个乘法器、两个加法器和一个单位延迟器实现其数字滤波功能。也可用软件实现该数字滤波功能。由滤波器差分方程编写程序较容易。为此，由H(z)求出差分方程。,编
11、程序实现差分方程中的计算，即可实现对输入信号序列x(n)的高通滤波。9 设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于0.2 rad时，容许幅度误差在1 dB之内；频率在0.3到之间的阻带衰减大于10 dB。试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法进行转换，采样间隔T=1 ms。,解:本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计，所以，由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤波器指标描述如下：p=0.2 rad,p=1 dBs=0.3 rad,s=10 dB采用脉冲响应不变法转换，所以，相应的模拟低通巴特沃斯滤波器指标为,(1)求滤波器阶数N及归一化系统函数G(p)：,取N=5。查教材6.1节的表6.
12、2.1(第157页)，可知模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为,将G(p)部分分式展开：,其中，系数为A0=0.1382+j0.4253,A1=0.8091j1.1135,A2=1.8947A3=0.8091+j1.1135,A4=0.1382j0.4253(2)去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数Ha(s)。我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，所以按教材（6.2.20）式求3 dB截止频率c为,其中,Bk=cAk,sk=cpk。(3)用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z):,我们知道，脉冲响应不变法的主要缺点是存在的频率混叠失真，使设计的滤波器阻带指标变差。另
13、外，由该题的设计过程可见。当N较大时，部分分式展开求解系数Ak或Bk相当困难，所以实际工作中用得很少，主要采用双线性变换法设计，见第10题。,10 要求同题9，试采用双线性变换法设计数字低通滤波器。解:已知条件如下：数字滤波器指标：p=0.2 rad,p=1 dBs=0.3 rad,s=10 dB 采用双线性变换法，所以要进行预畸变校正，确定相应的模拟滤波器指标（为了计算方便，取T=1 s）：,(1)求相应模拟滤波器阶数N：,其中，ksp与题9相同（因为p、s相同），即,(2)查教材表6.2.1，得,(3)去归一化，求出Ha(s)：,(4)用双线性变换法将Ha(s)转换成H(z)：,请读者按T
14、=1 ms进行设计，比较设计结果。,11 设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率p=0.8 rad，通带衰减不大于3 dB，阻带截止频率s=0.5 rad，阻带衰减不小于18 dB。希望采用巴特沃斯型滤波器。解:（1）确定数字高通滤波器技术指标：p=0.8 rad,p=3 dBs=0.5 rad,s=18 dB（2）确定相应模拟高通滤波器技术指标。由于设计的是高通数字滤波器，所以应选用双线性变换法，因此进行预畸变校正求模拟高通边界频率（假定采样间隔T=2 s）：,(3)将高通滤波器指标转换成归一化模拟低通指标。套用图5.1.5中高通到低通频率转换公式,p=1,s=p/s，得到低通归一化边界频
15、率为（本题p=c）p=1,p=3 dB,(4)设计归一化低通G(p)：,查教材表6.2.1，得归一化低通G(p)为,(5)频率变换，求模拟高通Ha(s)：,(6)用双线性变换法将Ha(s)转换成H(z)：,12 设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.25 rad到0.45 rad，通带内最大衰减为3 dB，0.15 rad以下和0.55 rad以上为阻带，阻带内最小衰减为15 dB。要求采用巴特沃斯型模拟低通滤波器。解:（1）确定数字带通滤波器技术指标：pl=0.25 rad,pu=0.45 radsl=0.15 rad,su=0.55 rad通带内最大衰减p=3 dB，阻带内最小衰减s=15
