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1、主要内容,机械证明简介命题逻辑归结法谓词逻辑归结法,自动推理早期的工作主要集中在机器定理证明。机械定理证明的中心问题是寻找判定公式是否是有效的通用程序。对命题逻辑公式，由于解释的个数是有限的，总可以建立一个通用判定程序，使得在有限时间内判定出一个公式是有效的或是无效的。对一阶逻辑公式，其解释的个数通常是任意多个，丘奇（A.Church）和图灵（A.M.Turing）在1936年证明了不存在判定公式是否有效的通用程序。如果一阶逻辑公式是有效的，则存在通用程序可以验证它是有效的对于无效的公式这种通用程序一般不能终止。,1930年希尔伯特（Herbrand）为定理证明建立了一种重要方法，他的方法奠定
2、了机械定理证明的基础。开创性的工作是赫伯特西蒙（H.A.Simon）和艾伦纽威尔（A.Newel）的 Logic Theorist。机械定理证明的主要突破是1965年由鲁宾逊（J.A.Robinson）做出的，他建立了所谓归结原理，使机械定理证明达到了应用阶段。归结法推理规则简单,而且在逻辑上是完备的,因而成为逻辑式程序设计语言Prolog的计算模型。,主要内容,机械证明简介命题逻辑归结法谓词逻辑归结法,基本原理,Q1,Qn|=R，当且仅当Q1QnR不可满足证明Q1,Qn|=R(1).Q1QnR化为合取范式；(2).构建子句集合，为Q1QnR合取范式的所有简单析取范式组成集合；(3).若不可满
3、足，则Q1,Qn|=R。,机械式方法,若证明Q1,Qn|=R，只要证明Q1QnR不可满足。机械式证明：公式Q1QnR的合取范式；合取范式的所有简单析取范式，即；证明不可满足则有Q1,Qn|=R。机械式地证明不可满足是关键问题,子句与空子句,定义：原子公式及其否定称为文字(literals)；文字的简单析取范式称为子句，不包含文字的子句称为空子句，记为。例如p、q、r和s都是文字简单析取式pqrs是子句字p、q、r和s因为pqrs不是简单析取范式，所以pqrs不是子句。,定义：设Q是简单析取范式，q是Q的文字，在Q中去掉文字q，记为Q-q。例如，Q是子句pqrs，Q-q是简单析取范式p rs。,
4、归结子句,定义：设Q1,Q2是子句，q1和q2是相反文字，并且在子句Q1和Q2中出现，称子句(Q1-q1)(Q2-q2)为Q1和Q2的归结子句。例如，Q1是子句pqr，Q2是子句pqws，q和q是相反文字，子句prws是Q1和Q2的归结子句。例如，Q1是子句q，Q2是子句q，q和q是相反文字，子句是Q1和Q2的归结子句。例如，Q1是子句pqr，Q2是子句pws，在子句Q1 和Q2中没有相反文字出现，子句Q1Q2，即pqrws不是Q1和Q2的归结子句。,定理：如果子句Q是Q1,Q2的归结子句，则Q1,Q2|=Q证明：设Q1=pq1qn，Q2=pr1rm。赋值函数(Q1)=1，即(pq1qn)=1
5、，(p)(q1qn)=1.赋值函数(Q2)=1，即(pr1rm)=1，(p)(r1rm)=1.有(q1qn r1rm)=1，即(Q)=1。证毕,反驳,定义：设是子句集合，如果子句序列Q1,Qn满足如下条件，则称子句序列Q1,Qn为子句集合的一个反驳。(1).对于每个1kn，QkQk是Qi和Qj的归结子句，ik，jk。(2).Qn是。,例题：(QR)QQ 皮尔斯律证明：因为(QR)Q)Q的合取范式Q(RQ)Q，所以子句集合=Q,RQ,QQ1=Q Q1Q2=Q Q2Q3=Q3=(Q1-Q)(Q2-Q),定理：子句集合是不可满足的当且仅当存在的反驳。证明：设为Q1,Qn是反驳。(1).若Qk，|=Q
6、k.(2).若|=Qi，|=Qj并且Qk是Qi,Qj的归结子句，则Qi,Qj|=Qk。因此，|=Qk。(3).因为Qn=，所以有Qn-1和Qk是相反文字，不妨设是q和q。因此，|=q，|=q。|=qq，不可满足。,又证：设子句集合是不可满足的。(1).不妨设子句集合不含永真式。因为从中去掉永真式不改变的不可满足性。(2).若含有相反文字，不妨设是q，则Q1=q Q1Q2=q Q2Q3=因此，Q1,Q2,Q3是反驳.,(3).根据命题逻辑紧致性定理，若子句集合不可满足，则有有穷子句集合0，0，使得0是不可满足的。,若有穷子句集合0是不可满足的，则0中的子句必出现相反文字。假设有穷子句集合0是不可
7、满足的，且0中的子句不出现相反文字，那么，对于0中子句的每个文字qk，有赋值函数使得(qk)=1，因此，(0)=1，0是可满足的，这样与0是不可满足的相矛盾。,设0有n种相反文字，有相反文字q和q，0中的子句分为三类，一类是有文字q的子句，另一类是有文字q的子句，再一类是没有文字q和q的子句,q=qPk|qPk，q=qQk|qQk，C=-q-q|q|=m1，|q|=m2，|C|=m3。R=Pi Qj|qPiq,qQjq1=CR1有n-1个命题变元。若有r1并且r1，则存在反驳。,若q q C 不可满足，则1=CR不可满足。若1是可满足的，则有赋值函数，使得(1)=1。如果(Pi)=1，i=1,
8、.,m1，那么有(q)=0，而其他命题变元r有(r)=(r)。(qPi)=1，其中，qPiq(qQj)=1，其中，qQjq(Rk)=1，其中，RkC因此，若1是可满足的，则有，使得(0)=1，这样就产生了矛盾，所以，1是不可满足的。,如果(Pi)=0，im1，则有Pi Qj1，j=1,m2。因为(1)=1，所以有(Pi Qj)=1，即(Qj)=1，j=1,m2。设(q)=1，而其他命题变元r有(r)=(r)。(qPi)=1，其中，qPiq(qQj)=1，其中，qQiq(Rk)=1，其中，RkC若1是可满足的，则有，使得(0)=1，这样就产生了矛盾，所以，1是不可满足的。,因此，1有n-1个命题
9、变元并且1是不可满足的。对于所有的n进行处理获得n，必有反驳，否则必有n可满足，进而有0可满足。证毕,例题：P(QR)(PQ)(PR)分配律(P(QR)(PQ)(PR)(P(QR)(PQ)(PR)(PQ)(PR)(P(PR)(Q(PR)(PQ)(PR)P(P R)(Q P)(QR)因为(P(QR)(PQ)(PR)的合取范式(PQ)(PR)P(P R)(Q P)(QR)所以子句集合=P,PQ,PQ,PR,PR,QR。,Q1=PQ Q1Q2=PQ Q2Q3=Q3=(Q1-P-Q)(Q2-P-Q)P(QR)(PQ)(PR)分配律,例题：PQR(PR)(QR)证明：(PQR)(PR)(QR)(PQ)R)(PRQR)(PQR)PQR因为(PQR)(PR)(QR)的合取范式(PQR)PQR所以子句集合=P,Q,R,PQR,Q1=PQR Q1Q2=P Q2Q3=QR Q3=(Q1-P)(Q2-P)Q4=Q Q4Q5=R Q5=(Q3-Q)(Q4-Q)Q6=R Q6Q7=Q7=(Q5-R)(Q6-R)因此PQR(PR)(QR)证毕,谢谢,
