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1、1,学习要求与内容提要,目的与要求：掌握复变函数积分的概念、柯西定理 不定积分 柯西公式,重点：,难点：,1.复积分的基本定理；,2.柯西积分公式与高阶导数公式,复合闭路定理与复积分的计算,2,1.有向曲线:,设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.,如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,2.1复变函数的积分,(与实函数积分相似，定义为和的极限),复平面上的线积分,3,简单闭曲线正向的定义:,简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终
2、位于P点的左方.,与之相反的方向就是曲线的负方向.,关于曲线方向的说明:,在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.,4,2.积分的定义:,5,(,6,关于定义的说明:,7,3.存在的条件和计算法,证,正方向为参数增加的方向,8,9,根据线积分的存在定理,10,当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,11,在形式上可以看成是,公式,积分的计算法1,12,积分的计算法2,13,在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的,曲线 C 是按段光滑的.,14,设L是简单逐段光滑曲线，f,g在L上连续，则,性质：,常数因子可以移到积分号
3、外,函数的和的积分等于各函数积分之和,反转积分路径，积分反号,全路径上的积分等于各段上积分之和,15,注意到,性质(5)可以写为,特别地，若在L上有，L的长记为L，则性质(5)成为,注意：数学分析中的积分中值定理不能推移到复变函数积分上来，例如：,而,(6),16,例1,解,直线方程为,17,这两个积分都与路线C 无关,18,例2,解,(1)积分路径的参数方程为,y=x,19,(2)积分路径的参数方程为,20,(3)积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,21,例3,解,积分路径的参数方程为,22,例4,解,积分路径的参数方程为,23,重要结论：积分值
4、与路径圆周的中心和半径无关.,24,2.2 柯西定理,讨论复变函数积分与积分路径的关系,（一）单通区域情形,在区域中做任何简单闭合围道，围道内的点都属于该区域,单连通区域：,复连通区域，或称多连通区域,区别：区域中任一闭合曲线能否连续变形而缩成一点。连续变形：变形时曲线始终属于该区域。,25,复习：二元函数积分的格林公式,路径无关的充要条件：,实变线积分,在单连通区域B内与,在B内的偏导数,连续，并且,由于复变函数的积分可转化为两个实变线积分,因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件,26,单连通区域柯西定理：,如果函数f(z)在闭单连通域B上解析，则沿B上任一分段光滑闭曲线l（也可以是B
5、的边界），有,推广：如果函数f(z)在单通域B上解析，在闭单连通域B上连续，则沿B上任一分段光滑闭曲线l（也可以是B的边界），有,27,28,连续，且,格林公式,同理,连续，且,证明：,回路积分化成面积分,29,例1,解,根据柯西定理,有,30,例2,证,由柯西定理,31,由柯西定理,由上节例4可知,32,例3,解,根据柯西古萨定理得,33,34,奇点：复变函数不解析的点,若f(z)在z=b 不解析（或没有定义），而在z=b的无心邻域 0zb R内解析，则z=b为f(z)的孤立奇点。,含孤立奇点的区域，可将其每个奇点的有限小邻域挖掉，使原区域变为复通区域,（二）复通区域情形,有时，所研究的函数
6、在区域上并非处处解析,35,沿着一条简单曲线C有两个相反的方向，其中一个方向是：当观察者顺此方向沿C前进一周时，C的内部一直在C的左方，即“逆时针”方向，称为正方向；另一个方向是：当观察者顺此方向沿C前进一周时，C的外部一直在C的左方，即“顺时针”方向，称为负方向。,区域境界线正方向：,36,在 l 围成的区域中含f(z)的孤立奇点，则可引入曲线l1将此奇点挖掉，在余下的区域(一复连通区域)中，f(z)解析。,由柯西定理,或,又,l与l1方向相反，但与-l1方向相同。,37,(多连通域柯西定理)设B是以,边为界的有界n+1连通区域，其中l1，l2，ln是简单光滑闭曲线l内部互相外离的n条简单光