16、 dB。(2)采用双线性变换法，确定相应模拟滤波器的技术指标。为计算简单，设T=2 s。,通带中心频率,通带宽度BW=pupl=0.4399 rad/splpu=0.85410.4142=0.3538,slsu=0.24011.1708=0.2811因为plpuslsu，所以不满足教材（6.2.56）式。按照教材（6.2.57）式,增大sl，则,采用修正后的设计巴特沃斯模拟带通滤波器。(3)将带通指标转换成归一化低通指标。套用图5.1.5中带通到低通频率转换公式，,求归一化低通边界频率：,(4)设计模拟归一化低通G(p)：,取N=3。,查教材表6.2.1，得到归一化低通系统函数G(p)：,(5
17、)频率变换，将G(p)转换成模拟带通Ha(s)：,(6)用双线性变换公式将Ha(s)转换成H(z)：,以上繁杂的设计过程和计算，可以用下面几行程序ex612.m实现。程序运行结果如题12解图所示。得到的系统函数系数为,B=0.0234 0 0.0703 0 0.0703 0 0.0234A=1.0000 2.2100 3.2972 2.9932 2.0758 0.8495 0.2406与手算结果有差别，这一般是由手算过程中可能产生的计算误差造成的。,%程序ex612.m wp=0.25，0.45；ws=0.15，0.55；Rp=3；As=15；%设置带通数字滤波器指标参数N，wc=buttor
18、d(wp，ws，Rp，As)；%计算带通滤波器阶数N和3 dB截止频率WcB，A=butter(N，wc)；%计算带通滤波器系统函数分子分母多项式系数向量A和Bmyplot(B，A)；%调用自编绘图函数myplot绘制带通滤波器的损耗函数曲线,题12解图,13*设计巴特沃斯数字带通滤波器，要求通带范围为0.25 radw 0.45 rad,通带最大衰减为3 dB，阻带范围为0w0.15 rad和0.55 radw rad，阻带最小衰减为40 dB。调用MATLAB工具箱函数buttord和butter设计，并显示数字滤波器系统函数H(z)的系数，绘制数字滤波器的损耗函数和相频特性曲线。这种设计
19、对应于脉冲响应不变法还是双线性变换法？,解：调用函数buttord和butter设计巴特沃斯数字带通滤波器程序ex613.m如下：%程序ex613.mwp=0.25，0.45；ws=0.15，0.55；rp=3；rs=40；N，wc=buttord(wp，ws，rp，rs)；B，A=butter(N，wc)clf；mpplot(B，A，rs),程序运行结果：数字滤波器系统函数H(z)的系数：B=0.000100.000700.002200.00360 0.003500.002200.000700.0001A=1.00005.3093 16.291334.729756.939974.512280
20、.0136 71.117071.117052.640832.227016.16966.4618 1.98310.4218 0.0524函数buttord和butter是采用双线性变换法来设计巴特沃斯数字滤波器的。数字滤波器的损耗函数和相频特性曲线如题13*解图所示。,题13*解图,14*.设计一个工作于采样频率80 kHz的巴特沃斯低通数字滤波器，要求通带边界频率为4 kHz，通带最大衰减为0.5 dB，阻带边界频率为20 kHz，阻带最小衰减为45 dB。调用MATLAB工具箱函数buttord和butter设计，并显示数字滤波器系统函数H(z)的系数，绘制损耗函数和相频特性曲线。,题14*
21、解图,解：本题以模拟频率给定滤波器指标，所以，程序中先要计算出对应的数字边界频率，然后调用MATLAB工具箱函数buttord和butter来设计数字滤波器。设计程序为ex614.m。%程序ex614.mFs=80000；T=1/Fs；wp=2*pi*4000/Fs；ws=2*pi*20000/Fs；rp=0.5；rs=45；N，wc=buttord(wp/pi，ws/pi，rp，rs)；B，A=butter(N，wc)；clf；mpplot(B,A,rs)；%调用本书绘图函数mpplot绘图,程序运行结果：阶数N=4，数字滤波器系统函数H(z)的系数：B=0.0028 0.0111 0.01
