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1、2023/3/13,1,1 随机变量及其分布,注：以后碰到命令末尾为：rnd-产生随机数X；cdf-产生分布函数F(x)pdf-产生密度函数p(x)或分布列Px=PX=xinv-计算x=F-1(p)p=F(x),2023/3/13,2,常见分布的随机数产生,2023/3/13,3,专用函数计算概率密度函数表,2023/3/13,4,专用函数的累积概率值函数表,2023/3/13,5,常用临界值函数表,2023/3/13,6,常见分布的均值和方差,2023/3/13,7,3.1 随机变量及其分布,例3.1某人向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5。这100次中正面向上的次数记为X：(1)
2、试计算x=45的概率和x45的概率；(2)绘制分布函数图象和分布列图象。,程序：clear;px=binopdf(45,100,0.5)%计算x=45的概率 px=0.0485fx=binocdf(45,100,0.5)%计算x45的概率 fx=0.1841x=1:100;p1=binocdf(x,100,0.5);plot(x,p1,+);title(分布函数图),2023/3/13,8,3.1 随机变量及其分布,p2=binopdf(x,100,0.5);plot(x,p2,*r)；title(概率分布图）,2023/3/13,9,3.1 随机变量及其分布,例3.2设XN(2,0.25)(
3、1)求概率P1X2.5；(2)绘制分布函数图象和分布密度图象;(3)画出区间1.5,1.9上的分布密度曲线下方区域。,程序:(1)p=normcdf(2.5,2,0.5)-normcdf(1,2,0.5)p=0.8186(2)x=0:0.1:4;px=normpdf(x,2,0.5);fx=normcdf(x,2,0.5);plot(x,px,+b);hold on;plot(x,fx,*r);legend(正态分布函数,正态分布密度);(3)specs=1.5,1.9;pp=normspec(specs,2,0.5),2023/3/13,10,3.1 随机变量及其分布,2023/3/13,1
4、1,3.2 随机变量函数的分布,根据概率统计教材中的定理：如果已知随机变量X的密度fX(x),随机变量函数Y=g(X)单调，则Y的密度函数为：fY(x)=fX(h(y)|h(y)|,其中x=h(y)是y=g(x)的反函数。如果y=g(x)不单调，则将定义域分成若干单调区间进行讨论。也可利用：据此意思，计算随机变量函数的分布相当于编程,2023/3/13,12,例3.3设随机变量X服从均匀分布U0,1，求Y=eX的分布。,程序：clear;x=solve(y=exp(x)x=log(y)dy=diff(x,y)dy=1/yfy=1*abs(dy)fy=1/|y|注：取值区域需要自己确定，用积分求
5、法作为练习！,3.2 随机变量函数的分布,2023/3/13,13,3.3 随机变量的数字特征,随机变量的数学期望,1.数组的平均值-Y=mean(X)功能：当X为向量时，输出一个平均数；当X为矩阵时，输出为行向量，对应于矩阵每列的平均值；因此计算矩阵所有数的平均值，应用嵌套：mean(mean(X)或m=mean(X(:)与此类似的有：求和(sum),最大(max),最小(min)等2.离散型随机变量的期望-EX=sum(X.*P)功能：计算随机值向量X与对应概率向量P的乘积之和3.连续型随机变量的期望-EX=int(x*fx,x,a,b)功能：用积分计算期望,2023/3/13,14,3.