7、滑闭曲线。若f(z)在 上连续，在B内解析，则有,其中C取关于区域B的正向，或写为：,38,例1,解,依题意知,39,根据复合闭路定理,40,例2,解,圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,41,例3,解,42,由复合闭路定理,此结论非常重要,用起来很方便,因为不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线内即可.,43,例4,解,由上例可知,44,柯西定理总结,闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向的积分和为零。闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向的积分的和。,固定起点和终点，积分路径的连续形
8、变不改变积分,45,定理一,由定理一可知:,解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,(如下页图),1.两个主要定理:,2.3 不定积分,46,47,定理二,证,利用导数的定义来证.,48,由于积分与路线无关,49,50,由积分的估值性质,51,此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.,证毕,52,2.原函数的定义:,原函数之间的关系:,证,53,那末它就有无穷多个原函数,根据以上讨论可知:,证毕,54,3.不定积分的定义:,定理三,(类似于牛顿-莱布尼兹公式),55,证,根据柯西-古萨基本定理,证毕,说明:有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.,5
9、6,典型例题,例1,解,由牛顿-莱布尼兹公式知,57,例2,解,(使用了微积分学中的“凑微分”法),58,例3,解,由牛顿-莱布尼兹公式知,59,例3,另解,此方法使用了微积分中“分部积分法”,60,例4,解,利用分部积分法可得,课堂练习,答案,61,例5,解,62,例6,解,所以积分与路线无关,根据牛莱公式:,63,2.4 柯西公式,柯西积分公式:若f(z)在闭单通区域B上解析，l为B境界线，为B内的任一点，那么,证明：由于,只需证明,64,如果l是圆周z=+rei，,这就是说，一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周的平均值。,若f(z)在l所围区域上存在奇点，这就要考虑挖去奇点后的复通区域。
10、在复通区域上f(z)解析，显然柯西公式仍然成立，只要将l理解为所有境界线，并且其方向均取正向。,定理：解析函数f(z)的导数仍为解析函数，它的n阶导数为：,其中l为解析区域内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线。,65,Morera定理：(Cauchy定理的逆定理）设f(z)在区域G中连续，如果对于G中的任何闭合围道l，都有,则f(z)在G内解析。,证明：由路径无关性，定义,f(z)的连续性,0,所以F(z)解析，其导数为f(z)，再由高阶导数的存在性，,f(z)在G内解析。,66,模数定理：f(z)在某个闭区域上解析，则|f(z)|只能在境界线上取极大值,应用柯西公式,证明：对,若|f(z)|在
11、l上极大值为M，|z|的极小值为，l的长为s,67,Liouville定理：如 f(z)在全平面上解析，并且是有界的，即|f(z)|N，则 f(z)必为常数。,半径为R的园周,总结,与实变函数相似,两个二元实变函数的有序组合,重点,68,奇点,柯西定理及推论,极限,连续,积分,导数(微分),解析函数,解析区域,柯西公式,高阶导数公式,u,v 可微C-R条件,点点可导,(不解析的点),积分区域有无奇点,69,典型例题,例1,解,70,由柯西积分公式,71,例2,解,由柯西积分公式,72,例3,解,由柯西积分公式,73,例,解,根据柯西积分公式知,74,例5,解,75,例5,解,76,由闭路复合定
12、理,得,例5,解,77,例6,解,根据柯西积分公式知,78,比较两式得,79,例1,解,80,81,根据复合闭路定理,82,83,例2,解,84,85,例3,解,由柯西古萨基本定理得,由柯西积分公式得,86,87,课堂练习,答案,88,例4,解,89,根据复合闭路定理和高阶导数公式,90,91,例5,(Morera定理),证,依题意可知,92,参照本章第四节定理二,可证明,因为解析函数的导数仍为解析函数,93,例6,证,不等式即证.,94,四、小结与思考,高阶导数公式是复积分的重要公式.它表明了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的结论,同时表明了解析函数与实变函数的本质区别.,高阶导数公式,95,思考题,解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同?,96,思考题答案,这一点与实变量函数有本质的区别.,放映结束，按Esc退出.,