22、66 0.0111 0.0028A=1.0000 2.6103 2.7188 1.3066 0.2425数字滤波器的损耗函数和相频特性曲线如题14*解图所示。由图可见，滤波器通带截止频率大于0.1（对应的模拟频率分别为4 kHz），阻带截止频率为0.5（对应的模拟频率分别为20 kHz），完全满足设计要求。,15*设计一个工作于采样频率80 kHz的切比雪夫型低通数字滤波器，滤波器指标要求与题14*相同。调用MATLAB工具箱函数cheb1ord和cheby1设计，并显示数字滤波器系统函数H(z)的系数，绘制损耗函数和相频特性曲线。与题14*的设计结果比较，简述巴特沃斯滤波器和切比雪夫型滤波器
23、的特点。,解：本题除了调用的MATLAB工具箱函数cheb1ord和cheby1与题14*不同以外，程序与14*题完全相同。本题求解程序ex615.m如下：%程序ex615.mFs=80000；T=1/Fs；wp=2*pi*4000/Fs；ws=2*pi*20000/Fs；rp=0.5；rs=45;%数字滤波器指标N，wp=cheb1ord(wp/pi，ws/pi，rp，rs)；B，A=cheby1(N，rp，wp)；clf；mpplot(B,A，rs)；%调用本书绘图函数mpplot绘图,程序运行结果：阶数N=3，比题14*设计的巴特沃斯滤波器低1阶。数字滤波器系统函数H(z)的系数：B=0
24、.0023 0.0069 0.0069 0.0023A=1.0000 2.5419 2.2355 0.6753数字滤波器的损耗函数和相频特性曲线如题15*解图所示。由图可见，完全满足设计要求。巴特沃斯滤波器和切比雪夫型滤波器的特点见教材第179页。,题15*解图,16*设计一个工作于采样频率2500 kHz的椭圆高通数字滤波器，要求通带边界频率为325 kHz，通带最大衰减为1 dB，阻带边界频率为225 kHz，阻带最小衰减为40 dB。调用MATLAB工具箱函数ellipord和ellip设计，并显示数字滤波器系统函数H(z)的系数，绘制损耗函数和相频特性曲线。,解：本题求解程序ex616
25、.m如下：%程序ex616.mFs=2500000；fp=325000；rp=1；fs=225000；rs=40；%滤波器指标wp=2*fp/Fs；ws=2*fs/Fs;%将边界频率转换为数字频率N，wpo=ellipord(wp，ws，rp，rs)；B，A=ellip(N，rp，rs，wpo，high)；clf；mpplot(B，A，rs)；%调用本书绘图函数mpplot绘图,程序运行结果：阶数N=5，数字滤波器系统函数H(z)的系数：B=0.2784 1.2102 2.2656 2.2656 1.2102 0.2784A=1.0000 2.1041 2.5264 1.4351 0.4757
26、 0.0329数字滤波器的损耗函数和相频特性曲线如题16*解图所示。由图可见，完全满足设计要求。,题16*解图,17*.设计一个工作于采样频率5 MHz的椭圆带通数字滤波器，要求通带边界频率为560 kHz和780 kHz，通带最大衰减为0.5 dB，阻带边界频率为375 kHz和1 MHz，阻带最小衰减为50 dB。调用MATLAB工具箱函数ellipord和ellip设计，并显示数字滤波器系统函数H(z)的系数，绘制损耗函数和相频特性曲线。,解：本题求解程序ex617.m如下：%程序ex617.mfpl=560000；fpu=780000；fsl=375000；fsu=1000000；Fs
27、=5000000；%滤波器指标wp=2*fpl/Fs,2*fpu/Fs；ws=2*fsl/Fs,2*fsu/Fs；rp=0.5；rs=50；%将边界频率转换为数字频率N，wpo=ellipord(wp，ws，rp，rs)；B，A=ellip(N，rp，rs，wpo)；clf；mpplot(B,A,rs)；%调用本书绘图函数mpplot绘图,程序运行结果：阶数N=4，2N阶数字带通滤波器系统函数H(z)的系数：B=0.0043 0.0184 0.0415 0.0638 0.0734 0.0638 0.0415 0.01840.0043A=1.0000 5.1091 13.4242 22.3290
