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1、张量与连续介质力学基本公式总结第一章：矢量和张量 重要矢量等式：c(ab)=(bc)a-(ac)b 指标记法： 哑指标求和约定 自由指标规则 协变基底和逆变基底： rgi=i gigj=dij xxig=kek xig1=张量概念 g2g3gggg g2=31 g3=12 ggg gi=biigi gi=biigi ijijklijT=bbbbT.kl vi=biivi vi=biv .klijkliiv=vigi=vigi T=Tij.klgigjgkgl 度量张量 G=gijgigj=gigi=gigi vG=Gv=vTG=GT=TTi.j=Tikgkj 张量的商法则 ijkT(i,j,k
2、,l,m)Slm=Uijk T(i,j,k,l,m)=T.lm 置换符号 3n-1n12a.2a.3.a.na Aa.1-1.nei1i2i3.in iiiii 1 aaa.ai3i1i2.j1.j2.j3in-1in.jn-1.ni1i2i3.inae=Aej1j2j3.jndridsidtiijk drjdsjdtj=eijkerst=eijkerst=drstdrkdskdtkijkdist=dsjdtk-dtjdskdstjk ijkdijt=2dtk ijkdijk=6 置换张量 =eijkgigjgk=eijkgigjgk eijk=gi(gjgk)=eijkg eijkijke
3、=gi(gjgk)=gab=aibjeijkgk=aibjeijkgk=(ab):=:(ab) 第二章： 二阶张量 重要性质：T.u=u.TT 主不变量 1jlmz1=Tr(T)=T.ii z2=dlimTT.i . j z3=det(T) 2(Tu)(vw)+u(Tv)w)+u(v(Tw)=z1u(vw) R=(cos(j)e1+sin(j)e2)e1+(-sin(j)e1+cos(j)e2)e2+e3e3 2 4. 反对称二阶张量的标准形 =me2e1-me1e2=me3G u=u 1=-:=me3u 2=- 5. 正则张量极分解 T=RU=VR 第三章 张量函数 概念：各项同性张量函数、
4、解析函数 计算 eT sin(T) 重要定理： 1. Hamilton-Cayley定理： l3-V1l2+V2l-V3=0T3-V1T2+V2T-V3G=0 2.对称各向同性张量函数表示定理： H=f(N)=k0G+k1N+k2N2； 其中H=HT;N=NT；而系数ki是N的主不变量的函数。 张量函数的导数 1. 方向导数：T(A;C)=lim1hh0T(A+hC)-T(A) 是C的线性函数 2. 方向导数与导数之间的关系 T(A;C)=T(A):C 3. 导数T(A)=TTijk(ggg)=(gigjgk) ijkAAijk*4. 张量函数导数的链式法则：H(T)=G(F(T)，则 H(T
5、)=G(F)nF(T) 重要辅助知识 3 tr(A+B)=tr(A)+tr(B)tr(AB)=A.jB.i=A:B=A:Btr(ABC)=A.jB.kC.i=tr(BCA)=tr(CAB)ijkijTT第四章：曲线坐标系张量分析 基矢量的导数 gjxikk=Gijgk kmgxik=-Gkjgj iGij=gGij,m Gij,k=gHamilton 算子 =xiGkm mijg=ixig iT=TTii gT=g iixxTTiiT=ig T=gi xxTTii T=g T=gi ixx张量的协变导数 ijsT.klijT.klxsmjiimjijmijmij+T.klGms+T.klGms
6、-T.mlGks-T.kmGlsT.kl;s 重要性质： 1度量张量的协变导数为零 2置换张量的协变导数为零 3张量分量的缩并与求协变导数次序可交换 4s(A.ijkB.lm)=(sA.ijk)B.lm+A.ijk(sB.lm) 积分定理 4 da*T=dW*T T*da=T*dW AWAW da(T)=dsT SLTds=-(T)da LSRiemann-Christoffel 张量 欧氏空间特性： Riemann曲率张量等于零 张量对曲线坐标的求导顺序可交换 张量的物理分量 掌握张量在标准基下分解时Hamilton 算子对张量的运算 第六章 连续介质力学基础 物质导数 Euler 坐标基底
7、矢量的物质导数： DgiDt=gixkv=-vGmkg mkkiDgiDtiDgDt=gixkv=vGikgm kkm物质坐标基底矢量的物质导数： iDgDtv=-vg =-giii=giv =vg变形梯度张量： =Fdr drkgk F-1=gkgk F=gk k F-Tgk=gFgk=gF-1k=gk FTgk=gk g5 应变张量 11E=(G+u)(G+u)-G=(u+u+uu) 2211+u-uu) e=(G-(G-u)(G-u)=(u22()小变形、小位移假设下 11) E(u+u) ; e=(u+u22在直角坐标系下 E1uiujukukij=2xj+xi+xixj 线元、面元、
8、体元 dr=Fdr da=JF-Tda dv=Jdv J=gg=det(F) 变形梯度的物质导数 =xkgk =kxkg F&=vF=v F&-1=-F-1v 线元、面元、体元 的物质导数 dr&=vdr da&=(v)da-(v)da dv&=(v)dv J&=(v)J E&=12FT(v+v)F=1T2FDF 6 几种应力 igj ijgCauchy 应力 pn=n =s-1ijj 第一类Piola-Kirchhoff应力 P=JF=Jsgig第二类Piola-Kirchhoff应力 S=JF-1F-T=Jskmgkgm=daP=daSFT 面力 Tn=da连续介质力学的基本定律 质量守恒定律 &+(v)r=0 r 动量定理 =rf+v& r& rf+P=rv动量矩定理 = 机械能守恒定律 +rvfdvdv=(vv)r+:Ddv vdadt2SVVVTd1变形功率密度 &=P:F&=J:D S:E 掌握用张量方法推导弹性体运动方程 7
