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1、徐汇新王牌 秋季同步提高补习班 初中数学唐L老师第四节 勾股定理唐L老师 初二数学 第四节 勾股定理 知识点归纳 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么abc. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：abc，那么这个三角形 是直角三角形。 2. 勾股数：满足abc的三个正整数叫做勾股数 常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。 其他方法：有一个角为90的三角形是直角三
2、角形。 有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： 确定最大边； 若cab，则ABC是以C为直角的三角形； 若abc，则此三角形为钝角三角形； 若abc，则此三角形为锐角三角形 4.注意： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30。 5. 勾股定理的作用： 已知直角三角形的两边求第三边。 已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 用于证明线段平方关系的问题。 利用勾股定理，作出长为n的线 222222222222
3、 222222222 Round 1 小试牛刀 结合三角形： 1.已知DABC的三边a、b、c满足(a-b)+(b-c)=0，则DABC为 三角形 2.在DABC中，若a=，则DABC是 三角形，且 90 1 222唐L老师 初二数学 3.在DABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为 4.已知a-6+2b-8+(c-10)2=0,则以a、b、c为边的三角形是 5.在ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则ABC的面积为_ 6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm，正方形B的边
4、长为5cm，正方形C的边长为5cm，则正方形D的面积是_cm 7.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为_. 8.如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，已知点P是三角形内任意一点，则点P到三角形的三边距离之和PD+PE+PF等于 A、3 B、23 C、43 D、无法确定 9.如图RtABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则BDE周长的最小值为 A、25 B、23 C、25+2 D、23+2 10.直角三角形的三边为a-b，a，a+b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为 A、61 B、71 C、81 D
5、、91 11.已知x-12+x+y-25 与z-10z+25互为相反数，试判断以x、y、z为三边的三角形的形状。 12.已知：在DABC中，三条边长分别为a、b、c，a=n-1，b=2n，c=n+1 试说明：C=90。 222.2 Round 2 考试必备 、实际应用： 1. 梯子滑动问题： 一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动 米 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米， 2 唐L老师 初二数学 如图，梯子AB斜靠在
6、墙面上，ACBC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是 A. x=y B. xy C. xy D. 不能确定 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米 A8B2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系： 6C直角三角形两直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列式子总能成立的是 A. ab=b B. a+b=2h C. 2222111111+= D. 2+2=2 abhabh变：如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，设AB=c，AC=
7、b，BC=a，CD=h。 求证：111+= a2b2h2Ca+bc+h 以a+b，h，c+h为三边的三角形是直角三角形 3. 爬行距离最短问题： 1.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm，得到C1处有虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙 假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，如图a，在盒子的内部我们先取棱BB1的中点E，再连结AE、EC1，昆虫乙如果沿途径AEC1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图b中画一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。 如图b，假设昆虫甲从点C1以1 厘米/秒的速度在盒子的内部沿C1C向下爬行，同时昆虫乙从
8、顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？ 试一试：对于，当昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行，3 ADB一只昆唐L老师 初二数学 利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间 D1A1B1C1A1D1B1C1DCA图aBADCB图b2.如图，一块砖宽AN=5，长ND=10，CD上的点F距地面的高FD=8，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是 cm 3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去
9、吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是 分米？ 4. 如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的路程最短为 A. 3a B. 1+2a C. 3a D.5a 4.折叠问题： 1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于 A. CD()QAMBPN525227 B. C. D. 3434AEB2. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是 米。 3. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是_米，水平距离是
10、 米。 4. 如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。 5. 如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC50米，B60，则江面的宽度为 。 4 唐L老师 初二数学 求边长： 1.在RtDABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，C=90 已知：a=6，c=10，求b； 已知：a=40，b=9，求c； 2.如图所示，在四边形ABCD中，BAD=90，DBC=90，AD=3，AB=4，BC=12，求CD。 3.为了美化环境，计划在某小区用草地铺设一个等腰三角形，使它的面积为30平方米且有一边长为10米，求另外两条
11、边。 4.如图，P是矩形ABCD内一点，PA=1，PB=5，PC=7，则PD=_. 5等边三角形ABC内一点P，AP3，BP4，CP5，求APB的度数 6.已知：在RtABC中，BCAC，P为ABC内一点，且PA3，PB1，PC2。求BPC的度数。 5 唐L老师 初二数学 方向问题： 1. 有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得MAN30，当他到B点时，测得MBN45，AB100米，你能算出AM的长吗？ M A B N 2.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米 (1)此时轮船离开出发点多少km? (2)若轮船每
12、航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升? 3.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 4.如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受
13、到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 旋转问题： 1.如图，点P是正ABC内的点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将6 A D C B 第4题图 APAC绕点APPBC唐L老师 初二数学 旋转后，得到PAB，则点P与点P之间的距离为 ，APB= 2.如图，DABC为等腰直角三角形，BAC=90，将DABH绕点A逆时针旋转到DACH处，若AH=3，试求出H、H两点之间的距离。 3.如图所示，P为正方形ABCD内一点，将DABP绕B顺时针旋转90到DCBE的位置，若BP=a，求：以PE为边长的正方形的面积 4.已知直角三角形ABC中，ACB=90，
14、CA=CB，圆心角为45，半径长为CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N，当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图，试说明MN=AM+BN的理由。 222CAEMNFB5.如图所示，已知在DABC中，AB=AC，BAC=90，D是BC上任一点，求证：BD+CD=2AD。 222 7 唐L老师 初二数学 6.在等腰直角三角形中，AB=AC，点D是斜边BC的中点，点E、F别为AB、AC边上的点，且DEDF。 说明：BE+CF=EF 若BE=12,CF=5，试求DDEF的面积。 BDo222分AEFC7.如图，P是等边三角形DABC内的一点，连结PA、PB、PC，
15、以BP为边作PBQ=60，且BQ=BP，连结CQ、PQ，若PA:PB:PC=3:4:5,试判断DPQC的形状。 8.如图，DADC和DBCE都是等边三角形，BQCPABAABC=30o，试说明：BD2=AB2+BC2 DCE9如图1，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P： 能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由 8 唐L老师 初二数学 再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直
16、角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由 折叠问题： 1.如图，矩形纸片ABCD的长AD=9，宽AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？ 2.如图，在长方形ABCD中，将DABC沿AC对折至DAEC位置，CE与AD交于点F。 试说明：AF=FC；如果AB=3，BC=4，求AF的长 3.如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若ABF的面积为30，求折叠的AED的面积 9 图1 ADEBFC唐L老师 初二数学 4.如图所示，
17、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？ 5.如图，B=90，AB=BC=4，AD=2，CD=6 (1)ACD是什么三角形？为什么？ (2)把ACD沿直线AC向下翻折，CD交AB于点E，若重叠部分面积为4，求DE的长。 D6.如图，EF为正方形ABCD的对角线，将A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，则DKG=_ DAB=90，AD=2DC=4，7.如图，直角梯形ABCD中，ABDC，AB=6动ACEBC点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动当点M到达点B时，两点同时停止运动过点M作直线lAD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q点M运动的时间为t 当t=0.5时，求线段QM的长； 当0t2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值； 当t2时，连接PQ交线段AC于点R请探究CQ是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请RQ10 唐L老师 初二数学 说明理由 A Q l M B A B A B D E P C D C D C 11
