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1、征解问题解答征解问题解答 江苏省常熟市中学 査正开 215500 问题76. 已知函数f(x)=log2x-1(x2)，若f(m)+f(n)=1，求f(mn)的最小值 log2x+1解：f(x)=log2x+1-22=1- log2x+1log2x+122+1-=1 log2m+1log2n+1由f(m)+f(n)=1得1-22+=1 log2m+1log2n+12log2m+2+2log2n+2=(log2m)(log2n)+log2m+log2n+1 即(log2m)(log2n)=log2m+log2n+3 由m,n2，得log2m0,log2n0 (log2m+log2n)2(log2
2、m)(log2n) 4t2设log2m+log2n=t0，则t+3 化简得：t6 4f(mn)=1-11=1- log2(mn)+11+log2m+log2n =1-1161-= 1+t776 767当且仅当t=6，即m=n=8时取“=” f(mn)的最小值是注：由解题过程可知：f(mn)的值域是,1) 问题77. 已知x,y,zR+且x+y+z6，求证：x3+y3+z32(x2+y2+z2) 证：Qx,y,zR+，由幂平均不等式可知 2x3+y3+z31x+y+2z3)( (33122) 即(x3+y3+z3)2(x2+y2+z2)3 x2+y2+z2x+y+z6 2 Qx+y+z33 1
3、x2+y2+z2x+y+z(x+y+z)2(x2+y2+z2) 3333222 当且仅当x=y=z=2时取等号 注：本题可推广为：若x,y,zR+且x+y+z6，nN*，则n-1-1xn+yn+z2(-1xn+yn +)zn问题78 已知a,b是正实数，求证：3ab+31 a+7b7a+b证： 由对称性不妨设ab，则0t=b1 a记A=3ab1t+3+3=3 a+7b7a+b1+7t7+t2-11-2-71t(7+t)-t3 A=( )3+31+7t(1+7t)237+t(t+7)2 =-7(3t2(t+7)4-3(1+7t)4)3(1+7t)(t+7)t3442 考察函数f(t)=t(t+7)-(1+7t) =tt-1+7t-7t =(t-1)(t+t+1)-7t(t-1) =(t-1)(t-6t+1)=(t-1)t-(3+22)t-(3-22) 当0t3-22，f(t)0，当t=3-22时，f(t)=0,A=0 当3-22t0,A1),A(1)=11+=1 22=，从而原不等式成立1 Amin=A(1) 注：事实上由证明过程可知此不等式的上限是A(3-22)=3 2 122-142+33-2210-22