6、3 随机变量的数字特征,例3.4设随机变量X的分布列，求期望。,程序：clear;x=-1,0,2,3;p=1/8,1/4,3/8,1/4;EX=sum(x.*p)1.3750,2023/3/13,15,3.3 随机变量的数字特征,例3.5设随机变量X的分布密度为：且EX=3/5，求常数a,b的值。,程序：clear;syms a b x;fx=a+b*x2;EX=int(x*fx,x,0,1)EX=1/4*b+1/2*a F=int(fx,x,0,1)F=a+1/3*b f1=EX-3/5;f2=f-1;a,b=solve(f1,f2)a=3/5,b=6/5,2023/3/13,16,3.3
7、 随机变量的数字特征,例3.6设随机变量X的分布密度为：求随机变量Y=|X|的期望。,程序：clear;syms x;fx1=0.5*exp(x);fx2=0.5*exp(-x);EY=int(-x*fx1,x,-inf,0)+int(x*fx2,x,0,inf)EY=1,2023/3/13,17,3.3 随机变量的数字特征,随机变量的方差,1.统计数据的方差-D=var(X,1)功能：当X为向量时，输出一个标量；当X为矩阵时，输出为行向量，对应于矩阵每列的方差值；因此计算矩阵所有数的方差值，应用嵌套：var(var(X)缺省1，计算：否则计算：2.统计数据的标准差-S=std(X,1)功能：
8、用法和1的解释同上3.一般随机变量的方差-DX=E(X2)-(EX)2功能：用积分或级数编程计算,2023/3/13,18,3.3 随机变量的数字特征,例3.7设随机变量X的分布密度为：求随机变量X的期望和方差。,程序：clear;syms x;fx=2/pi*(cos(x)2;EX=int(x*fx,x,-pi/2,pi/2)E2X=int(x2*fx,x,-pi/2,pi/2)DX=E2X-EX2,2023/3/13,19,3.3 随机变量的数字特征,常见分布的期望和方差,1.二项分布-E,D=binostat(n,p)说明:n,p可以是标量,向量,矩阵,则E,D是对应的标量,向量,矩阵2
9、.超几何分布-E,D=hygestat(M,N,K)3.泊松分布-E,D=poissstat(lambda)4.均匀分布-E,D=unifstat(a,b)5.指数分布-E,D=expstat(lambda)6.正态分布-E,D=normstat(mu,sigma)其他：gamstat(),tstat(),fstat(),chi2stat()等等,2023/3/13,20,3.3 随机变量的数字特征,协方差与相关系数的计算,1.随机变量的协方差-cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)2.随机变量的相关系数-=cov(X,Y)/sqrt(DX*DY)3.统计数据的协方差cov(X)-当X为
10、向量时,cov(X)=var(X);当X为矩阵时,结果为X的协方差矩阵.对角线是X每列的方差,Xij为X的第i列和第j列的协方差值。cov(X,Y)-计算向量X和Y的协方差值4.统计数据的相关系数corrcoef(X),corrcoef(X,Y)-说明与用法与cov()相同,2023/3/13,21,3.3 随机变量的数字特征,矩的计算,1.随机变量的k阶中心矩-Bk=moment(X,k)2.随机变量的k阶原点矩-Ak=sum(X.k)/length(X),2023/3/13,22,3.4 参数估计,常用分布的参数估计,1.正态分布的参数估计格式：muhat,sigmahat,muci,si
11、gmaci=normfit(X,alpha)功能：数组X服从正态分布,给定显著水平alpha,缺省时为0.05,前二项给出点估计，后二项给出区间估计。X为矩阵时,针对列进行计算。2.二项分布的参数估计(n重已知,p未知)格式：phat,puci=binofit(X,n,alpha)3.泊松分布的参数估计格式：lbdhat,lbdci=poissfit(X,alpha)4.均匀分布的参数估计格式：ahat,bhat,aci,bci=unifit(X,alpha),2023/3/13,23,3.4 参数估计,5.指数分布的参数估计格式：lbdhat,lbdci=expfit(X,alpha)6.通
12、用命令mle()格式：输出参数项=mle(分布函数名,X,alpha,N)说明：分布函数名有：bino(二项),geo(几何),hyge(超几何)poiss(泊松),uinf(均匀),unid(离散均匀),exp(指数)norm(正态),t(T分布),f(F分布),beta(贝塔),gam(伽吗)N当二项时需要，其他没有。,2023/3/13,24,例3.8设生成一组均值为15,方差为2.52的正态分布的随机数据，然后对这组数据进行置信度97%的参数估计。,程序：clear;w=normrnd(15,2.5,50,1);或w=15+2.5*randn(50,1);alpha=0.03;mh,sh,mc,sc=normfit(w,alpha)运行一次：mh=15.1076 sh=2.4038 mc=14.347815.8674 sc=1.97093.0703,3.4 参数估计,2023/3/13,25,例3.9设从一大批产品中抽取100个产品，经检验知有60个一级品，求这批产品的一级品率(置信度95%)。,程序：clear;alpha=0.05;N=100;X=60;Ph,Pc=mle(bino,X,alpha,N)运行一次：Ph=0.6000 Pc=0.49720.6967,3.4 参数估计,