28、 25.6190 20.5716 11.39363.9943 0.7205数字滤波器的损耗函数和相频特性曲线如题17*解图所示。由图可见，完全满足设计要求。,题17*解图,18*.设计一个工作于采样频率5 kHz的椭圆带阻数字滤波器，要求通带边界频率为500 Hz和2125 Hz，通带最大衰减为1 dB，阻带边界频率为1050 kHz和1400 Hz，阻带最小衰减为40 dB。调用MATLAB工具箱函数ellipord和ellip设计，并显示数字滤波器系统函数H(z)的系数，绘制损耗函数和相频特性曲线。,题18*解图,解：本题求解程序ex618.m如下：%程序ex618.mfpl=500；fp
29、u=2125；fsl=1050；fsu=1400；Fs=5000；rp=1；rs=40；%滤波器指标wp=2*fpl/Fs，2*fpu/Fs；ws=2*fsl/Fs,2*fsu/Fs；%将边界频率转换为数字频率N，wpo=ellipord(wp，ws，rp，rs)B，A=ellip(N，rp，rs，wpo，stop)clf；mpplot(B，A，rs)；%调用本书绘图函数mpplot绘图,程序运行结果：阶数N=3，2N阶数字带阻滤波器系统函数H(z)的系数：B=0.0748 0.0557 0.1618 0.0897 0.1618 0.0557 0.0748A=1.0000 0.2604 1.2
30、316 0.0633 1.0458 0.0040 0.3412数字滤波器的损耗函数和相频特性曲线如题18*解图所示。,19*.用脉冲响应不变法设计一个巴特沃斯低通数字滤波器，指标要求与题14*的相同。编写程序先调用MATLAB工具箱函数buttord和butter设计过渡模拟低通滤波器，再调用脉冲响应不变法设计函数impinvar，将过渡模拟低通滤波器转换成低通数字滤波器H(z)，并显示过渡模拟低通滤波器和数字滤波器系统函数的系数，绘制损耗函数和相频特性曲线。请归纳本题的设计步骤和所用的计算公式，并比较本题与题14*的设计结果，观察双线性变换法的频率非线性失真和脉冲响应不变法的频谱混叠失真。,
31、解：本题求解程序ex619.m如下：%程序ex619.mFs=80000；T=1/Fs；fp=4000；fs=20000；rp=0.5；rs=45；%相应的模拟滤波器指标wp=2*pi*fp；ws=2*pi*fs；%将边界频率转换为角频率N，wc=buttord(wp，ws，rp，rs，s)；B，A=butter(N，wc，s)；Bz，Az=impinvar(B，A，Fs)%调用转换函数impinvar将AF转换成DF,%以下计算AF和DF的频响特性fk=0：10：Fs/2；omega=2*pi*fk；%对AF频响函数在0，Fs/2上以间隔10 Hz采样Hs=freqs(B，A，omega)；
32、ms=abs(Hs)；ps=angle(Hs)；H，W=freqz(Bz，Az，1000)；%对DF频响函数在0，Fs/2采样1000点m=abs(H)；p=angle(H)；msmin=20*log10(ms(end)/max(ms)%AF在f=Fs/2点的衰减mmin=20*log10(m(end)/max(m)%DF在=点的衰减%以下绘制AF和DF的损耗函数和相频特性曲线(省略),程序运行结果：阶数N=4，N阶数字低通滤波器系统函数H(z)的系数：Bz=0.0000 0.0043 0.0128 0.0024 0Az=1.0000 2.8902 3.2452 1.6605 0.3250,模
33、拟滤波器的损耗函数和相频特性曲线如题19*解图(a)和(b)所示，数字滤波器的损耗函数和相频特性曲线如题19*解图(c)和(d)所示。由图可见，脉冲响应不变法设计的数字滤波器的频响特性基本模拟了模拟滤波器的频响形状，但存在频谱混叠失真。模拟滤波器的损耗函数在f=Fs/2点的衰减为msmin=69.0823 dB，而数字滤波器的损耗函数在=点的衰减为mmin=63.4990 dB，这就是频谱混叠失真引起了-5.5832 dB的衰减误差。题14*是用双线性变换法设计的，不存在频谱混叠失真，但存在频率非线性失真，所以数字滤波器的频响曲线形状与模拟滤波器的频响形状差别较大，而且，频率越高，频率非线性失真越严重。本题的设计步骤和所用的计算公式请读者在教材6.3节查找。,题19*解图,
